eBoek faktorisering verskil van vierkante
Die Verskil van Vierkante
Kom ons definieër gou ‘n vierkant : ‘n Vierkant is ‘n uitdrukking waarvan die eksponent ‘n ewe getal is. ‘n Uitdrukking soos x4 y3 is egter nie ‘n vierkant nie, al is die eksponent van die x ‘n ewe getal. Ons gaan nou gou kyk hoe ‘n mens kan bepaal of ‘n gekombineerde uitdrukking ‘n vierkant is of nie: Onthou jy nog die Vierde Eksponentwet? Dit het gelui:
(am . bn)x = amx . bnx
Met ander woorde as ‘n hakie tot ‘n mag verhef word, dan vermenigvuldig ons elke term, binne-in die hakie, se eksponent met die eksponent van die hakie, bv. (a² b)3 = a6 b3 (2x² y²)3 = 23 x6 y6 Waarin ons nou egter belangstel is die trurat weergawe van hierdie wet. As jy gegee word: p6 y4, dan kan dit geskryf word as: (p3 y²)² Ons gaan spesifiek net belangstel om ‘n 2 as eksponent van die hakie te kry, dus moet al die eksponente van die hakie deur 2 gedeel kan word.
Oefening 1) Bepaal of die volgende gekombineerde uitdrukkings vierkante is. a) x6 y5 b) a² b4 c5
2)
c) p² y10 k200
d) 4x²y14
e) 7x² y²
f) 12x4 y6
Skryf nou elkeen van jou antwoorde in vraag (1) as ‘n hakie tot ‘n mag van 2, bv. 16a² x4 = (4ax²)²
Nou, bepaal die produk van die volgende deur middel van die distributiewe wet: (a + b) (a – b) Wat sien jy omtrent die verband tussen die antwoord en die twee hakies waarmee ons begin het? ____________________________ Bepaal ook gou die volgende produkte: a) (3a – 5b) (3a + 5b) = ___________________________ b)
(5u – 7v) (5u + 7v) = ___________________________
c)
(1/8 p – 1/9q) (1/8 p + 1/9q) = _______________________
d)
(9c² - 7d) (9c² + 7d) = __________________________
Kan jy sien dat, as die antwoord die volgende eienskappe het: 1) ‘n Eerste term wat ‘n vierkant is 2) ‘n Tweede term wat ook ‘n vierkant is 3) ‘n Minus tussen hierdie twee terme ...kan ons dit dadelik in 2 hakies faktoriseer deur die vierkantswortels van die vierkante te gebruik, en een hakie het ‘n “+” en die ander ‘n “ – “ maar verder is hulle identies dieselfde. Hoe bepaal ons die vierkantswortel? Wel, met die tegnieke wat ons vroeër gedoen het toe ons die vierde eksponentwet in trurat toegepas het. Bv. x² - y² Ons sien die drie eienskappe raak, nl. 1) ‘n Vierkant (x²) 2) ‘n Minus 3) ‘n Vierkant (y²) Bepaal die vierkantswortel van x² deur ‘n hakie te skryf met eksponent 2: (x)² en dieselfde vir y² : (y)² Al wat ons nou doen om te faktoriseer, is om: 1) Twee hakies te skryf: ( )( ) 2)
Sit ‘n “ + “ in die een en ‘n “ – “ in die ander: (
3)
Onthou: die eerste term in die vraag was x² en sy vierkantswortel (dit wat binne die hakie staan) is x, dan skryf ons dit eerste in elke hakie: (x + ) (x - )
4)
Doen dieselfde vir die tweede term van die vraag: (x + y) (x - y)
Daar het ons x² - y² gefaktoriseer as (x + y) (x - y)
+
)(
–
)
Kom ons kyk na nog ‘n voorbeeld: 1 4 1 4 a − b 16 81 2 1 2 Die eerste term se vierkant is: a 4
1 Die tweede term se vierkant is: b 9
2
Nou volg ons net die vier stappe soos uiteengesit: 1) ( )( ) 2)
(
+
)(
3)
1 2 a + 4
4)
1 2 1 a + b 9 4
-
)
1 2 a − 4
1 2 1 a − b 9 4
en daar is dit dan gefaktoriseer!
Doen nou die volgende oefening deur al die oop spasies in te vul: 1) a² - b² a) Vierkantswortel van eerste term: _______________ b) Vierkantswortel van tweede term: ______________ c) Vier stappe: 1) _____________________________ 2) _____________________________ 3) _____________________________ 4) _____________________________ 2)
25x² - p² a) Vierkantswortel van eerste term: _______________ b) Vierkantswortel van tweede term: ______________ c) Vier stappe: 1) ______________________________ 2) ______________________________ 3) ______________________________ 4) ______________________________
3)
49m² - 81n² a) Vierkantswortel van eerste term: _______________ b) Vierkantswortel van tweede term: ______________ c) Vier stappe: 1) ______________________________ 2) ______________________________ 3) ______________________________ 4) ______________________________
4)
x6 – 36 a) Vierkantswortel van eerste term: _______________ b) Vierkantswortel van tweede term: ______________ c) Vier stappe: 1) ______________________________ 2) ______________________________ 3) ______________________________ 4) ______________________________
5)
25a² b² - 64x4 y6 a) Vierkantswortel van eerste term: _______________ b) Vierkantswortel van tweede term: ______________ c) Vier stappe: 1) ______________________________ 2) ______________________________ 3) ______________________________ 4) ______________________________
6)
16x12 - 81y44 a) Vierkantswortel van eerste term: _______________ b) Vierkantswortel van tweede term: ______________ c) Vier stappe: 1) ______________________________ 2) ______________________________ 3) ______________________________ 4) ______________________________
Oefening Ontbind volledig in faktore: a) 121w² - 49z²
b) b8 – 81
c) 16x4 y4 – 25a8 b4
d) 12b² - 75c²
e) 180w² - 5z²
f) 2a² - ½ b²
g) 27a3 – 3ab²
h) 9abc² - 4abd²
Gestel nou daar staan (x – 4)² – (3 + z)² Kan jy sien watter patroon is daar? Dis reg! Dit is ‘n hakie gekwadreer minus ‘n hakie gekwadreer, m.a.w. ‘n vierkant minus ‘n vierkant: ( )² - ( )² Ons kan dus mos die eerste hakie: (x – 4) gelyk stel aan A, dan is (x – 4)² = A² en dieselfde met B = (3 + z) d.w.s. B² = (3 + z)² Dus, in plaas daarvan om baie moeite te doen (en die gevaar te loop om deurmekaar te raak), herken ons die verskil van vierkante en vervang bloot die hakies met eenvoudiger terme: Dit word dus: (A + B) (A - B) Nou gaan skryf ons die leë hakies by elke A en B: (
) + (
)
(
) - (
)
en vervang die hakie wat ons met A vervang het in die oop hakies waar A gestaan het en dieselfde met B. Dus: (x – 4) + (3 + z)
(x – 4) - (3 + z)
Ons kan nou nog een stap verder gaan en die hakies binne die groter hakies ook uitvermenigvuldig, dit wil sê: ( x – 4 + 3 + z) (x – 4 – 3 – z) = ( x + z – 1) (x – z – 7) en daar is ons twee faktore! In elk van die volgende is twee vierkante. Vervang elkeen met ‘n A of B: 1)
(a + b)² - x²
:
A = ______________________ B = ______________________
2)
4(a + b)² - 9(x – y)² :
A = ______________________ B = ______________________
3)
4(3a + b)² - 9(4a –3b)²:A = ______________________ B = ______________________
4)
36a4 - 25(a – b)² :
A = ______________________ B = ______________________
Nou vat jy elke vraag en skryf in die plek van die A en B, in die volgende, die waardes neer soos jy dit hierbo gedoen het. 1)
(A + B) (A – B) = [(
) + (
)] [(
) - (
)]
2)
(A + B) (A – B) = [(
) + (
)] [(
) - (
)]
3)
(A + B) (A – B) = [(
) + (
)] [(
) - (
)]
4)
(A + B) (A – B) = [(
) + (
)] [(
) - (
)]
Dan vermenigvuldig jy net elke keer die ronde hakies uit binne-in die vierkant hakies en tel soortgelyke terme bymekaar. 1)
(A + B) (A – B) = [
][
]
2)
(A + B) (A – B) = [
][
]
3)
(A + B) (A – B) = [
][
]
4)
(A + B) (A – B) = [
][
]
Oefening Faktoriseer volledig: a) 64 – a4 b)
7a4 – 7b4
c)
a² - 4 (x + y)²
d)
4 (3x – y)² - 9 (3x + y)²
e)
7a8 – 7b8
f)
81a4 – 25 (4x – 7y)²
Kom ons definieër gou ‘n vierkant : ‘n Vierkant is ‘n uitdrukking waarvan die eksponent ‘n ewe getal is. ‘n Uitdrukking soos x4 y3 is egter nie ‘n vierkant nie, al is die eksponent van die x ‘n ewe getal. Ons gaan nou gou kyk hoe ‘n mens kan bepaal of ‘n gekombineerde uitdrukking ‘n vierkant is of nie: Onthou jy nog die Vierde Eksponentwet? Dit het gelui:
(am . bn)x = amx . bnx
Met ander woorde as ‘n hakie tot ‘n mag verhef word, dan vermenigvuldig ons elke term, binne-in die hakie, se eksponent met die eksponent van die hakie, bv. (a² b)3 = a6 b3 (2x² y²)3 = 23 x6 y6 Waarin ons nou egter belangstel is die trurat weergawe van hierdie wet. As jy gegee word: p6 y4, dan kan dit geskryf word as: (p3 y²)² Ons gaan spesifiek net belangstel om ‘n 2 as eksponent van die hakie te kry, dus moet al die eksponente van die hakie deur 2 gedeel kan word.
Oefening 1) Bepaal of die volgende gekombineerde uitdrukkings vierkante is. a) x6 y5 b) a² b4 c5
2)
c) p² y10 k200
d) 4x²y14
e) 7x² y²
f) 12x4 y6
Skryf nou elkeen van jou antwoorde in vraag (1) as ‘n hakie tot ‘n mag van 2, bv. 16a² x4 = (4ax²)²
Nou, bepaal die produk van die volgende deur middel van die distributiewe wet: (a + b) (a – b) Wat sien jy omtrent die verband tussen die antwoord en die twee hakies waarmee ons begin het? ____________________________ Bepaal ook gou die volgende produkte: a) (3a – 5b) (3a + 5b) = ___________________________ b)
(5u – 7v) (5u + 7v) = ___________________________
c)
(1/8 p – 1/9q) (1/8 p + 1/9q) = _______________________
d)
(9c² - 7d) (9c² + 7d) = __________________________
Kan jy sien dat, as die antwoord die volgende eienskappe het: 1) ‘n Eerste term wat ‘n vierkant is 2) ‘n Tweede term wat ook ‘n vierkant is 3) ‘n Minus tussen hierdie twee terme ...kan ons dit dadelik in 2 hakies faktoriseer deur die vierkantswortels van die vierkante te gebruik, en een hakie het ‘n “+” en die ander ‘n “ – “ maar verder is hulle identies dieselfde. Hoe bepaal ons die vierkantswortel? Wel, met die tegnieke wat ons vroeër gedoen het toe ons die vierde eksponentwet in trurat toegepas het. Bv. x² - y² Ons sien die drie eienskappe raak, nl. 1) ‘n Vierkant (x²) 2) ‘n Minus 3) ‘n Vierkant (y²) Bepaal die vierkantswortel van x² deur ‘n hakie te skryf met eksponent 2: (x)² en dieselfde vir y² : (y)² Al wat ons nou doen om te faktoriseer, is om: 1) Twee hakies te skryf: ( )( ) 2)
Sit ‘n “ + “ in die een en ‘n “ – “ in die ander: (
3)
Onthou: die eerste term in die vraag was x² en sy vierkantswortel (dit wat binne die hakie staan) is x, dan skryf ons dit eerste in elke hakie: (x + ) (x - )
4)
Doen dieselfde vir die tweede term van die vraag: (x + y) (x - y)
Daar het ons x² - y² gefaktoriseer as (x + y) (x - y)
+
)(
–
)
Kom ons kyk na nog ‘n voorbeeld: 1 4 1 4 a − b 16 81 2 1 2 Die eerste term se vierkant is: a 4
1 Die tweede term se vierkant is: b 9
2
Nou volg ons net die vier stappe soos uiteengesit: 1) ( )( ) 2)
(
+
)(
3)
1 2 a + 4
4)
1 2 1 a + b 9 4
-
)
1 2 a − 4
1 2 1 a − b 9 4
en daar is dit dan gefaktoriseer!
Doen nou die volgende oefening deur al die oop spasies in te vul: 1) a² - b² a) Vierkantswortel van eerste term: _______________ b) Vierkantswortel van tweede term: ______________ c) Vier stappe: 1) _____________________________ 2) _____________________________ 3) _____________________________ 4) _____________________________ 2)
25x² - p² a) Vierkantswortel van eerste term: _______________ b) Vierkantswortel van tweede term: ______________ c) Vier stappe: 1) ______________________________ 2) ______________________________ 3) ______________________________ 4) ______________________________
3)
49m² - 81n² a) Vierkantswortel van eerste term: _______________ b) Vierkantswortel van tweede term: ______________ c) Vier stappe: 1) ______________________________ 2) ______________________________ 3) ______________________________ 4) ______________________________
4)
x6 – 36 a) Vierkantswortel van eerste term: _______________ b) Vierkantswortel van tweede term: ______________ c) Vier stappe: 1) ______________________________ 2) ______________________________ 3) ______________________________ 4) ______________________________
5)
25a² b² - 64x4 y6 a) Vierkantswortel van eerste term: _______________ b) Vierkantswortel van tweede term: ______________ c) Vier stappe: 1) ______________________________ 2) ______________________________ 3) ______________________________ 4) ______________________________
6)
16x12 - 81y44 a) Vierkantswortel van eerste term: _______________ b) Vierkantswortel van tweede term: ______________ c) Vier stappe: 1) ______________________________ 2) ______________________________ 3) ______________________________ 4) ______________________________
Oefening Ontbind volledig in faktore: a) 121w² - 49z²
b) b8 – 81
c) 16x4 y4 – 25a8 b4
d) 12b² - 75c²
e) 180w² - 5z²
f) 2a² - ½ b²
g) 27a3 – 3ab²
h) 9abc² - 4abd²
Gestel nou daar staan (x – 4)² – (3 + z)² Kan jy sien watter patroon is daar? Dis reg! Dit is ‘n hakie gekwadreer minus ‘n hakie gekwadreer, m.a.w. ‘n vierkant minus ‘n vierkant: ( )² - ( )² Ons kan dus mos die eerste hakie: (x – 4) gelyk stel aan A, dan is (x – 4)² = A² en dieselfde met B = (3 + z) d.w.s. B² = (3 + z)² Dus, in plaas daarvan om baie moeite te doen (en die gevaar te loop om deurmekaar te raak), herken ons die verskil van vierkante en vervang bloot die hakies met eenvoudiger terme: Dit word dus: (A + B) (A - B) Nou gaan skryf ons die leë hakies by elke A en B: (
) + (
)
(
) - (
)
en vervang die hakie wat ons met A vervang het in die oop hakies waar A gestaan het en dieselfde met B. Dus: (x – 4) + (3 + z)
(x – 4) - (3 + z)
Ons kan nou nog een stap verder gaan en die hakies binne die groter hakies ook uitvermenigvuldig, dit wil sê: ( x – 4 + 3 + z) (x – 4 – 3 – z) = ( x + z – 1) (x – z – 7) en daar is ons twee faktore! In elk van die volgende is twee vierkante. Vervang elkeen met ‘n A of B: 1)
(a + b)² - x²
:
A = ______________________ B = ______________________
2)
4(a + b)² - 9(x – y)² :
A = ______________________ B = ______________________
3)
4(3a + b)² - 9(4a –3b)²:A = ______________________ B = ______________________
4)
36a4 - 25(a – b)² :
A = ______________________ B = ______________________
Nou vat jy elke vraag en skryf in die plek van die A en B, in die volgende, die waardes neer soos jy dit hierbo gedoen het. 1)
(A + B) (A – B) = [(
) + (
)] [(
) - (
)]
2)
(A + B) (A – B) = [(
) + (
)] [(
) - (
)]
3)
(A + B) (A – B) = [(
) + (
)] [(
) - (
)]
4)
(A + B) (A – B) = [(
) + (
)] [(
) - (
)]
Dan vermenigvuldig jy net elke keer die ronde hakies uit binne-in die vierkant hakies en tel soortgelyke terme bymekaar. 1)
(A + B) (A – B) = [
][
]
2)
(A + B) (A – B) = [
][
]
3)
(A + B) (A – B) = [
][
]
4)
(A + B) (A – B) = [
][
]
Oefening Faktoriseer volledig: a) 64 – a4 b)
7a4 – 7b4
c)
a² - 4 (x + y)²
d)
4 (3x – y)² - 9 (3x + y)²
e)
7a8 – 7b8
f)
81a4 – 25 (4x – 7y)²
