contents - Exodus Books
Excerpt from "Calculus" ©2013 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS
Contents Preface
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Sets and Functions
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1.1 Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Numbers and intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Graphs of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Trigonometric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Basic trigonometric identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Exponentials and logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Review Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Challenge Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.A Relationship between trigonometric functions and exponentials
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Limits and Continuity
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2.1 Limits . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Continuity . . . . . . . . . . . . . Review Problems . . . . . . . . . . . . . . Challenge Problems . . . . . . . . . . . . 2.A Proofs of some continuity results
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The Derivative 3.1
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Intuitive introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 ix
Copyrighted Material
Excerpt from "Calculus" ©2013 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS 3.2 Definition of the derivative . . . . . . . . . . . . 3.3 Basic derivative computations . . . . . . . . . . 3.4 The Chain Rule for derivatives . . . . . . . . . . 3.5 Rolle’s Theorem and the Mean Value Theorem . 3.6 Implicit di↵erentiation . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Summary of derivative computation . . . . . . Review Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Challenge Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.A Proof of the Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . 3.B Proof of the Mean Value Theorem . . . . . . . .
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Applications of the Derivative 4.1 Graphical interpretation of the derivative . 4.2 Extrema and optimization . . . . . . . . . 4.3 Velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Tangent line approximation . . . . . . . . . 4.5 Newton’s Method . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Related rates . . . . . . . . . . . . . . . . . Review Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Challenge Problems . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Integration 5.1 5.2 5.3
59 65 71 78 80 82 83 84 84 86
88 96 106 108 113 117 122 123
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Area under a curve . . . . . . . . . . . . . . . . . The Fundamental Theorem of Calculus . . . . . . Integration methods . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Definition and basic examples . . . . 5.3.2 Antiderivatives of common functions 5.3.3 The Chain Rule . . . . . . . . . . . . . 5.3.4 Integration by parts . . . . . . . . . . 5.3.5 Substitution methods . . . . . . . . . . 5.3.6 Partial fractions . . . . . . . . . . . . . 5.3.7 A monster example . . . . . . . . . . . 5.4 Applications of the definite integral . . . . . . . . 5.4.1 Areas of regions in the plane . . . . . 5.4.2 Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3 Length of a curve . . . . . . . . . . . . 5.4.4 Average value of a function . . . . . . 5.5 Approximation techniques . . . . . . . . . . . . . Review Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Challenge Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.A Formal definitions of log and exp . . . . . . . . .
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Simpson’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Infinity
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6.1 Limits towards infinity . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Limits of infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Rational indeterminate forms and l’Hopital’s Rule ˆ 6.4 Exponential indeterminate Forms . . . . . . . . . . 6.5 Improper integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Review Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Challenge Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.A Proof of L’Hopital’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . ˆ
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Series 7.1 Infinite sequences . . . 7.2 Infinite series . . . . . . 7.3 Series convergence tests 7.4 Alternating series . . . 7.5 Taylor polynomials . . 7.6 Taylor series . . . . . . Review Problems . . . . . . . . Challenge Problems . . . . . . 7.A A strange formula for ⇡
191 196 199 204 207 213 214 215
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Plane Curves 8.1 Parametric curves . . . . . 8.2 Polar coordinates . . . . . . 8.3 Areas in polar coordinates Review Problems . . . . . . . . . . Challenge Problems . . . . . . . .
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Di↵erential Equations
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9.1 Definitions and basic examples . . . . . . . 9.2 Second-order linear di↵erential equations Review Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Challenge Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.A Euler’s Method . . . . . . . . . . . . . . . .
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Sets and Functions
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1.1 Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Numbers and intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Graphs of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Trigonometric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Basic trigonometric identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Exponentials and logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Review Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Challenge Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.A Relationship between trigonometric functions and exponentials
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2.1 Limits . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Continuity . . . . . . . . . . . . . Review Problems . . . . . . . . . . . . . . Challenge Problems . . . . . . . . . . . . 2.A Proofs of some continuity results
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Excerpt from "Calculus" ©2013 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS 3.2 Definition of the derivative . . . . . . . . . . . . 3.3 Basic derivative computations . . . . . . . . . . 3.4 The Chain Rule for derivatives . . . . . . . . . . 3.5 Rolle’s Theorem and the Mean Value Theorem . 3.6 Implicit di↵erentiation . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Summary of derivative computation . . . . . . Review Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Challenge Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.A Proof of the Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . 3.B Proof of the Mean Value Theorem . . . . . . . .
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Applications of the Derivative 4.1 Graphical interpretation of the derivative . 4.2 Extrema and optimization . . . . . . . . . 4.3 Velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Tangent line approximation . . . . . . . . . 4.5 Newton’s Method . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Related rates . . . . . . . . . . . . . . . . . Review Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Challenge Problems . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Integration 5.1 5.2 5.3
59 65 71 78 80 82 83 84 84 86
88 96 106 108 113 117 122 123
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Area under a curve . . . . . . . . . . . . . . . . . The Fundamental Theorem of Calculus . . . . . . Integration methods . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Definition and basic examples . . . . 5.3.2 Antiderivatives of common functions 5.3.3 The Chain Rule . . . . . . . . . . . . . 5.3.4 Integration by parts . . . . . . . . . . 5.3.5 Substitution methods . . . . . . . . . . 5.3.6 Partial fractions . . . . . . . . . . . . . 5.3.7 A monster example . . . . . . . . . . . 5.4 Applications of the definite integral . . . . . . . . 5.4.1 Areas of regions in the plane . . . . . 5.4.2 Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3 Length of a curve . . . . . . . . . . . . 5.4.4 Average value of a function . . . . . . 5.5 Approximation techniques . . . . . . . . . . . . . Review Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Challenge Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.A Formal definitions of log and exp . . . . . . . . .
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126 135 140 141 142 147 153 157 161 162 166 166 169 173 176 179 183 184 185
Excerpt from "Calculus" ©2013 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS 5.B
6
7
8
9
Simpson’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Infinity
191
6.1 Limits towards infinity . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Limits of infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Rational indeterminate forms and l’Hopital’s Rule ˆ 6.4 Exponential indeterminate Forms . . . . . . . . . . 6.5 Improper integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Review Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Challenge Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.A Proof of L’Hopital’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . ˆ
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Series 7.1 Infinite sequences . . . 7.2 Infinite series . . . . . . 7.3 Series convergence tests 7.4 Alternating series . . . 7.5 Taylor polynomials . . 7.6 Taylor series . . . . . . Review Problems . . . . . . . . Challenge Problems . . . . . . 7.A A strange formula for ⇡
191 196 199 204 207 213 214 215
220 . . . . . . . . .
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Plane Curves 8.1 Parametric curves . . . . . 8.2 Polar coordinates . . . . . . 8.3 Areas in polar coordinates Review Problems . . . . . . . . . . Challenge Problems . . . . . . . .
220 226 229 238 241 247 256 256 258
259 . . . . .
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Di↵erential Equations
259 267 274 276 277
279
9.1 Definitions and basic examples . . . . . . . 9.2 Second-order linear di↵erential equations Review Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Challenge Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.A Euler’s Method . . . . . . . . . . . . . . . .
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279 290 295 295 297
xi
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Excerpt from "Calculus" ©2013 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS
Epilogue
301
References
303
Hints to Selected Problems
305
Index
316
xii
Copyrighted Material
