a new hybrid genetic algorithm for global optimization - CiteSeerX

Report 1 Downloads 88 Views
A NEW HYBRID GENETIC ALGORITHM FOR GLOBAL OPTIMIZATION SOTIROPOULOS D.G., STAVROPOULOS E.C. and VRAHATIS M.N. Department of Mathematics, University of Patras, GR{261.10 Patras, Greece

K

Global optimization, hybrid algorithm, interval arithmetic, branch{and{ bound, genetic algorithms, termination criterion. e

y

w

o

r

d

s

a

n

d

p

h

r

a

s

e

s

:

1. INTRODUCTION W

e

a

d

d

r

e

s

s

t

h

e

p

r

o

b

l

e

m

o

f



n

d

i

n

g

r

e

l

i

a

b

l

e

s

o

l

f w

h

i

e

s

r

a

r

e

l

l

m

i

t

n

s

I

n

f

a

t

l

p

g

r

t

r

t

n

t

e

e

o

v

m

a

r

i

r

e

h

b

l

i

r

e

l

i

t

e

i

o

r

k

I

s

e

a

n

e

n

i

s

h

h

o

i

l

r

c

t

r

d

i

i

u

s

c

o

n

s

o

x2X =

m

o

n

t

i

i

t

h

u

e

n

f

g

l

o

b

a

l

o

p

t

i

m

i

z

a

t

i

o

n

p

r

o

b

l

e

m

s

fx;

n

u

(

0

o

u

s

t

)

s

a

s

r

i

i

l

n

e

f

y

(

d

f

i

l

e

r

r

i



e

r

e

n

h

c

a

e

r

e

i

n

t

i

a

b

l

e

a

n

t

o

y

r

i

i

k

e

s

d

n

.

c

s

n

d

t

h

e

c

i

h

e

o

m

p

2

e

c

t

t

i

i

o

h

a

a

c

o

o

e

n

s

4

T

r

e

h

t

t

s

e

s

t

c

l

e

o

: 1

1

X 

)

t

I

n R

i

n

n

i

r

b

e

a

e

v

i

s

t

l

s

e

a

e

r

i

o

f

t

h

i

t

e

i

n

s

e

n

o

t

a

f

o

n

c

e

,

o

e

a

r

e

d

i

s

t

l

v

a

n

b

u

b

o

o

i

l

a

z

h

m

a

b

i

r

m

t

v

s

t

p

i

m

r

n

n

o

t

t

e

o

e

t

p

o

s

o

a

r

n

y

i

c

,

t

h

h

m

{

a

l

c

a

p

l

e

o

r

n

o

h

a

r

{

c

h

d

p

o

n

{

u

l

s

b

a

i

o

t

i

s

u

t

o

s

n

d

n

o

f

e

d

n

e

f

n

i

e

,

e

d

f

a

h

.

n

r

t

o

o

o

i

o

o

t

r

i

e

m

o

a

a

n

l

t

,

g

i

g

o

r

i

i

o

n

v

t

e

h

s

m

.

p

c

a

s

e

d

m

o

n

t

e

g

l

d

s

b

c

h



i

p

e

c

u

o

o

i

a

o

e

e

p

f

i

l

t

t

n

g

r

a

r

e

v

t

n

n

o

l

b

w

w

h

c

i

r

i

r



s

e

i

a

l

e

a

g

e

s

n

e

e

I

t

e

o

f

i

.

c



a

e

d

c

s

e

f

r

e

n

i

.

a

i

v

i

b

y

r



i

o

s

n

r

v

f

b

d

r

a

r

r

u

d

s

a



e

f

{

d

i

m

h

h

o

e

e

l

n

s

i

u

e

t

a

n

e

c

o

d

.

i

t

t

m

e

u

g

m

n

u

h

n

T

n

I

m

t

o

r

r

h

3

n

i

l

b

c



.

h

p

t

a

o

A

s

l

.

i

e

r

i

t

n

u

d

n

e

a

a

n

d

n

i

n

l

e

e

e

w

i

a

e

f

c

l

i

t

a

l

o

o

e

G

i



n

m

k

.

s

i

m

i

m

e

n

o

n

y

m

h

i

i

l

n

v

m

d

n

,

o

i

s

o

l

e

s

t

t

t

r

l

n

a

s

s

i

i

t

i

t

e

a

e

l

o

a

b

r

l

h

r

o

a

i

a

n

t

n

c

e

e

x

b

t

t

i

t

o

e

p

c

u

y

a

e

o

S

S

d

W

t

l

a

s

t

s

u

s

t

a

n

i

e

e

m

a

n

a

n

l

e

z

r

h

h

l

l

i

e



d

g

p

b

m

t

t

i

m

o

c

e

e

s

e

l

i

l

e

e

p

o

g

w

d

.

n

e

p

n

i

s

s

t

d

l

h

)

e

a

n

G

e

h

u

a

S

l

e

t

o

t

d

t

h

t

o

I

e

k

i

r

a

m

c

c

s

p

g

h

a

d

H

n

g

t

t

n

p

o

i

n

s

n

o

)

l

t

i

m

l

n

a

s

s

a

u

l

o

n

e

o

o

a

r

y

l

n

d

c

a

i

t

o

u

h

r

n

a

n

w

t

a

I

a

e

t

i

t

:

l

s

s

m

r

r

s

e

s

f

n

r

a

i

o

r

t

o

c

d

s

i

f

i

u

l

(

i

t

s

m

n

d

d

e

e

m

s

e

b

w

m

e

n

d

t

a

i

t

o

o

e

o

d

n

w

h

e

c

i

m

r

t

m

n

e

i

e

h

i

a

s

a

v

c

i

o

t

r

e

u

i

n

w

r

t

n

c

v

p

t

a

o

r

o

l

o

o

i

c

r

t

a

d

a

e

n

u

c

s

n

g

e

b

h

i

l

r

p

h

o

e

u

l

t

t

l

h

p

c

a

i

t

a

a

a

n

r

l

e

w

n

a

r

t

a

l

s

i

a

t

a

n

i

h

r

e

o

o

s

,

c

w

s

f

i

s

o

i

s

d

c

a

m

m

a

n

n

o

r

i

i

y

d

t

r

s

t

l

e

o

e

l

o

s

e

b

a

t

i

s

i

a

e

a

e

n

l

b

m

h

a

a

r

x

t

v

n

i

f e

r

o

m

f

e

e

w

i

s

d

n

t

u

d

n

a

n

o

a

,

n

a

e

n

e

i

i

h

m

r

r

s

t

t

g

d

t

o

u

m

p

c

n

n

e

n

i

n

e

e

p

d

t

s

c

l

r

o

e

o

a

o

n

i

r

r

o

m

e

,

p

v

G

l

a

o

l

r

n

n

l

e

l

d

e

i

a

a

h

(

)

t

t

t

s

s

o

e

l

a

A

p

e

i

a

m

u

c

G

i

t

h

c

f

t

d

v

s

g

i

i

n

p

i

e

t

c

x

s

c

e

a

l

i

c

h

(

n

c

a

z

n

I

i

r

m

a

a

r

e

i



p

o

l

c

i

s

h

s

a

m

l

p

i

e

g

a

i

t

l

i

R



c

o

i

n

e

u

n

.

l

o

t

n

t

n

a

a

r

t

s

n

t

i

e

n

b

c

i

n

a

o

s

a

n

o

t

e

a

i

i

0

I

r

i

s

"

p

i

s

o

s

a

d

m

i

d

t

I

r

t

e

o

n

h

k

p

u

t

a

s

a

l

I

i

o

a

e

o

t

.

l

s

d

r

o

t

d

t

e

e

l

f

t

m



g

g

r

i

b

s

c

g

o

n

u

d



s

e

N

i

a

e

e

t

g

e

e

n! R

m

e

s

o

u

t

s

r

o

s

,

h

h

n

.

n

e

d

t

f

G

o

c

o

h

o

I

o

i

n

g

p

\

l

a

b

:

d

l

o

l

a

l

y

i

o

u

a

H

t

t

p

c

n

p

A

f

b

a

p

c

s

o

t

r

a

c



f n

t

.

n

i

m

l

n

T

o

t

l

H

a

n

i

u

o

o

d

a

i

h

d

n

.

t

t

e

t

e

t

g

I

s

d

y

o

a

e

i

x

t

e

a

:

u

u

t

s

c

r

i

s

l

q

r

r

u

o

e

o

g

m

m

s

s

e

t

t

l

e

s

c

i

e

e

d

e

e

v

e

o

h

p

s

i

a

p

h

a

e

x

e

T

i

g

f

e

t

n

b

n

i

t

o

a

y

l

o

i

t

a

m

h

a

n

p

h

h

t

n

e

h

c

t

l

o

h

u

e

s

c

b

o

e

v

c

q

r

s

p

i

e

I

i

o

o

o

a

w

h

e

a

e

i

G

n

t

t

o

e

e

d

h

n

u

l

n

e

,

t

h

r

n

w

t

a

T

u

,

h

a

o

e

t

f

a

e

t

s

e

n

i

a

r

t

v

o

d

i

o

l

i

i

a

r

u

t

s

r

l

s

c

n

p

a

.

e

g

o

e

n

b

c

e

l

d

s

j

m

s

o

b

r

r

c

i

{

a

o

i

r

d

p

o

e

d

t

i

a

p

m

o

o

c

p

l

e

i

a

i

e

i

a

n

h

n

r

e

d

s

b

t

e

c

s

t

a

e

g

a

i

u

r

h

{

l

e

m

t

n

C

a

n e

u

s

n

f

e

t

t

d

a

h

h

i

n

e

y

r

b

s

c

r

o

e

i

n

l

e

d

v

a

a

c

l

l

u

n

g

d

t

o

i

-

n

g

.

2. PRELIMINARIES T

t

r

e

h

a

i

t

m

s

s

e

e

n

c

t

t

i

o

o

f

n

b

t

h

e

i

s

g

i

s

n

u

s

b

w

j

e

i

c

t

t

h

,

a

i

t

b

i

s

r

i

r

e

e

f

c

d

o

i

m

s

c

m

u

s

e

s

n

i

d

o

n

e

a

d

t

b

o

o

u

s

t

e

e

t

[

h

1

e

,

b

2

,

3

a

s

]

.

i

c

I

c

n

o

t

n

h

c

e

e

p

s

e

t

q

s

o

u

e

f

n

G

c

A

e

,

s

i

n

.

F

t

e

o

r

r

v

a

a

l

m

a

r

o

i

t

r

h

e

m

t

e

h

o

t

i

r

c

o

u

t

o

g

o

h

l

s

2

w

h

i

i

n

t

2

.

c

n

i

r

d

t

e

a

c

i

r

r

h

t

o

o

t

a

r

i

n

i

e

v

i

b

o

e

i

e

i

a

l

s

s

r

l

n

g

u

c

t

Algorithm 1. 1

.

2

I

.

3

w

r

s

w

h

i

a

R

y

c

e

t

n

d

i

e

o

t

[

a

a

a

v

t

i

l

o

x

e

p

o

d

i

n



o

n

b

a

b

t

e

l

m

s

n

h

s

[

"

9

l

t

o

t

r

o

o

h

c

p

o

x

b

l

i

s

h

e

d

.

A

t

h

o

r

o

u

g

h

i

n

t

r

o

d

u

c

t

i

o

n

t

o

t

h

e

a

r

e

a

o

f

s

s

s

i

i

m

a

l

s

s

o

t

n

l

e

a

v

u

i

o

r

e

i

s

n

i

u

c

s

e

n

i

t

c

t

o

i

g

e

e

e

t

t

i

r

p

b

t

s

p

u

n

t

n

t

d

o

g

i

i

A

i

v

e

e

o

a

d

h

a

t

o

l

o

l

f

c

u

a

v

l

z

n

e

r

e

a

i

o

i

p

n

c

m

t

i

o

i

o

t

a

.

g

a

l

p

l

e

i

i

l

o

o

m

g

u

i

o

o

i

n

u

o

f

s

p

r

c

p

o

i

a

e

e

h

e

s

s

v

l

t

h

e

n

o

s

t

s

A

a

n

f

s

s

G

t

o

o

e

f

n

i

s

A

o

o

a

m

.

r

m

a

l

e

h

o

p

i

m

p

o

t

t

c

s

o

r

i

a

A

p

g

a

t

e

G

s

p

t

e

h

,

i

i

u

n

T

e

d

m

e

.

h

h

e

d

]

t

t

g

8

h

e

y

n

n

t

v

b

a

e

[

o

b

h

d

l

d

t

n

o

d

r

t

n

a

v

n

e

l

d

e

a

o

o

l

o

d

e

i

s

d

o

T

n

r

a

o

e

.

a

c

s

H

n

)

s

r

a

y

o

s

o

c

m

g

t

i

,

b

b

s

r

v

e

s

s

,

.

:

;

p

u

a

l

c

t

e

p

v

a

h

o

o

t

n

c

n

d

e

s

n

o

n

m

c

p

i

i

o

d

m

p

s

e

o

w

n

t

i

n

o

l

e

t

l

c

e

m

i

n

;

d

l

r

o

d

u

e

i

a

,

o

t

i

m

o

n

u

t

;

a

t

i

o

n

)

t

o

p

r

o

d

u

c

e

n

e

w

i

n

d

i

v

i

d

u

a

l

s

;

;

t

r

i

n

e

i

a

o

u

u

t

l

w

h

f

l

a

a

e

a

r

o

n

y

t

i

e

e

n

a

b

i

h

t

s

c

s

a

i

e

{

e

l

i

a

z

r

c

b

c

n

r

a

q

n

d

i

i

p

u

d

i

r

f

r

o

l

i

l

e

i

t

e

e

y

t

r

i

c

c

g

r

i

t

.

e

t

s

e

o

p

y

d

c

f

w

o

r

e

a

o

m

a

r

p

t

o

i

i

y

n

l

c

l

u

s

e

e

a

d

i

q

h

h

e

x

e

c

T

n

u

r

a

r

a

a

s

.

r

e

y

r

i

s

i

n

t

e

,

l

h

h

n

m

t

i

t

o

l

o

n

b

i

u

d

g

a

o

t

c

n

m

i

o

d



a

I

r

e

N

n

.

s

.

o

t

d

,

l

c

n

e

e

y

a

z

o

z

l

c

d

t

o

,

i

a

i

i

s

h

c

r

v

h

e

c

r

u

i

c

u

r

n

c

d

s

b

i

c

n

p

i

a

y

p

n

i

e

h

e

e

i

h

s

d

n

e

h

L

g

n

i

w

c

e

e

n

a

a

h

t

i

d

t

e

t

h

r

m

e

f

f

u

e

o

b

o

o

d

c



s

n

d

h

o

s

o

e

e

l

c

i

s

t

l

e

t

l

a

a

n

c

a

l

h

d

t

a

c

r

w

a

f

u

p

r



s

o

m

s

t

e

i

l

u

y

d

a

h

t

y

c

l

o

d

g

r

a

a

t

i

d

e

e

n

r

o

t

g

e



u

y

b

d

m

o

s

i

i

e

d

t

l

h

l

b

i

r

a

i

x

n

r

e

e

b

w

a

b

d

a

e

o

c

h

r

m

i

s

n

d

o

n

t

g

k

d

o

n

n

n

n

i

e

g

a

s

s

e

r



o

s

o

d

t

h

d

s

o

b

t

o

o

t

o

h

t

p

l

t

d

s

s

s

l

u

e

a

u

i

s

n

d

o

u

f

u

s

l

d

t

e

e

i

e

u

r

l

i

n

a

e

n

t

r

i

h

c

d

e

r

i

i

,

s

e

m

l

t

p

o

o

v

n

(

a

v

y

a

u

p

e

i

e

v

r

.

n

p

i

f

o

t

o

d

g

n

s

u

t

h

e

i

d

t

i

s

]

m

i

n

r

r

i

t

h

o

d

c

r

o

n

u

a

t

]

t

a

r

e

i



d

e

o

a

n

o

t

a

v

e

n

e

l

e

g

i

w

a

s

i

e

i

j

t

t

n

i

a

b

s

e

i

o

r

n

c

h

h

i

e

e

e

c



n



t

o

e

a

e

b

e

o

.

B

t

p

f

t

e

s

i

e

,

e

s

t

t

n

m

d

a

t

r

(

s

i

i

t

l

h

e

r

t

o

h

x

e

r

o

r

t

e

l

c

c

e

r

i

i

s

t

i

o

h

i

i

o

m

t

)

a

t

i

e

t

h

r

s

n

t

e

e

r

t

r

h

c

o

.

f

o

e

p

n



c

i

o

c

i

s

n

m

n

t

t

p

e

r

r

c

o

e

e

l

n

v

s

o

a

e

i

n

r

h

k

,

m

u

t

[

c

e

1

1

a

r

n

g

a

s

i

n

g

c

,

1

o

s

u

i

w

i

]

c

G

s

l

t

l

.

a

g

e

n

i

s

c

t

g

s

n

A

n

s

n

n

a

o

y

a

i

r

i

s

i

o

e

r

e

i

e

v

e

.

a

b

t

c

r

i

h

a

e

e

a

t

y

e

g

a

e

r

2

d

d

l

n

g

p

u

l

m

a

e

e

a

o

d

m

t

c

m

e

l

l

i

s

r

l

o

h

n

o

a

t

t

d

w

v

n

s

w

c

n

o

f

o

y

i

e

t

r

e

m

h

t

s

b

i

n

o

n

n

r

w

i

n

e

r

a

n

k

o

u

)

e

k

h

i

e

p

r

n

t

r

m

s

o

o

c

h

t

e

c

t

o

s

e

d

n

s

v

u

pc

s

(

e

e

y

,

o

o

s

u

u

e

b

t

s

a

d

t

d

g

i

f

o

t

s

a

s

i

a

o

f

A

A

s

t

n

i

r

r

h

f

o

u

n

G

e

d

e

i

h

a

r

s

i

t

o

e

w

t

f

a

o

c

s

t

,

y

v

v

g

y

n

n

o

i

n

G

i

r

r

l

u

A

n

e

d

l

s

b

i

l

a

o

o

s

i

s

m

c

s

o

h

o

i

a

r

u

m

o

l

x

d

p

n

h

e

n

n

i

l

c

y

a

t

a

a

a

a

y

i

u

,

b

a

r

l

e

d

e

,

T

r

e

o

r

h

s

i

i

y

r

t

w

n

A

l

.

x

s

e

e

r

s

a

r

k

e

v

l

o

e

a

)

G

a

s

c

l

w

c

s

b

n

e

i

a

e

n

a

o

,

t

i

pm

h

t

m

y

i

(

s

e

l

o

t

a

(

l

i

p

H

t

e

n

t

e

.

s

s

s

t

t

i

l

a

a

e

t

r

p

a

c

s

m

u

n

c

a

b

m

l

t

u

o

e

i

u

a

h

e

r

n

i

a

t

h

s

m

n

e

a

a

i

p

r

r

p

t

o

n

r

c

h

n

o

b

e

o

t

a

p

b

p

n

p

o

e

e



l

i

d

h

i

h

n

d

n

s

a

e

p

o

e

f

h

e

i

i

g

t

a

t

r

i

c

i

a

o

e

e

t

t

n

p

u

i

u

d

A

w



e

s

o

n

m

i

z

e

h

n

e

t

t

,

u

h

i

,

,

i

G

l

o

a

l

)

i

l

a

d

e

o

t

d

a

t

f

e

b

e

l

f

e

i

a

i

h

n

t

f

,

n

a

h

o

s

c

o

u

i

o

e



a

e

t

n

s

n

e

c

y

i

c

u

e

s

,

i

a

d

r

o

l

n

n

i

)

e

o

r

s

t

i

a

e

a

r

b

t

o

(

e

t

m

h

d

p

p

P opsize h

e

n

u

n

s

o

c

r

c

z

o

l

e

h

e

i

a

o

o

r

s

e

a

r

g

e

h

s

n

r

r

c

e

h

s

p

e



i

i

t

n

n

e

i

n

o

o

l

k

t

v

s

i

p

s

a

d

t

i

d

a

i

e

t

e

n

d

n

s

h

r

t

b

a

n

t

n

s

o

s

l

e

s

t

o

a

d

s

o

d

l

l

o

g

a

g

d

t

n

l

u

p

e

u

u

p

d

v

e

e

t

i

f

n

e

e

i

n

d

p

o

o

e

r

n

o

h

p

u

o

t

b

t

u

r

r

s

h

e

P

g

o

t

e

o

n

s

p

.

s

t

f

e

s

n

t

a



a

i

u

d

r

r

t

s

n

t

r

a

n

y

e

e

r

o

b

l

t

t

a

e

o

o

h

e

t

b

n

t

a

m

m

t

g

e

M

i

r

l

u

a

.

t

i

m

s

e

u

a

u

g

d

t

l

m

a

a

u

n

u

r

e

l

l

h

c

t

p

f

e

d

i

a

7

s

e

i

h

f

l

t

r

p

h

d

a

h

t

A

i

r

)

,



w

w

n

z

d

,

t

i

r

r

i

b

n

o

o

c

l

e

t

n

s

s

f

a

t

f

e

n

o

o

i

w

i

n

c

o

r

F

i

a

s

y

o

o

h

r

e

l

o

d

p

{

l

e

a

h

a

s

n



a

l

r

a

T

e

A

l

d

c

n

p

r

n

{

p

p

.

i

a

h

l

a

n

r

]

v

l

s

e

e

0

a

a

i

A

s

h

1

e

a

x

y

a

u

i

1

6

.

G

o

m

e

s

h

d

y

n

r

\

m

h

o

e

d

i

e

l

d

s

t

o

r

p

e

t

n

i

l

o

n

s

v

t

i

e

.

,

n

n

a

d

1

5

i

e

e

i

,

A

n

o

c

c

e

e

i

a

n

e

n

u

i

h

b

h

d

t

t

n

c

e

e

o

u

i

t

i

o

e

G

G

d

i

t

(

,

m

a

n

s

s

f

4

d

c

s

c

i

e

e

e

e

i

l

d

h

n

t

a

a

n

t

t

b

l

e

o

[

p

e

a

t

t

e

l

e

l

t

v

n

e

h

d

s

i

e

t

t

n

e

o

h

a

a

a

v

c

n



n

f

l

u

i

n

d

g

p

h

i

n

y

u

c

r

,

t

n

)

o

a

,

f

s

d

e

n

i

A

h

n

e

d

G

n

e

m

n

n

s

o

o

o

p

o

t

u

s

e

g

e

m

o

a

m

i

n

a

v

t

d

n

c

a

e

r

r

t

l

p

e

e

l

a

a

e

c

p

v

g

t

e

p

u

d

e

t

l

m

e

z

e

e

t

i

a

l

E

e

l

e

n

e

t

i

e

d

o

T

a

h

g

l

u

A

A

n

a

l

S

.

G

i

a

f

.

7

l

v

.

6

s

t

.

5

k

i

E

.

4

n

i

i

i

l

e

e

r

l

n

r

S

t

t

a

o

a

l

p

a

a

e

u

h

c

e

r

e

f

(

p

e

r

v

u

c

i

n

e

e

t

r

r

r

s

c

u

n

r

i

t

e

a

a

y

t

e

m

n

f

l

e

b

h

e

i

d

b

g

h

t

s

r

h

n

i

p

d

t

a

r

e

n

c

o

a

m

u

s

l

t

r

d

a

l

g

e

t

r

c

r

n

i

o

c

v

i



u

o

f

i

e

e

s

a

t

d

d

h

c

i

l

t

h

(

g

e

p

d

,

n

w

i

T

n

d

o

e

o

a

s

f

t

A

T

{

l

d

e

c

d

m

e

m

i

.

a

d

h

t

a

u

e

t

e

s

e

d

e

i

n

m

l

i

r

e

s

b

v

r

c

b

o

i

r

i

n

a

e

a

a

p

n

e

l

G

g

a

r

a

s

r

i

v

.

A

o

a

r

1

G

h

e

i

o

d

s

a

v

o

l

e

l

r

y

3

r

e

d

2

.

I

u

2

t

e

r

v

r

f

L

n

i

e

t

v

e

r

r

t

i

A

h

a

t

n

a

o

s

v

e

t

i

h

c

c

m

i

h

u

e

c

d

,

a

[

l

a

i

e

]

n

r

m

4

o

r

t

s

i

a

s

y

[

1

3

]

.

c

a

a

c

g

b

e

e

n

e

e

r

n

a

u

l

s

e

i

z

a

t

d

r

c

n

d

g

l

o

b

a

l

o

p

t

i

]

t

o

r

I

s

(

a

l

s

o

c

a

l

l

e

d

b

o

m

i

e

s

o

n

c

z

n

t

b

)

o

e

a

R

x

i

e

f a; b j a  b; a; b 2 g h

=

a

u

l

t

[

c

l

a

i

e

I

o

v

r

g

I

r

s

a

n

t

e

t

o

y

e

l

o

i

h

n

a

M

e

i

t

I

.

v

e

.

n

R

c

t

i

f

e

h

n

e

o

r

x

s

t

o

e

l

n

v

s

i

i

n

o

n

g

o

o

r

f

d

r

i

n

e

a

a

r

l

a

y

r

d

i

i

t



h

m

e

r

e

e

n

t

t

i

i

s

e

i

e

t

n

o

t

e

f

r

c

v

a

o

m

l

p

a

r

a

i

t

c

h

t

i

m

e

n

t

t

i

e

r

c

v

o

a

l

p

s

e

a

r

a

n

t

d

i

I

o

n

c

.

a

I

s

I

l

e

n

.

h

T

a

y

n

t

.

l

o

e

r

a

b

r

t

q

h

u

e

a

t

e

d

a

t

s

h

i

o

e

e

n

s



n

b

s

e

e

e

e

n

,

t

l

o

d

i

i

n

e

v

a

n f

b

n

-

e

n

r

d

t

s

i

e

y

m

d

s

e

b

t

n

e

s

y

m

i

s

o

n

,

a

l

y

A  B fa  b ja 2 A; b 2 Bg A; B 2 ; :  ; ?; ; = a; b c; d a c; b d ; a; b ? c; d a ? d; b ? c ; a; b  c; d fac; ad; bc; bdg; fac; ad; bc; bdg ; a; b = c; d a; b  =d; =c 2= c; d : x; y; X X;X ;Y Y ;Y ; X wX X? n n wX X X X2 ; i w Xi ; X 2 mX X X= X2 ; m X m Xi ; X 2 n F X ; ; Xn X ; ; Xn F X ; ; Xn f x ; ; xn f x ; ; xn 2 F X ; ; Xn ; x i 2 Xi i ; ;n F X i  Yi i ; ; n F X ; ; Xn  F Y ; ; Yn =

w

h

e

r

e

t

h

e

s

y

m

b

o

l

m

a

y

d

e

n

o

t

[

+

h

r

o

u

g

h

o

u

t

=

i

t

h

i

s

p

[

f

I

a

p

e

]

I

a

n

r

,

d

e

e

(

n

]

)

=

m

o

.

a

t

.

.

)

A

=

n

i

(

n

t

+

e

r

v

)

a

l

f

u

2

n

c

i

t

i

f

I

o

n

e

e

m

n

.

b

o

v

e

r

m

o

r

e

v

a

r

i

a

b

l

e

s

.

(

.

.

e



n

I

i

t

i

o

n

i

s

e

q

I

(

u

i

v

a

l

e

n

t

t

o

t

h

e

f

o

l

l

o

w

i

n

m

n

[

u

m

T

1

b

h

)

1

e

e

i

r

w

]

s

i

b

d

t

I

f

f

(

.

.

.

)

a

i

d

t

i

t

e

e

b

f

t

o

i

e

e

i

c

a

e

n

c

l

u

s

i

o

.

n

d

v

e

i

a

w

s

u

g

c

l

w

i

o

n

w

m

t

i

r

i

v

o

n

d

.

(

)

.

)

e

s

:

I

f

t

.

h

T

.

.

e

h

a

i

e

n

n

t

m

d

e

i

r

r

d

v

p

e

a

o

a

l

b

o

l

i

i

n

t

o

u

n

s

f

d

d

t

h

e

e

d



e

i

a

n

n

e

t

n

d

d

e

c

b

r

v

l

o

s

a

y

e

d

i

(

l

n

t

)

i

s

e

r

v

a

l

s

=

=

o

(

f

i

n

(

t

e

r

)

v

a

l

)

i

f

I

s

.

.

I

d

e



n

e

d

b

y

.

.

i

s

a

n

i

n

t

e

r

v

a

l

v

a

l

u

e

d

f

u

n

c

t

i

o

n

o

f

o

n

e

1

.

.

)

.

o

t

i

)

o

l

t

t

i

o

s

u

m

n

i

z

e

i

i

z

d

e

c

s

s

w

i

e

i

o

{

a

i

d

t

o

b

h

e

n

e

v

e

e

a

n

i

n

t

e

r

f

r

f

(

h

i

r

d

f

v

f

a

n

v

a

l

e

x

t

e

n

s

i

o

n

o

f

a

r

e

a

l

f

u

n

c

t

i

o

n

(

.

.

.

o

r

a

l

l

=

1

.

.

.

.

A

n

i

n

t

e

r

v

a

l

f

u

n

c

t

i

o

n

)

,

,

i

s

d

n

c

b

t

l

e

v

i

r

s

i

n

n

=

g

e

[

l

o

4

,

1

p

5

]

t

i

.

:

m

.

\

.

)

i

m

p

l

i

e

s

:

(

F X ; ; Xn F X ; ; Xn

i

L

z

e

t

a

t

i

o

n

p

r

(

o

.

b

.

l

e

m

s

.

a

.

)

n

.

.

)

(

.

.

T

h

e

n

(

.

.

.

b

)

c

i

e

a

o

n

n

o

n

t

.

.

)

.

1

d

i

t

n

h

c

e

l

r

u

a

s

i

p

o

p

l

n

i

c

m

a

o

t

n

i

o

o

n

a

i

n

s

t

h

e

r

a

n

g

e

o

s

,

i

s

e

fx; t

o

1

)

f

n

i

c

i

x

n

(

1

s

p

c

r

s

u

i

b

i

v

n

t

e

e

t

h

t

.

b

-

; xx e

.

i

r

.

1

v

b

t

l

l

e

m

n

a

n

b

e

s

o

v

l

s

i

n

a

i

s

n

u

n

f n

g

o

r

p

i

o

n

c

{

t

s

i

i

s

d

m

s

t

m

n

i

u

a

e

u

e

a

,

q

r

t

a

{

g

x

[

s

]

t

a

f

u

a

v

:

(

h

t

h

g

e

g

e

e

r

i

,

c

n

w

o

m

h

p

i

u

c

t

h

i

i

n

n

t

g

e

a

r

v

n

i

a

l

n

t

a

e

r

r

i

v

t

a

h

m

l

e

b

o

r

e

c

s

h

.

e

i

e

T

h

4

,

u

e

d

1

p

s

t

e

[

m

n

o

h

n

o

e

c

s

e

5

,

l

1

t

e

h

r

v

1

u

(

a

u

w

b

o

r

p

6

d

]

a

e

n

o

a

i

n

e

i

e

o

)

q

t

u

{

w

u

y

g

m

b

l

h

n

n

t

o

e

i

l

h

e

s

k

o

o

i

a

s

t

d

h

n

t

u

i

c

n

d

m

a

e

r

s

e

d

a

e

t

e

o

i

u

p

n

s

,

m

a

e

d

c

a

i

l

g

,

o

n

n

i

o

a

c

n

r

n

a

t

i

t

h

d

(

v

i

o

a

m

b

t

,

)

y

r

t

e

a

w

a

c

e

s

s

h

c

i

e

t

c

l

,

h

e

i

r

o

a

r

l

X 2 (

b

r

a

n

c

t

a

f

n

s

r

i

g

n

e

)

u

b

s

t

e

.

T

r

u

e

r

b

v

g

d

a

h

i

i

l

e

o

n

v

i

t

s

a

s

d

o

t

e

o

l

r

w

t

h

d

i

a

s

i

a

g

c

g

p

n

h

a

r

o

d

i

p

b

o

n

n

u

o

p

x

r

n

i

t

o

a

i

t

t

l

c

t

o

e

h

f

n

t

o

e

r

d

n

I

s

e

a

n

i

e

g

c

i

I

n

o

h

a

i

a

d

s

t

)

i

s

n

i

a

l

g

a

r

l

e

i

d

n

g

.

3. THE NEW HYBRID INTERVAL GENETIC ALGORITHM I

n

t

m

h

o

y

h

b

d

i

s

r

e

i

l

d

s

a

e

a

l

c

l

g

t

g

o

i

o

r

o

n

r

i

i

t

w

t

h

h

m

e

p

m

w

i

h

n

r

i

e

c

s

e

o

h

n

r

i

d

t

e

s

o

r

b

u

t

a

s

o

l

)

.

c

w

t

n

w

o

e

e

p

a

o

7

t

N

u

l

H

d

l

t

g

.

0

x

i

s

i

a

t

d

o

o

e

v

h

e

n

,

e

d

e

h

o

l

r

c

r

l

e

p

t

f

a

s

n

y

p

v

a

a

c

y

r

n

r

b

h

e

e

c

n

e

t

o

b

n

w

i

s

i

t

o

r

h

e

i

,

t

d

a

t

r

e

i

n

n

o

a

n

t

e

i



r

n

i

l

z

e

o

c

d

a

s

i

t

d

e

u

l

e

e

a

h

h

o

n

d

t

r

m

o

u

a

r

i

s

c

i

b

f

m

c

u

w

o

a

u

t

t

{

e

s

r

u

p

d

c

r

v

; xn

.

a

m

m

i

s

o

l

o

.

t

m

h

n

o

m

o

o

.

n

o

t

,

i

s

a

s

i

a

t

d

s

M

n

i

g

r

t

t

e

e

o

n

{

c

o

o

a

i

s

e

i

r

v

r

j

a

c

o

h

n

.

s

g

e

c

b

e

l

p

n

o

"

v

v

l

t

a

e

v

l

a

i

1

e

o

t

d

m



r

e

e

e

s

(

b

i

d

fx; u

n

t

c

o

o

;n

n

s

i

d

o

n

r

B

o

t

t

i

r

n

a

t

.

a

t

t

h

)

e

o

s

t

t

i

.

4

f

t

.

m

i

u

s

f

b

i

h

m

e

.

o

n

l

t

c

e

s

i

c

s

y

i

t

d

r

;

e

u

c

s

l

m

s

n

n

p

m

u

d

o

l

e

u

1

i

s

d

f

m

o

r

a

r

l

2

h

e

v

=

f

a

e

n

n

f

p

t

t

h

c

e

o

o

e

e

c

i

o

r

g

a

t

i

t

d

u

m

h

s

o

c

r

e

n

e

n

o

o

u

r

u

m

o

s

f

l

s

l

h

l

d

l

a

b

s

t

t

f

a

n

a

i

p

e

l

f

e

c

s

a

d

i

o

t

v

t

e

b

i

w

r

e

c

o

i

a

h

r

o

o

a

n

c

e

s

l

e

c

r

h

u

e

f

o

x i 2 Xi i

s

t

u

e

s

n

r

e

n

u

e

e

(

l

i

w

h

o

l

m

r

q

i

l

c

i

r

I

s

t

s

n

s

o

n

a

s

p

n

r

I

i

e

d

x

l

1

o

h

u

]

1

T

r

)

1

(

1

s

g

2

]

[

.

o

x

0

y

h

f

i

a

1

i

n

2

]

1

o

d

r

1

a

(

i

.

(

I

a

o

]

l

c

e

+

]

a

t

h

+

[

r

e

x

=

(

[

=

,

T

[

=

]

.

[

=

]

[

r

=

]

[

d

[

]

[

]

w

=

[

]

[

y

o

]

[

b

+

]

[

T

e

f

r

H

e

y

p

d

r

o

o

b

d

n

r

u

t

i

c

h

d

I

e

e

n

b

b

t

o

r

e

x

a

r

e

n

v

s

c

a

l

h

(

{

w

G

a

e

i

n

t

h

d

n

e

{

r

b

t

i

e

o

c

l

u

a

a

t

n

l

i

d

v

g

o

e

p

l

r

y

r

i

i

t

n

s

c

m

h

m

i

(

a

p

l

l

l

e

H

I

.

d

I

i

G

a

t

)

m

i

.

s

F

e

u

t

e

s

i

r

e

d

r

s

" )

t

i

l

y

n

,

f

t

r

w

o

h

m

e

e

g



w

r

i

h

s

v

e

t

i

p

c

h

a

s

a

w

r

t

i

m

e

o

p

g

f

l

e

o

e

t

u

r

a

4

\

g

o

p

o

o

b

1

T

t

e

s

m

t

i

s

n

h

i

e

m

r

f

M

o

r

r

e

e

o

v

u

b

n

p

l

i

d

l

i

e

t

o

a

u

t

.

B

n

o

i

x

e

f b

e

f

e

m

.

=

1

F o

T

L

.

e

e

.

t

i

i

c

s

a

d

l

l

,

g

o

r

t

i

t

h

e

h

n

m

r

b

b

o

e

t

w

i

r

a

s

o

r

p

s

e

g

f

s

t

o

o

i

r

i

r

w

r

H

u

n

l

n

e

h

e

t

e

a

c

h

b

o

r

m

o

t

.

u

o

e

i

c

s

t

e

s

h

n

a

i

f

o

r

b

l

g

:

o

o

x

r

e

i

t

s

,

h

,

m

i

a

s

n

a

I

.

S

e

f

w

2

.

3

o

r

C

.

Y

t

k

h

B

i

a

o

r

o

i

s

o

e

c

h

e

n

m

n

t

i

n

i

e

i

c

a

s

a

s

n

b

z

i

d

i

t

h

u

a

r

n

e

[

e

(

l

e

n

c

l

t

h

u

b

h

e

w

n

t

i

o

w

n

d

n

t

e

e

i

s

s

i

e

e

e

h

f

r

e

v

l

e

t

o

i

i

l

n

h

n

r

v

a

l

l

S

=

n

o

o

r

r

r

f

s

o

c

u

a

w

a

x

i

i

n

r

l

o

t

c

,

u

1

s

.

f C

a

l

c

u

l

a

t

e

o

r

n

,

5

.

v

c

1

l

a

H

y

I

,

7

m

e

C

.

i

m

o

u

2

8

.

I

u

b

m

d

i

v

]

f

n

o

u

s

i

.

t

u

b

t

n

c

d

y

O

n

t

i

o

d

s

t

s

n

r

r

o

r

i

t

l

t

e

l

l

a

u

m

d

i

a

m

e

t

n

v

d

i

m

n

a

o

i

.

T

0

h

.

t

i

o

u

t

l

a

i

t

l

t

c

o

n

t

a

i

n

i

n

g

i

s

i

o

n

n

b

l

i

n

i

t

i

e

e

d

o

)

a

(

v

b

e

i

d

a

n

x

i

r

r

)

,

a

e

c

e

t

c

t

d

i

i

o

a

n

o

d

e

l

A

f d

t

h

k k

n

o

n

d

n

(

o

u

I

h

e

n

d

n

i

a

o

i

r

m

d

o

a

i

f

:

d

r

i

o

s

)

m

c

y

i

s

t

a

)

m

h

a

e

t

r

e

f

t

l

d

o

i

e

l

v

s

L

e

c

a

r

r

i

s

n

c

w

.

e

c

p

s

t

o

a

i

o

F c

n

i

o

d

l

n

y

h

n

,

o

m

r

i

o

n

w

e

w

d

a

t

e

e

s

r

c

r

m

i

i

b

n

e

a

h

t

i

o

o

w

n

t

c

r

i

h

t

e

e

i

r

i

n

o

i

t

n

i

c

a

l

a

n

n

t

e

t

r

e

a

t

r

r

h

v

y

o

a

d

f

l

,

t

N

h

o

e

e

r

g

w

c

t

u

t

l

o

-

o

n

o

b

{

a

l



i

l

k

a

o

p

e

s

f n

t

d

t

i

e

m

m

i

p

o

s

n

z

a

,

t

a

o

t

i

o

s

o

n

t

n

i

,

h

c

e

i

t

y

~

a

c

n

o

d

n

"

a

t

o

l

a

t

a

a

f

b

s

a

i

n

u

n

o

u

n

a

a

n

d

h

c

s

p

p

n

e

y

g

i

e

r

l

d

b

o

b

.

f rf

t

e

t

l

o

p

i

t

r

p

e

e

n

p

p

f

t

o

a

u

n

l

i

i

e

a

c

d

e

o

o

g

d

m

.

1

]

O

b

a

r

f

i

f

o

r

t

h

e

g

l

o

b

a

l

n

i

m

u

m

p

o

i

n

t

a

n

d

,

t

o

n

i

c

i

t

y

t

2= rFj Y a

b

l

e

s

i

n

s

o

e

s

m

t

a

(

e

s

)

f

o

l

u

l

o

b

r

w

s

b

s

o

o

x

m

e

.

0

;

t

n

l

o

i

0

X 6

n

a

I

.

o

o

v

x

x

l

e

[

b

b

h

e

l

M

h

,

g

i

o

n

f

d

e

f

o

o

e

c

a

n

t

e

t

e

i

n

:

n

b

e

e

a

r

n

n

i

y

e

a

o

d

b

e

c

t

l

g

o

r

i

t

h

o

m

i

h

e

u

n

t

i

i

p

u

m

n

c

l

u

t

i

m

u

f

s

t

i

r

o

n

e

t

f

u

r

u

n

n

c

s

t

i

o

a

l

n

i

s

t

 .

T

h

e

m

o

d

e

l

m

a

=

a

r

m

n

a

d

l

l

a

FX

i

e

d

x

a

l

t

L fg

(

t

e

o

l

t

h

i

s

)

t

e

a

s

a

n

=

e

d

g

o

b

t

a

i

n

i

n

i

g

b

o

x

e

t

=

m

i

u

p

e

o

f

m

a

x

i

V V F Vi i

e

e

r

b

o

u

m

u

m

l

,

(

n

e

d

s

)

f

o

u

c

r

h

t

=

h

a

; 1

t

2

n

g

f

t

Y

2

s

n

p

o

f r

.

I

n

i

t

i

a

l

i

z

e

t

h

e

.

1

S

x

o

d

e

t

.

I

Y Y    Yn V [V h

o

f

=

.

1

1

=

2

.

(

r

k

i

)

m

p

r

o

v

e

t

h

e

u

p

p

e

r

b

o

u

n

d

n

g

l

i

.

s

t

.

r

e

t

c

g

o

n

t

g

a

s

d

a

i

m

d

i

a

l

l

l

)

h

e

n

f

h

n

p

r

e

e

p

e

t

s

i

y

u

o

i

o

m

i

a

i

s

t

p

a

n

,

p

h

e

f

i

r

n

i

n

g

p

c

h

n

a

s

b

V i; i (

u

e

r

s

h

i

a

o

m

g

c

t

i

e

u

w

t

a

a

n

d

a

,

i

)

t

f

r

o

(

r

s

o

y

F s

,

n

b

n

i

i

l

t

z

a

i

l

,

u

a

r

i ; V i; i =

)

l

c

t

o

h

w

(



a

a

e

1

2

.

)

i

f

2= rFj V i 0

(

n

d

t

t

r

b

i

h

d

a

o

e

t

u

s

n

e

e

d

l

c

o

i

s

n

;

d

F f

,

L t

m

,

e

t

e

h

l

s

m

e

b

i

e

s

e

e

r

n

c

s

s

o

n

i e

r

)

f

d

t

i

o

o

r

,

t

h

e

c

u

r

r

e

n

t

.

R

e

t

u

r

n

l

i

s

a

t

n

o

a

e

t

t

f

L m

~

s

a

m

a

t

s

i

s

z

o

b

e

r

c

t

a

h

i

p

a

h

l

a

i

j2f; y

1

m

l

t

b

l

p

e

a

n

h

e

a

i

r

o

d

w

i

r

o

s

d

f

t

n

t

r

i

o

h

e

k

o



v

g

n

e

r

n

a

r

l

t

F s

t

.

n

,

c

u

1

a

m

t

c

e

m

i

i

t

t

n

n

w

r

S

e

i

s

a

o

e

m

t

p

i

l

t

(

a

y

o

y

x

n

i

G

r

e

i

n

e

n

e

n

a

.

h

o

f

)

m

i

m

s

h

t

f

n

v

i

a

m

o

a

o

r

t

i

Y; y (

o

e

o

g

o

g

s

i

g

l

e

y

s

n

r

l

u

a

b

a

o

l

r

l

n

c

i

e

a

u

t

r

b

W f

a

e

t

o

t

o

m

n

h

s

i

t

d

v

t

t

(

t

r

t

g

n

i

r

d

e

s

n

m

n

s

i

.

g

e

s

a

s

e

v

r

e

e

i

h

i

n

d

m

r

a

a

s

d

e

c

i

n

n

p

.

e

e

i

s

n

n

t

a

i

2

o

a

l

d

e

i

m

u

h

n

i

o

e

n

d

t

o

n

o

e

r

t

l

u

i

h

,

o

d

t

t

b

a

;

:

L e

t

1

e

t

r

i

e

t

i

s

e

c

c

s

i

t

c

n

s

h

s

o

d

n

b



n

e

u

i

t

e

r

f

i

e

x

p

n

h

g

u

o

g

o

n

q

t

d

=

e

l

r

s

)

f

h

e

d

W

n

t

b

n

i

i

t

n

t

e

e

l

s

y

a

o

n

t

t

h

t

i

s

l

i

.

i

n

a

e

c

T

e

l

o

a

o

t

)

s

e

n

e

s

n

e

t

v

u

e

(

e

n

f

l

t

h

e

i

c

c

l

2

(

)

,

m

m

r

n

t

.

r

e

o

e

i



o

t

o

s

i

e

y

t

o

r

d

m

r

s

n

g

c

a

e

e

~

(

)

M

2

(

.

c

l

b

y

r

h

t

a

e

t

D

e

v

o

.

f

e

1

.

e

c

-

n

s

I

e

p

v

s

h

n

a

o

FV FV ff; F V ; F V g Y; y W V i; i i > f m

e

(

d

x

i

e

t

i

i

t

h

a

r

e

y

m

t

p

p

t

y

f

e

f

c

c

o

r

t

i

i

n

o

e

o

t



v

(

; ng i i wF V