One-Dimensional Quantum Walks - Semantic Scholar
One-Dimensional Quantum Walks Andris Ambainis
Eric Bach
Ashwin Nayak
!#"$%! & ' ()$ +*, (- ./$0 ,' $%!213-45.6$% 7$% 98: ()! .;(-$ : ().).;$kB.KR $l*U , ()0|q I / I $% )R&M$.;.;(-` ) ;,' .;- ()$ ) () 5*%@, (| r
( ',;& , $ "9.;.;.$ J I )() b))$B1N() GR$% R ;,' 8 .;( ()$% . `M9 :1L9 J%@à;" - ; ()" .;( ., W I )90p r k, (-GI .;I(0| 3$%&M9,'@ $, .A & $r $@*U9,')_&I.;rs x@z=ZÄLI.;i& , $ "9.;.;. .;()! &b"$,;, 9.;&M$% b $W! $ ()$% 6() k.;() G- (, "9 ()$% g= >:0m Ii&,; ()")/I.N 69j5 ;,'G, /$0º0|, B $!Ö I@ e.;.;().K . () 6( .L! $ ()$% mA5I $B1L*U ,BA I ( 3().L&M$%.;.;()`) (- .º *%)$%&MBf0µ$,+ () Ga q I)()! ( /0µ$, |@, G% Am I &, $%``())( aR$0L, "'I() G I3)90| L`M$ ,; . $W@vUw x 8OAPQix%vº ={ÄLI3, B.;$% 0µ$,6 I ().6.K ;,' G%q`MIB*()$,P().AiG%() mAN Iq ! () 9,;0p9,;8 "%={: e().e $ 91C$,;8 I f I m I().º "'I (| {().d.K ' ,' (- / I C .;().$0 "-.;.;()"B ,' $%!Ö13)4.s z= Á4%9l * 'G $0 Ir]5" I,@$UÞ () G%9,
P$0eBv ´0p$,i I(). ! (j() Gq ()! 60µ$, G% 9,'eG,'&I .AC1NI , o().W IP! @j(-!r ! G, 9/$0{*U ,; 9jb(- b I/G,'&IP (-.N( .N"$% "9 ' "%= ÄLI k, .K b$0/ I(). &&M9,b().6$, GU ()B7. 0µ$)-$B1N.=}]5"9 ()$% 7x "9$% '() .e0µ$, ! d9 ( (-$ .e$0+ I !Ö13)4.N1L.K 5 = ]5"9 ()$% ·6.K '@ ./ Ir, 9.; ./$03$ , &&M9, () 9 '(-=b]5"9 ()$% G%()*U9.C& , $ $0µ.3$0º$ ,C, 9.; .L$%
, .K ;, ()"9 B !®13-45.A ]5"9 ()$% W¶£ +().{.K $£0d If, 9.; : ( (-)()/ If.K.K !() l"9|.;.;()"Bd.K '@ ) # $ # ± $ = x =D=ºi& & ?}= `m= î `.;9, *%£0/ Ik, .; ) 6$0( I 9,P! .; , 9! 13. E: 9*. F7(= %=)Ae, 98 *%B)Br I + IC.K .K 9!?1L.{( I9,Z@ Z)$ "B@ ()$% f$,{)$ "B@ (-$ A I b 9, ! () @ Hfµu e-$ " ()$% .r@ f1NI()"'I I r"$.;() 98£. @:, B() ÄLI$, ! x ().e"9-$.;f $6A I9, 90p$, G k$, G ()D. Hf ={ÄLI().N()! &)(). I N If5 !}13-4b$% 6 If)() /().e! ()j() Gr/ () P)() B@,i ()! %= O: i(-.£0r I R,'@ ()$ + `M 8 )$% G%.W $ I 6() 9, */s · t7x w x5y ` ' : zµ1NI (-"'ID"$,;, .;D &M$ . $Pt3u;vUw x 3 3 u;vUw x% A I f.;$%) ()$ .i, /$0º If0µ$, ! 7x F @Dx D .;() ºF@ML ¸U , F @Ex 1NI , ®@, ""$%. D + L D - + ` L %: + =fni$@1C*U9,BAM I r ,;, $,/() ;, $5 "B ` 6, 9&-"() G Fk ` F , .N$% e $ `M/ $ $ ` (-G= ]$A3 I().b.;(-! & )q&&, $U" IO0µ()).A:0M1LN"$ .;(- ,
"9 ()$[ A yKu C$@*U9, o().NG%()*U P`5qs9z A ! : yKu 4 A y;u S U 6 7 >a 6&@,; (-"9 -,BA 1L/IB*U A! : y %5 Á5y@ J 0µ$,f) : =
Fourier analysis of the Hadamard walk
h, $%!Ö If ! (-"9.3$0EArA1L/! b "9: 6 I /"B.;/$0 Ifn9Û£SäµÚ?;T 9å6ÚÙ5V% X'äâ S%[däµÚ Û($#X;SÛä$Ú . T VrV S 6SÚTPÛpã Ûpã X XS VSÚRSÜ'åV &Û=Ûäâ SÚS%[ åÜ äµÜ .fÛpã YZS%[ \Gmã ÚÙ5V8W X b Ü Û((& Ü äµÚEÛpãb YZS%[ \qYZSÜ Û£SB\ ÚOÛ=: lhd()G% , ·A1L/"$! &, & Z 1N( 7I &= h $,f j! &)%A I r")" -@ (-$ $0C! $! .N(-.i.;()! &)( Bk` I /0µ$%))$B1N() GP$`.;9, * ()$ m=iÀm9 Gd_ L+ H u & Z _ Lºu9yau =eÄLI9? G ().rl& , $`` ()-( :J .;( aq0p " (-$ o$@*U9,bst/@v w xy@v w x@zr() (). "9-, $% 8: GU@ ()*U%Am R1L.;I$B1?`M)$B1} I /( () G,'@ . $%=PÄLI(). $%`.; , *%@ (-$ o))$B1N. . $l&&, $Bj ()! @ I .; ! . () l I /! $%! 3"B)" - ()$ .f` 6 N=ä VWSÚÚqäµÚ (Û =#XKS%[ A_ 6 I ,;, $,i.;$W() 5 ;, $5 "6().eGU() q)$@1C9,i$,' ,e , !l= Äm$R.;9 IC Gd_ L+/() 5 9G,' 9.r $J%A{ $ I@ 6 : y L+
È t 62 @HLCA .;$ D
6
# #2 2 #
N
t
62 2
t
:L
7
Z
?
â+ V & SX äµÜW Ú .W Ûpãb TäµÜ ÛX ä79ÙÛä7 ÚÜ%&¯SÚMT & -Xmu; ÈB CÚ[ åeÛpã&XS S9äµ[ äµÛå SÛ_Ûpã*U R&3äµÚ ÛÜZäµÜ &M[EÛÛ(;T:/ SÚT& äµÜNÜ â S%['; T89å S SUâ9Û= X . %";â SÙ5Ü f äpÛºã SÜeÜ'Ù &&3X Û Ú Ûpã B T%T &3 äpÚÛÜ SÜV SÚ &3Ü'äpÛ$ä Ú / Ydã5äâ'ãläµÜ SbSX Ü Ù [ DÛ äµÛRÜ 9äS-Ü ;T äµÚäµÛäS%[mÜ Û£S(Û 0OgAXrSÚÙ5Ú 9äS Ü ;T äµÚ äµÛäS%[_Ü Û£S(Û W/ZÛpã %V ;SÚqY Ù[)%T W! SX 5 °# 3 R XEu y , U , U L : Èt/ ().*U J - *!/` 9 $ W I .; ` .;9 $#0 * / 0p$,1NI()"'IJ I().
5 !`M9,().W$5_=°i $B1/AZ I 6! &)( 6.;.;$ "(- BE1N( IÇB" I & IW() * /L ().Cx ` / A5 r IN! &)( L.;.;$ "(- 1N( I B" I & Il() * /` (-. tix ` / =+>: N0µ$)-$B1N.e I G `
4/ : * /L t * /` x ` / 7 K²U i1N())_*%) e Ie.; !c(- RKB²%Z` () G G% 9,' () G 0p "9 ()$% P0p$, * /L t *!/` ={Àg9 E / 4 * /L t * /` E / 7 / :
ÄLIf0p "9 ()$% E C$`M9.3 I/B @ ()$% E Eft E E E A@7E E ; @7E E ; @5) ))
Eft NE t E EU E y KB% 1NI()"'ID0p$%))$B1N.W0p, $%!Î I 0" W I@ Pt EE EU; 6 (). kG 9,'@ ;8 () G 0µ
"9 ()$% R.;()! ()|@,f $ Am` i, .K ;, ()"9 Bk $6& I.i I #
#
# #
'
'
> #
'
I PVP & , $@*Uk (|/ O()(pf $%G9 I ,B=lh , $! #, @ # #, # 2 @ # # D @ x f , B A51Lf # : # t6# # ! £x tÇB o @
E
IW, - ()$
ME -
7
E S U v w x5A1L/I@*% £x7E tÇB @oME ÁS ` U tD@ K @ S U 7² "$. # Î5=È>: Ç I l.;"$ O"B.;%A I . @, , $ $ W().k, L 5 !r `M9,/ I@ r1CP9 9, ! () W $q`M
9GU ()*UA! 4() G # :# 6 t # > # XÇ= ° W( f1N())Z.;3 B " $6"$% 8 .;(- 9, F( ®£7x E @@t @JM E l.;I$B1Á I FF ®x5=: o I()..;" (-$ D1CP&, $*%6ÄLI $, 9!B5=o>: r0µ$-)$B1N.W0p, $!Î I :1L$W)! ! .3`M)$B1/= &+Sì R R('Öx %"= J!fãS:9: )()! ` G x @ Q - : v 1@7 7 I PVPih , $%!¼Àg! ! ¸r1L/IB*U%A .;(-' ") ' # #().N*U9 mA Q - # # @ Q # 7v E4# 7 £x²U G
` - - {Àg! ! k@P E(-(|:8'()()(pf$0NÀm! ! kB5Aº I .;"$ , ! I.3 I/)()! ( / xW. 0 V = >: I W , .K 9, !lAg1L "$% .;(- 9I, 6 $k`M P0p "9 ()$% J$0 $
@, GM : v eµ I().3().L, B_` Àm9! ! U A " I $ $%.;() G Ii` ,' " I I e! & .Nr $ 5={ÄLI().iG()*U. Q - # # x Q : v tE $my ` - ` : v t : $ 1N( I tD=Zi&& () GWÀm9! ' ! x1N() I ' W E y $_/ #- Ea LSX B"â +;Täµ5Ú #Ü /Ûpã + Ûpã eÚÚ ÙS[ T åV &3Ü'äpÙV Ú gBUÙ5ÚM= TUSÛ$ä ÚRÜ 1V &Ù5(Û X T â9=ä Ú"â A&G%.<x5 ² 5x%x·5A s z =C9 ,: "%=)A°a LXSBâ"+;TäµÚ5#Ü /Ûpã T ä'JÛ(+ Ú Ûpã eÚÚ Ù S%[ T å4V &3Ü äµÙ5 V Ú mã SX å 14V &Ù5Ûäµ;Ú #A &G%. x²% x%²A%² = s x5 z É =Õ/9! b É =_]5 )V= gZäµÚäµ(Û SX;\ :9 ºãSäµÚÜ = ]& , () G%9,;=8 C{9, -G AgB²%·5= s x%xBzrr=Àg$% "'I@,'g=ÄLI/`, $@1N (- l! $ (-$ m{ G%)" B6 $ $% 0µ$,N I /"$%! & - j ( :b .;().e$0.;$,; B6 '`). ! ()& - ()$% g= D '0Ú X >V mã -A_@5 Aº%²·= s x·@zÀ{=Àm$@* .; ± =Õ m= h.K 9,e! (j () G*5(-WB*U9,'G "$% " ' "9%=>: LSX B"â +;Täµ;Ú #RÜ Ûpã %mã5äµX'Ûå 6 gZäµX'Ü Û eÚÚÙ S%[ T åV &3Ü äµÙ5 V Ú mã SX'Nå .1V &Ù5Ûäµ5Ú #A 3 - 5 '5AM: LSX B"â + Täµ;Ú #GÜ .fÛpã +UÚMT eÚÚ Ù S%[ T åV &3Ü äµÙ5 V PÚ gÙ5ÚMT%SÛ$ä Ú RÜ .1V &Ù5(Û X T â9$ä ÚM"â A &G./B¸ · ¸%5Am] É mA³{ 9,; $ ± (-"9$ Ag î " $%`M9, B%5%=>K{Z $! & 9,e]$ "9(- a = s x²@zÄ
Eric Bach
Ashwin Nayak
!#"$%! & ' ()$ +*, (- ./$0 ,' $%!213-45.6$% 7$% 98: ()! .;(-$ : ().).;$kB.KR $l*U , ()0|q I / I $% )R&M$.;.;(-` ) ;,' .;- ()$ ) () 5*%@, (| r
( ',;& , $ "9.;.;.$ J I )() b))$B1N() GR$% R ;,' 8 .;( ()$% . `M9 :1L9 J%@à;" - ; ()" .;( ., W I )90p r k, (-GI .;I(0| 3$%&M9,'@ $, .A & $r $@*U9,')_&I.;rs x@z=ZÄLI.;i& , $ "9.;.;. .;()! &b"$,;, 9.;&M$% b $W! $ ()$% 6() k.;() G- (, "9 ()$% g= >:0m Ii&,; ()")/I.N 69j5 ;,'G, /$0º0|, B $!Ö I@ e.;.;().K . () 6( .L! $ ()$% mA5I $B1L*U ,BA I ( 3().L&M$%.;.;()`) (- .º *%)$%&MBf0µ$,+ () Ga q I)()! ( /0µ$, |@, G% Am I &, $%``())( aR$0L, "'I() G I3)90| L`M$ ,; . $W@vUw x 8OAPQix%vº ={ÄLI3, B.;$% 0µ$,6 I ().6.K ;,' G%q`MIB*()$,P().AiG%() mAN Iq ! () 9,;0p9,;8 "%={: e().e $ 91C$,;8 I f I m I().º "'I (| {().d.K ' ,' (- / I C .;().$0 "-.;.;()"B ,' $%!Ö13)4.s z= Á4%9l * 'G $0 Ir]5" I,@$UÞ () G%9,
P$0eBv ´0p$,i I(). ! (j() Gq ()! 60µ$, G% 9,'eG,'&I .AC1NI , o().W IP! @j(-!r ! G, 9/$0{*U ,; 9jb(- b I/G,'&IP (-.N( .N"$% "9 ' "%= ÄLI k, .K b$0/ I(). &&M9,b().6$, GU ()B7. 0µ$)-$B1N.=}]5"9 ()$% 7x "9$% '() .e0µ$, ! d9 ( (-$ .e$0+ I !Ö13)4.N1L.K 5 = ]5"9 ()$% ·6.K '@ ./ Ir, 9.; ./$03$ , &&M9, () 9 '(-=b]5"9 ()$% G%()*U9.C& , $ $0µ.3$0º$ ,C, 9.; .L$%
, .K ;, ()"9 B !®13-45.A ]5"9 ()$% W¶£ +().{.K $£0d If, 9.; : ( (-)()/ If.K.K !() l"9|.;.;()"Bd.K '@ ) # $ # ± $ = x =D=ºi& & ?}= `m= î `.;9, *%£0/ Ik, .; ) 6$0( I 9,P! .; , 9! 13. E: 9*. F7(= %=)Ae, 98 *%B)Br I + IC.K .K 9!?1L.{( I9,Z@ Z)$ "B@ ()$% f$,{)$ "B@ (-$ A I b 9, ! () @ Hfµu e-$ " ()$% .r@ f1NI()"'I I r"$.;() 98£. @:, B() ÄLI$, ! x ().e"9-$.;f $6A I9, 90p$, G k$, G ()D. Hf ={ÄLI().N()! &)(). I N If5 !}13-4b$% 6 If)() /().e! ()j() Gr/ () P)() B@,i ()! %= O: i(-.£0r I R,'@ ()$ + `M 8 )$% G%.W $ I 6() 9, */s · t7x w x5y ` ' : zµ1NI (-"'ID"$,;, .;D &M$ . $Pt3u;vUw x 3 3 u;vUw x% A I f.;$%) ()$ .i, /$0º If0µ$, ! 7x F @Dx D .;() ºF@ML ¸U , F @Ex 1NI , ®@, ""$%. D + L D - + ` L %: + =fni$@1C*U9,BAM I r ,;, $,/() ;, $5 "B ` 6, 9&-"() G Fk ` F , .N$% e $ `M/ $ $ ` (-G= ]$A3 I().b.;(-! & )q&&, $U" IO0µ()).A:0M1LN"$ .;(- ,
"9 ()$[ A yKu C$@*U9, o().NG%()*U P`5qs9z A ! : yKu 4 A y;u S U 6 7 >a 6&@,; (-"9 -,BA 1L/IB*U A! : y %5 Á5y@ J 0µ$,f) : =
Fourier analysis of the Hadamard walk
h, $%!Ö If ! (-"9.3$0EArA1L/! b "9: 6 I /"B.;/$0 Ifn9Û£SäµÚ?;T 9å6ÚÙ5V% X'äâ S%[däµÚ Û($#X;SÛä$Ú . T VrV S 6SÚTPÛpã Ûpã X XS VSÚRSÜ'åV &Û=Ûäâ SÚS%[ åÜ äµÜ .fÛpã YZS%[ \Gmã ÚÙ5V8W X b Ü Û((& Ü äµÚEÛpãb YZS%[ \qYZSÜ Û£SB\ ÚOÛ=: lhd()G% , ·A1L/"$! &, & Z 1N( 7I &= h $,f j! &)%A I r")" -@ (-$ $0C! $! .N(-.i.;()! &)( Bk` I /0µ$%))$B1N() GP$`.;9, * ()$ m=iÀm9 Gd_ L+ H u & Z _ Lºu9yau =eÄLI9? G ().rl& , $`` ()-( :J .;( aq0p " (-$ o$@*U9,bst/@v w xy@v w x@zr() (). "9-, $% 8: GU@ ()*U%Am R1L.;I$B1?`M)$B1} I /( () G,'@ . $%=PÄLI(). $%`.; , *%@ (-$ o))$B1N. . $l&&, $Bj ()! @ I .; ! . () l I /! $%! 3"B)" - ()$ .f` 6 N=ä VWSÚÚqäµÚ (Û =#XKS%[ A_ 6 I ,;, $,i.;$W() 5 ;, $5 "6().eGU() q)$@1C9,i$,' ,e , !l= Äm$R.;9 IC Gd_ L+/() 5 9G,' 9.r $J%A{ $ I@ 6 : y L+
È t 62 @HLCA .;$ D
6
# #2 2 #
N
t
62 2
t
:L
7
Z
?
â+ V & SX äµÜW Ú .W Ûpãb TäµÜ ÛX ä79ÙÛä7 ÚÜ%&¯SÚMT & -Xmu; ÈB CÚ[ åeÛpã&XS S9äµ[ äµÛå SÛ_Ûpã*U R&3äµÚ ÛÜZäµÜ &M[EÛÛ(;T:/ SÚT& äµÜNÜ â S%['; T89å S SUâ9Û= X . %";â SÙ5Ü f äpÛºã SÜeÜ'Ù &&3X Û Ú Ûpã B T%T &3 äpÚÛÜ SÜV SÚ &3Ü'äpÛ$ä Ú / Ydã5äâ'ãläµÜ SbSX Ü Ù [ DÛ äµÛRÜ 9äS-Ü ;T äµÚäµÛäS%[mÜ Û£S(Û 0OgAXrSÚÙ5Ú 9äS Ü ;T äµÚ äµÛäS%[_Ü Û£S(Û W/ZÛpã %V ;SÚqY Ù[)%T W! SX 5 °# 3 R XEu y , U , U L : Èt/ ().*U J - *!/` 9 $ W I .; ` .;9 $#0 * / 0p$,1NI()"'IJ I().
5 !`M9,().W$5_=°i $B1/AZ I 6! &)( 6.;.;$ "(- BE1N( IÇB" I & IW() * /L ().Cx ` / A5 r IN! &)( L.;.;$ "(- 1N( I B" I & Il() * /` (-. tix ` / =+>: N0µ$)-$B1N.e I G `
4/ : * /L t * /` x ` / 7 K²U i1N())_*%) e Ie.; !c(- RKB²%Z` () G G% 9,' () G 0p "9 ()$% P0p$, * /L t *!/` ={Àg9 E / 4 * /L t * /` E / 7 / :
ÄLIf0p "9 ()$% E C$`M9.3 I/B @ ()$% E Eft E E E A@7E E ; @7E E ; @5) ))
Eft NE t E EU E y KB% 1NI()"'ID0p$%))$B1N.W0p, $%!Î I 0" W I@ Pt EE EU; 6 (). kG 9,'@ ;8 () G 0µ
"9 ()$% R.;()! ()|@,f $ Am` i, .K ;, ()"9 Bk $6& I.i I #
#
# #
'
'
> #
'
I PVP & , $@*Uk (|/ O()(pf $%G9 I ,B=lh , $! #, @ # #, # 2 @ # # D @ x f , B A51Lf # : # t6# # ! £x tÇB o @
E
IW, - ()$
ME -
7
E S U v w x5A1L/I@*% £x7E tÇB @oME ÁS ` U tD@ K @ S U 7² "$. # Î5=È>: Ç I l.;"$ O"B.;%A I . @, , $ $ W().k, L 5 !r `M9,/ I@ r1CP9 9, ! () W $q`M
9GU ()*UA! 4() G # :# 6 t # > # XÇ= ° W( f1N())Z.;3 B " $6"$% 8 .;(- 9, F( ®£7x E @@t @JM E l.;I$B1Á I FF ®x5=: o I()..;" (-$ D1CP&, $*%6ÄLI $, 9!B5=o>: r0µ$-)$B1N.W0p, $!Î I :1L$W)! ! .3`M)$B1/= &+Sì R R('Öx %"= J!fãS:9: )()! ` G x @ Q - : v 1@7 7 I PVPih , $%!¼Àg! ! ¸r1L/IB*U%A .;(-' ") ' # #().N*U9 mA Q - # # @ Q # 7v E4# 7 £x²U G
` - - {Àg! ! k@P E(-(|:8'()()(pf$0NÀm! ! kB5Aº I .;"$ , ! I.3 I/)()! ( / xW. 0 V = >: I W , .K 9, !lAg1L "$% .;(- 9I, 6 $k`M P0p "9 ()$% J$0 $
@, GM : v eµ I().3().L, B_` Àm9! ! U A " I $ $%.;() G Ii` ,' " I I e! & .Nr $ 5={ÄLI().iG()*U. Q - # # x Q : v tE $my ` - ` : v t : $ 1N( I tD=Zi&& () GWÀm9! ' ! x1N() I ' W E y $_/ #- Ea LSX B"â +;Täµ5Ú #Ü /Ûpã + Ûpã eÚÚ ÙS[ T åV &3Ü'äpÙV Ú gBUÙ5ÚM= TUSÛ$ä ÚRÜ 1V &Ù5(Û X T â9=ä Ú"â A&G%.<x5 ² 5x%x·5A s z =C9 ,: "%=)A°a LXSBâ"+;TäµÚ5#Ü /Ûpã T ä'JÛ(+ Ú Ûpã eÚÚ Ù S%[ T å4V &3Ü äµÙ5 V Ú mã SX å 14V &Ù5Ûäµ;Ú #A &G%. x²% x%²A%² = s x5 z É =Õ/9! b É =_]5 )V= gZäµÚäµ(Û SX;\ :9 ºãSäµÚÜ = ]& , () G%9,;=8 C{9, -G AgB²%·5= s x%xBzrr=Àg$% "'I@,'g=ÄLI/`, $@1N (- l! $ (-$ m{ G%)" B6 $ $% 0µ$,N I /"$%! & - j ( :b .;().e$0.;$,; B6 '`). ! ()& - ()$% g= D '0Ú X >V mã -A_@5 Aº%²·= s x·@zÀ{=Àm$@* .; ± =Õ m= h.K 9,e! (j () G*5(-WB*U9,'G "$% " ' "9%=>: LSX B"â +;Täµ;Ú #RÜ Ûpã %mã5äµX'Ûå 6 gZäµX'Ü Û eÚÚÙ S%[ T åV &3Ü äµÙ5 V Ú mã SX'Nå .1V &Ù5Ûäµ5Ú #A 3 - 5 '5AM: LSX B"â + Täµ;Ú #GÜ .fÛpã +UÚMT eÚÚ Ù S%[ T åV &3Ü äµÙ5 V PÚ gÙ5ÚMT%SÛ$ä Ú RÜ .1V &Ù5(Û X T â9$ä ÚM"â A &G./B¸ · ¸%5Am] É mA³{ 9,; $ ± (-"9$ Ag î " $%`M9, B%5%=>K{Z $! & 9,e]$ "9(- a = s x²@zÄ
