A Randomized Art-Gallery Algorithm for Sensor ... - Stanford University
A Randomized Art-Gallery Algorithm for Sensor Placement Hector ´ Gonzalez-Banos ´
Jean-Claude Latombe
CS Robotics Laboratory Stanford University Stanford, CA 95405, USA
Department of Computer Science Stanford University Stanford, CA 95405, USA
[email protected]
[email protected]
ABSTRACT
!"#$ % & '(' *) + ' ,.-/% '!'01 '!2 ' *43 650) 7 %(38 6 '9# :; < 5= >?@'9)%9*' )4*?* 4ABB )* 2C* ? D@E F G2H=E I J9F K=LNMPO JDQ' , R3"' S0 6%95= T 6 *)2>(*. '9A&@%9'9 * U WVX 'QS@ '23 Y Z [E2E \6D FJ I]' RFJ G=E ^@_`Va)* 2W' '9 *)@ Q b R' ,.'!2 c'9 *R3* ] d@ 5= Q * %T$ S0 e )C +f nmo U @< )* *%' ' 2pc,q' n d pc2 650A8* r'!2 c' *n .' $@ '(*)*C ,q)*8f "u' $ S= B !' '9) 0 B A$ c' *' ,*!&@ *' p * " %9' i' *) n + n' ,*%9) c$* n c#* *.$ *% '9 #$ !>m4A'9)*% "' *)@ 26 ' ,8% ) c$" ' r%9)* $ ! U'. 25= * Z)* s 9p! ? % ' < A '! B'9 ) 63AW%9]' A& R ?3*'9 Zs ( Z '9#( C,N ' R eNA2!6Q@;A2!q@A2!.Q@h kB,' ' U us . p*3 .W* 6 0)* Z ' , 2% 4 6 *)@ ' A&% '9 * 7 U R *lU* ? 0) ( "' ,' *#$ lA ! ' e '9 $k>
1.
INTRODUCTION
?' ,8* 4 '9#" ?$ S0,q' + . '9 +'9 ' '*) ? U !$ '9 ' ,r* 05@A' * !4)* *%l? *' > '0@ ' *#)* 2R!& +' ' U & +* +%9'= u' ,n 6 ' < * (' ? d' $ ' '9 7p ' ? *# 2 2 ] .)* 2C' ,q A$ Z)** j0) !$ S0' 6 ,q' 2C!&R* B'9 ' +' ' * ( % !>Q0'9 . { W' * .2 V '9# *' $ *A&R C#&@# "* + '23o ' ?) 'T-h¡*&0< ' )*% *1Y 5@A)* !$ '9 ¢' ,B* C 05@A' * !ZV£A B c&'R !A&Q 2j!)*A Z,)*nf p9% '9 " A59 pc U %9 hC' *#C' ,Z $ %9 C, c&!p* '9 ' Q U &¢ Q W 0l'³ *@' 6'!2 c'9 *]@) *%¦ * * !#$ %9 6'(*7 0&U U * *% %9 + C B '0 > * ) ' ' , * `r ' n'B 05= #%9 +f p xAz p »0p | p z9z p z¼ p { « ~ k>r/ # 2 9;p '9)@C% '= BR'Y 05= #%= c %9' R'Y'9 *)@ Q b l' , %9'!'0 *' 4'!2 ' *? Q ' A&% '9 * 8 '0@ 7' ,` Z3"' S0 9p '!2 ' * c`3 d@ 5= * %6'9 $ c' *`3 c d@ )@ 27>B*B !4' * P?'9 A&] 2'U* J \$_ L H=J FqFv\GCD \E=wFv O½xAzc{2~hC Y* R * () ¾ ' ,4%9)* $@ )*$l* + 0&U ' 0 C c+%= &l+50* ?,'9 ¿ + 2 # '9 b%9)* $;>¾Àn$ 2 Z$ %9 b * *%@pZ'23 5= 2p6 0'0@)* /3"'b' *2 '9 * ' $ '9 * +$ *% Q' ,. ' # *' .'23" Q '9 ' §c *' A2 R ? '0@ 2 3AR B *A'9 U#$ c 2l 'c5= 9>n¨©A %9!` '0A 2 c'9 *p gB * *A'9 { > z 2 '6 '0@ !' @< ' # ±'T 'c5= l ³ T* * 9> ' U d 9p"3 ¢ #$ ** c$ ¯¯ g50 'l2 $ l6) 2'C2 @) U % 6,q' U % (
eN° k
eN´ k ÁÂà Ä8ÅcÆ¸Ç ÈÊÉËÅcÌ ÍÌ Î¶Ï Ð©Ï¿Ñ@ÒÓÔÐÆÕ8ÐÌ Å!È eN° kbÏtÅcÌ ÍÌ Î Æ@Ö7ÄÂ××Æ@ØÙ ÂÎ2ÚÏ©ÛÏ ÐÆ0ÅTÅcÏ Õuà Æ!Ò#ÜÕØ8Æ0ÅbÝWÏ0Þ¹ß9Ï×Î2Ä8ÅcÆ¢Ñ@Ò ÓàÂqÕ8áhÌ Å ÝWÏ*Î2ÂÌ Õ¶Í7Þ¦ÐÙZÆ0Æ0×nÂqÕuÃYÎ2Ú8Æ]Æ@Õ7âuÂÅcÌ ÕnÝWÆ@Õ;Î Ù ÂÎÚ¥Ï ×ÛÏ Õ8ÆÌ á4ÛqÂà Ú;Î9ã eN´ k+Ï Õ³Æ0ä7Ï ÝW×nÛÆQÌ á4ÏWÅcÏ Õ8à Æ!ÒÂqÝWÏ*à ÆWß9Ï×8Ò ÎÄ8ÅcÆسÄÐ2ÂqÕ8ÃYÅcÌ ÎÏÎ2ÂÌ ÕuÏ ÛÐÙZÆ0Æ0×nÐ9å A&T@ B),N .' ! 2W 6% $ s %Q %9 6 5= (' 6 *' 2æ 4 * 6' ,n%9!2> %9' A* ` ! 2Z Z* " S0 'c3 2@%9 * @$ 2 05@*A/&B #' *!&?'950 %? 5 !u' ,@* r < %9 &Y@'9* >Qm4A*' )*%9b R nm4A*' )*%9. U 0&B d0 *'9 8'* r$ A< ' @'9 ¤ d@# xAz2| p z2}c~ p ' #"' ,u #r3' S ) Y ]-/ * ?)@50A/&C '0 ; +,'9'23 êZë@ì!íî;íï íð7î { > z >ñhòíóíôíõ íï*öb÷7î;ø7ëùúî;û íø7ë@î7û*ëüuî;ø ýBü7î;þ8ë¢ÿ4ð7î7óï ù ü7íî ï ó v_._ *vEDv I ^ w v _
!v L \ w$v._ * v rE \ D@ J $v(FJ G9E ^0 _ v"_ !# Ôw$v._ *vwE ^0#I =J \$GR%E $& '
Effect of the constraints
è?' R 2&='9) ³ l,q)*A&¦'c5= 2)* * gB A' { > z p 3* ' * 4 U &U 2j!)*A Q * *A 6 0)* Z ' ,% ) $@> ' *#$ * 9p7 * '23µ' @' 62 * *' B Z'c5= 2Q!&] !&Q 6' , %9)* $@A>, I7KLONyr'!' c%9 +,q' "* +'9 ?' ", e e % ) { eN° kk> ;uS= 3 p!3 %. U ) + %9 4 * ' " +' 59 2 !&l Z ? +' ,n% ) $@ e % ) { eN´ kk> m4 U :; ' ,u* ? B' *#$ ! c Z &!'9)@'! *' R 9@ A '9)' ¢A,?* C ! * + %9 Q' ,B !&¦' , AU5= U }9 « e³ % >¥U,q R2 ³ 2 A&Q @,q 2C,'9 * .A) c'9 Q*'23 Q %9)@ { e 2k>m4 ! # *%'9 * j0) * (6 B *'l *%9) 9@ Z* *A B'c5= 3 Z ej±f « %@> @' '9@ U 0'c5= U &. 2j!)*A d0 A&.@ *' '9A'9 *%C'l2 &'9)@. W@$ 9p8 5= ],q' *' .3A@< '9)@6$ %9 ' Z ( #'9 > ¯ '9 .* ( &!' ). %9)@ lf0>Q '9 U r'c5= Z'9 *#Z' ,+ *% U% ) $W' < 2 c 2T cB* Z ! 6' ,"* Z 2&='9)2pu*)@? ( ' . B'C * 2T d A&T c6*.'!2 '9 7>lm4 !&] 5@ c' T3" 2 25=
rmin τ
eN° k
ÁÂà Ä8ÅcÆoÑ7ÈÚÂqÐbÙÌ Å uÐ×8Ï ß9ƶÂqÐbáÄÛqÛÞyß9Ì@â Æ@ÅcÆ@ØyÄ8Ð2ÂqÕ8ÃÏ Ð2ÂqÕ8à ÛƢà Ä8ÏÅ ØyÛÌ7ß9ÏÎÆ@ؤÏ*ÎÎ2Ú8Ƴß9Æ@Õ7ÎÆ@ Å #Ú8Æ0Åc2 Æ I7KLON- « I KTSU [rÏ*Õ Ø eZ } « Ø8Æ0à rÍnÄ8ÎUÏ Õ;Þ¢ØuÆ@âuÂÏÎ2ÂÌ Õ¥áÅcÌ;Ý Î2ÚÂÐU×Ì Ð2ÂÎ2ÂÌ Õ¢Ù ÂÛqÛÛÆ0Ï0â ÆÏbÐÆ@ß9Î2ÂÌ Õ³Ì M á !# £Ä8Õß9Ì@â Æ@ÅcÆ@Ørå ³ ¡ ª¯« £%¬ §%¬®¦°¬ ¨%¬ ¥%¬ £%¤°
³ ª« ©%¬ §%¬®¦®¬ £%¤%¬ £%£%¬ £%¡%¬ £%¢°
³ £ ª« £%¬ ¡%¬ ¢®
³ § ª¯« £%¡%¬ £%¢%¬ £u °
³ ¢ ª« ¢%¬ %¬ ©%¬ §%¬O¦ }
ε
eN´ k
³ © ª« ¥%¬ £%¤%¬ £%£%¬ £%¡°
±X²
τ
θ < 90 − τ
e 2k
τ {ε}
ÁÂà Ä8ÅcÆ7È+äuÏ ÝW×nÛÆ@ÐWÌ*áRÙÌ Å 7Ð×Ï ß9Æ@ÐÎ2Ú8Ï*ÎTß9Ï Õ8Õ8Ì ÎbÍÆ ß Ì;ÝW×nÛÆ0ÎÆ@ÛÞ¢ß9Ìâ Æ0ÅcÆ@Ø¢ÄÕØuÆ@ÅlÂqÕß9ÂqØ8Æ@Õß9ÆWÏ ÕØ¢ÅcÏ Õuà Æbß9Ì ÕuÒ ÐÎÅ Ï*ÂqÕ;Î2Ð9È eN° k6Õ8Ï*ÅcÅcÌ@Ùçß9Ì ÅcÅ ÂqØ8Ì Å ÐQÝWÏ0Þ¦ÍÆTÂNÝ×`Ì Ð2Ð2ÂÍnÛÆWÎÌ ß Ìâ Æ0Å Â á I KLON ÂqÐ(ÎÌ;ÌYÛÏ*Åcà ÆQáhÌ Å Ï]à Ââ Æ@{ Õ e7ã eN´ k4ÄÕØuÆ@ÅUÂÕuÒ ß9ÂqØ8Æ@Õß9ÆTÛqÂNÝTÂÎÏ*Î2ÂÌ ÕÐCÎ2Ú8Æ0ÅcÆTÏ*ÛÙÏ@ÞuÐ ÅcÆÝWÏ ÂqÕ8ÐRÏ*Õ©ÄÕÐÆ0Æ@Õ ÐÆ@ß9ÎÂÌ { Õ +áhÌ Å(ÙÏ ÛÛqÐ(ÝÆ@Æ0Î2ÂÕ8ÃQÏ*Î.Ïâ Æ0ÅcÞTÏ*ß=Ä8ÎÆRÏ Õ8à Û#Æ 8ÅcÆ!Ò Ã*Ï*Å ØÛÆ@Ð2ÐTÌ áUÎ2ÚuÆ©ÕuÄÝ]ÍÆ0ÅbÌ á à ÄuÏ*Å ØÐ9ã e kRÏ¥ÙÌ Å uÐ×Ï*ß9Æ ß Ï ÕÕ8Ì*γÍÆiáÄÛqÛÞPß9Ì@â Æ0Å Æ@Ø¿ÂáQÎ2ÚuÆiÏ Õ8à ÛÆiÌ áQÏ*Õ7ÞtÌ*á]ÂÎ2Ð â Æ0ÅcÎ2Âqß ÆÐ ÂÐ ÐcÝWÏ ÛqÛÆ@ÅUÎ2ÚuÏ Õ } « eØ8Æ0à ÅcÆ0ÆÐ9å '9 ' ,+!a) *'c5= 27>B? U u'c5= + ? d@**A4* 250' 25= r 2 )@ s '@>n/ $ 9p9 & A )' ' +'. 5= 0&Z '9 ' p@ (* &(2 * ' r '9 *)@ 2])* *%R* ($ ' 3.
A RANDOMIZED STRATEGY
Y 2 U z ? c4 2 #B ?@A )*A2>"0)*p@3 .2 C'9 *A&l*' ,' B ] '2d@ U 6'9)@' u>4?)@? *@'cd@ U ' Q %9' A* #" * n* 3"' S0 $ ' '6'9 #)*r ? A< c5= A&b % U ~> SK ' ,+%9)* $T2 @ >m+, 3 c$pA 4 6)** MJ2~ SK ' , * () y2 c$ &Q '9 *% 8)* 'c5= * % !# + B'9)' ' Àn'9* { > z > ¬ * 9p!* + ?@ 2 .r'Z) 4$ *' ¤ * *%.'$ *#< ,' PÀn'9* { > z !' 4' 59 ' * >rmo 2 3B 2 9©)*U ¶@ '9 | 'Y' * C YA:; 0l 3.1 Basic Algorithm
;u ~ SK ¸
l Q ' M , ¹·'! '9 2 Z$ @< ' µ> ' 5= &¢ 2@%9 \º,¸!# µpB'9 *)@ * ],$ < '9 © ¶!&± 2 $© !R ~ SK > W c$ %9 !l' , .'c5= ¥ ' '9 *]@ ' '9 2 $o %9 W 0'¦ Q)*$ c ( ' 0] o Y b Y i!&¥ d A&¶* l)* U' T , ~ SK e % ) ¼ k>³è4 d02p" 0) $ C C ¢ W@ ' '9A'9 ©' i , !# ¢% '9)*¢ ·)* * * (% '9) EµF^ z A { A9 A»6!p83 »"6* ( @) ( ?' , >¥²")* ,N A{ & ¼½¾¶i9A¶ A A¶ ¿=p3* ¶=·"À9ÁZ,ZµÃÂÄ ·'c5= Á. B)* +' ,` 7* B 0 ,' r µ* " 'c5= 2 !i & ·Å,B~ SK >`²r& '9 *#)'9 7p=* )* '9 ' , u 6 Z ¼¸ 2j!) 7'µT> ;7 * B 4#&@# Æ e µZA%¼Rk @ !+* . e ' ? s 2*k+ *#$ * ' ,`Àn'9 { > z > / ©@ ' ¼ p3 Q3B*'23¸ R) l' Q'9 *A'9 e N> >p* !& ' 04 ~> SK ' 59 !#
!# R,'9 y 2 # '9 l ( .' T , ~ SK kp" T* 3% Y' A&b* '9@ U @ "' ,;%9)* $ '!2 ' * ~Q`'9 !$ 2 ~> SK >Àn'9@
z ` * ,q' Z 2@)* 2.'4* ' ,* @ *%4 0v_ÅE)g v\n' , Z)* ts p 3* Z B' 59 ?? U)+* s ' Å, ] 6 0)* ( ' , +È n> . +'c5= +' * ¿+è?Àbm c)* A& * 2 %.'9 * @)* 'BA` *A/&` þ8ù ë@ëø*öl % ' A* *U ? ¶À,ȼy3Al c%9 #+2 c$ A&!p! 'c5= + ,'9 ¼p @ B* 6'9 ! !' `, ¶¹,' µç R,'9 U * *%4'c5= *%4 3¼\É# ¶E=>n/ .* r * d0A $ c' up9 %= U* "3A %9 #2 c$ A&U *( 2 `* @'! ) !;* ? Mµ¾ @/&!> % ) | 'c3" d * r' ,u'9 ) 2Z%9) c$ '! '9 )*#< % '9)@4#$ c % &!>r ?,q)8 %9' A* ¿+) U s 2U '23 ÉRÛà Ì*Å ÂÎ2ÚnË Ý ÊJ #I =E O ®ÌcCv ( \$_ L Í J9FqFv\$G ( F H=E \ q_ O ÎÕ8×nÄ8Î È z > m` $ *% ?r )* ,' A& * 27p93* U ?@'9 %e Ø kB * '9 !2> ' $ "' #(' ,*. * *% Ù k> $* B? eNA27.Z Ö ÎÆ0Ú × 7> 50A& %9'9 T,'9 $T '9 !Ç,x~ SK ' *)@ 2Z Z + eNA2u k xAz f ~ !&Z 4$ &@ Û4 ug? ' { > z p * 2@%9 u' ,0* r5@*A/& ' A&% '9 W ()*#? ' * 2Q'C c#,&]* ( *' ' *#$ !p )r*'9 $ c'9 l$ S= %e Ø k 2@%9 9>` ,' 9p* 5= U)* @< @ r@ * "' , *@ * " *6$ *% '9 #$ !p `' $ '9#4' ,`! { 4 6e ÙA28 k> Ö ÎÆ0×ÊÑ;>i Q @) ( ' ,. C ³ Q '9) * c&± ' < ' A' bZ 6e ÙR.@ kpu3* T. ( 0)* Z B' ,*' .
µ>R/ * 2;pu )* .' , !# Ë5@* ,'9 ç C * '9 ! e 9 ' # Z ' 4 , * ) T ' B ¥ Ý k. $ c C e ) @ ( 'Q < { Ü @ * R' Z$ *% U #' ** U50 U)* ' 0$ * c ' #]xݹ % !p 9 *%±)** r*++ 2 )* 9p ,q) *'9 ]þuù ëë@ø*ö d@ )@ p 59 & !È µ¾ ()*# . 2C '9 % 3 8A !$ < 5= ?X ¼>B ,q' 9p7 5= &C BB ¼¸4 5= !)* A&] 7p l B)* y' ,n* +2 c$ +%95= 6'9#,' ?0 ¼ > m¤5= &%9 '9).)** . '9)* *W,q' .* ' #Z' ,+þ8ù ë@ëø*ö¦ 6e Ùjá âä"á k$pu3* ¶ ä 6* Z .Ç ¼¾3AT % #2 $@ A< A&!>* ) U" ' )* * 2 !&U 6e Ù .Q@ kp0 )* * c R Z '9#( 6e ÙR.@ k. ' )* & !. µ * ¶ ä * ' ? Z % B* B µT> ¬ '23 5= 2p ' #?' ,r * 4 ~ SK ' * 5= 6' *A&Q (,$ ' ' ,* 6 !B µTp; l s l' , µ )) A&Y Z)*$b U Z YZ)* ( ' )* *7> ,' 9p* )* * *%. +' ,Tþ8ù ë@ë@ø*öQ'9 ' *A& '23 6e Ù .@ k> zZE ý t&tT ê å * *@'cd@ U r'9)' '9 ) 2.)* %Bþ8ù ë@ë@ø*öl' '¦'9@ U ® m4) ],' Q *% Z¹ Q % *'9)%9 *? c8* ' U =' )'9 6'* r z k`"'9 !$ 2 × ~ SK e ?@ ' ¼ k3> Û? @< @ )* @'9 up`* R' * '23ié#)#R U c ' , d@$ *%( B%9!)* ,'9 ~ SK >"0)p 6j!) A/&R' , 'c5= ` *@'2d U c' (@ 8 j!) A/&.' ,* 'c5= $ %9' A > r 'c5= u'9)@' Z'9 *)@ 2?!&6þuù ëë@ø*öZ2 . `'c5= '+ 25= " Z '2d@ U c'9 6$ '? ' )* * 26!& e z ÝZ'9 % ¶ ä Âk xà ~ p 3 ¶ ä ?* %9 #6 6X ¼>.m4#B% * *B'9%9 < A ,q ' '!'9S0`%9'!'0;p!*)@r ( A/& A`r ' r5= &)* ,q)*N> ¶ ä 2 Q B %9 Z B 6e ÙR.Q@ kp*3* )*A? ] < @'2d U c' Y,N ' c Q,q) *'9 ¦' ,+* R 0)* Z ¹ ' , * '9 !>Bè?' B' *AZ & ¹ç2 5= &C %9 pu)4ABB *' ]*d@ 2'9 #$ ! ,q' l W%95= ±3' S0 9>¢¨© Q %9 B¹ 3; * 2 ?* +' *& c&~ SK '9 !$ "* +'9@ U ' )'9 Q'UÀn'9* { > z p *3 ' 2) 6* .j!) A&C' , 6 +'c5= 2> 6' * +3A B '9) R,' +* 6% 2@&l'9)@' u> © '9#C *2 '9 p? s2  ¶ ä Â" Y U 4,$ ' o' , 6s .' ,n* 6% '9) C MµTp *C' * 6% 2@&l +'c5= + % ) c$ ! 2Z'? '9 'B'9@ U NÅ> Û? @,q' )* c A&!p ` *' 62 . ?æ V ¶ ä 2 . + % Z µW>"m B* 6 % * $ '9) 4,q' 6 Z% 20&] .'c5= ®³hB) ?'9)@B c R$ c'W ' )* Y* ( 'c5= 2T' bCv ç=J _F Gl' % e  µÂ k ' %"'9% e  µx #k Ýè e z k e xAz à ~ k>r *" *' '9 *A& * % 20&U'9)'9 R,N 3A* .'9%9 A* ?,q ' 4' & ,  µxÂ=,' .'9 U p *)* +* . *#$ * 43* .? '9) 4 )* A& 5= 2;> m¸ c%9X µTp'c3" 5= 2p+@'! U *' l &* * Q (,r* * *% U 9 ? 2p@* B' )@'9 C U * ' ) B 6 UA * 5= B '9 +3' 9>*BB 50 * 4* B#&@# Æ{ e µZA%¼Rkn ' r 9A'9 *#)) * `þ8ù ë@ë@ø*öR,q 'U d@*'9A?)@ % * .' *)$ c'9 Q' , B'c5= 2> @ < '9 | 3 (3r U lA:; !. ``n)* " 2 ) "* "'9 U @' )'9 (,' ` '9# ' * 2 ) Z%9!A& * U '9@ U N>¨b 2 7*' /&U* vF)J 6_ h q_NGB' ,n* B' )'9 7> ¨b 4 25= 4 C @ ' { * ' B'9)@' *'* 6 c< %= &]'9 2j!)*A Z ,q ? '9A'9 %l' ,* . *' ?' U d@ )@ 2T Y$ e % ) lf=k>*./&@ U' ,' )@< '9 + * ' + B,q' )* *l!&U$ @'9 s 2R %p R l,N '9)@' *S= * 4)*)* A& )* * A$ ? l *%9 *%Z @< *2 c' *> h,"3" (,q'!).'9 *A&'9 ]*' '9)' *B c'l *' 2j!)*A , " '9A'9 * %p0A`* '9* '6%95= 6j!) A< A$ 5= . !+' , 6 &R' ,n* ? * *%('! >
4.1 Elastic Solutions
u; éÅê e kERCë, Â>I e ë"A% kP¸ì ! pn3 jI e%í A í k.* m)* 2 ©#$ * Q 3 ±/3"'b '9 !>¶* Q ×é ê e kZ *A&¦ ³'9 ± + ! 2± × >©mP R' ,6% ) c$×~¸ 9p9A% A 9A% @l Z Y'Q' 59 i£
3AY #A/&xC ì , e z k 5= & '9 !Tîï,J!# 45@* ,'9 Ê ? #6' * ( ' 0? \~
)* * g? ' { > z p * e { kr* B B) ?,q' B !&l' * ?' ,r%9) c$ ~Wð"Ú9ñð A%ñð A9 A%ñð )*$ ñ·ð , e éÅê e · k>ò
¹k,' M óÅ z A { A9 An> * .' U 7 #'9)'9 Q' Àn'9 { > z * .' < '9\ ~±' , * () s Z* 66 'R #(,' .' 0ì _ « > è?' Z%95= b/3'Q' 59 ~¶ *x ~Wðhpn3A ~&Â+ô ~WðuÂ8 #A ì×ì ð p ~±B' B'U'9@ U A/& 5= ]A,rA?? *' ` #+ + ~ ð >n* ,' 9p9* '9 r ' )* * %9)* $@ C l' U #6'c5= @'Z ' ! 3R 2 R' 2p ' 3 3 Z'9)]' *#)* R 6'c5= 6' , U .s *l U 4 #A&!> @)* ' `8 .'9@ U ='c5= Å ~l' ,*s `n3AZ #& ì0p9 6)* '9 ` u3 r * * 3' S@* + 0) ( u' , ¹t `)* *A,' A& c"$ *' >¨© cr3 * +' A& c * + c'9) * +%9) c$' W, ~b c B 2 ®C ' *&C%95= !& * ?,'9'c3 %l 2j!)* '9 õ
e kæ
÷ø ö ù¯ú
û
ø
e 6z k e z& üñý
üpþ
k¿ A
ezk
3* þ * . c 2 ' ,`éÅê %e í k *' U s 2C3A +' * ' ,> µ>`* j0)* '9 U 4 A* 2(3* ×¹" Z)*$
ÿC ÿCÿCÿC ÿCÿCÿCÿCÿÿÿÿ ÿCÿCÿÿ ÿCÿC
ÁÂà Ä8Åc Æ 7= È ZÚ8ÂqÐ6ÙZÌ Å 7Ð×Ï ß Ælß Ï ÕbÍÆláÄÛqÛÞYß9Ì@â Æ@ÅcÆ@ØbÄÐ2ÂÕ8à ÏoÐ2ÂqÕ8à ÛÆ©Ã Ä8ÏÅ ØyÛÌ7ß9Ï*ÎÆ@ØyÏÎTÎ2ÚuÆ¥ß9Æ@Õ7ÎÆ0ÅÄ.ÍnÄ8ÎTÎ2Ú8Æ¢ÍÆ@ÐÎ Æ@ÛÏ*ÐÎ2Âqßbß Ìâ Æ0ÅQÂqÐlÌ áÐ2 =Æ { #Ú8Æ0Åcx Æ I KMLON « I KTSU r Ï*Õ2 Ø e× } « Ø8Æ0à cå c%9 + C6 þ ?+ ( U ;,$ '9 Q' ,n ?' $ 8 c 2 e{ k õ e k e z e z& þ k ¿ k A,q' =¹ ç) ö Z d@ '9 ] ' 59 Z+ A&C* .@'9 *A/&' ,` * *% 5= &R u l* 6' 59 3* l3 6 25= B (5= &R % )*&R' , * '(' > 0 * * 0) ( ' ,; * ` ¹ * 2 c" ( d@ '9 * 0`' , Z,q ' e z þ kpu j0)* '9 e { kB *@'= $* z 5= &Qj0)S0A&!> ,' 9p 3A%9.' A&!p2* u' , * > ~> SK 3 '9 !$ Z ' ,n% ) c$ c 2j!)*59 !'Z B'9@ U ; ~">nm+, 3 $@p=!&.'950 *%+* " 'c5= ' * @ 2 B 5@' )* '9 7p*' U 7 +' ,%9) c$ d0$ 2 ,'9 ~> SK >/ C' * 43"' $p 3" . U 2&C ) 6 3A]*%9 @'9* *A/&Q Z' U n B'c5= T W,q' 6 Z 6#&@# Æ e µZA%¼Rk+ ' 6'9 U 7 4' ,%9)* $M ~T,' ?À' * { > z > c Z (2 25= 2 cB'R c%9)* 0? 0 ] 9> A#2p9 2 %?* r59 )* ' 5, ¹¤ )* 8* j0)* A/&.' ,** " ' 59 "'9 *)@ 2() %. %9' A* ¤þ8ù ë@ëø*ö>`' * 2 UA) (5= 0 W!&T) *%] *# 2 T* R %9' A* ! 2 ]* Z * d06 ' u>¨© c6B * 50A$ B* ( * ?' , ¹ ' Q* 6)* * *%( .' ,r 0&l ?'c5= ? %9' >4* ,' 9p $*'9 ' , ¹½*'9)W 2W3 A& e R'9 (* . ' 6 ($ ,+ ( * ck> Z '9 *] c59 2 ?+ c?* . #? #(' )'9 ? *' c& #r'9)'9 U * $ A'9 9>`m4%9 up ,' 6 Z3' S0 *'23 %9)@ f@p;* Z #6 # ' )< ' ¦ Q (' ,+s { e ' z kZ *'23 % )j à@>T* 6 U cé/' +' * t C Q **2 c' C 2j!)*A *%( ( ' , % ) c$B' , *'9)@ ( * () ts 9>.²r)BA?2 ( 95 @< $ %9 '9 *2 ' *43 %9) c$'c5= +3Q ) .s ' c . @,q 2 * 6' 2 &R' )+ $ 9> 6 u c59 2 4+* ? ' U u #Z' 59 ? U &R *' d#l l N>im4 d@* 2³ ¥0 '9 { p'9 3"' S0 * ' C ,)*A&¢%9)* $@ 2 e % ) { k>y* Wj0) #'9 © A,+3" C2 ¦ (* l ' )@ %Q* R * *% @'! p; l' ?' *A&C *'9)%9 * ' '95= B .,$ ' ' ,* ?'9 t c2 l * l 6'95= 7>)@ *' ) c + '9 p 3 B38 6 l* B d0)** '9 u> 4.2 A Dual Sampling Scheme
@ %j Ë)* *A,' A& 6$ ' ¾ B* ' )*@$ 3< * $SQ . ' #. . 3 # 2W3 W *' .$ *% '23 5. NEAR-OPTIMAL COVERS FOR THE SAMPLED PROBLEM
*l '9 ¥*'23R R* Q * 2¢ *#$ * ' ,ZÀn'9@< { > z p ! 2C!&ÈÆf e µZAC¼Rkp 6' 59 2l3A* Q ,N ' " eNA2=.Q@;A2!q@A2!.@h ku,'9 ¹ "' U !s > * U *@'cd@ U ' W,N ' Z@ @6'9 &' T* '9 * d@A/& ' 3, µp C ' +'9 6s .' `, ~> SK >"8'U $* 59 B*p*3" .3 )* * ` % ' A* o' '9 26!&B²` '9 * U * . ?'!'00$ x ¼ ~ ,q' @ *%+ * 2 c * U © )l,' x ¼ ~ C c2p4,' Q Q#&@# R3A Ï ¯ T8'T *&W*Z )*A2pr3" l Z)*# *#? 0'0@)* Z*A *%U 6 Q$ #,q' ¸'9)@6' * Ê !' ¶ *#$ * W' ,* *A *%
ˇ 5.1 Hitting Sets and the Vapnik-Cervonenkis Dimension ;u 4Æ e µZAC¼Rk( C W U#&@# >± x ^J9Fn #&@# Æ ð e µ ð AC¼ ð k?@ 2l!&jµ ð ¼Ê ȼ ð ¼ Ñ Â ÁB,BµJ=p 3* B¼ Ñ '9 #R' , 4* C ȶF, ¼· cR'9 !$ Áu>
* ) 0 #&@# ¹,q' * c m ñq_N6_ qI! À H v_;,q' T Æ ð e µ ð A¼ ð k" Z ð fµ ð )*$U ZðCò¶=ð"$ ! #4,' ` 5= &. +¶=ð0 ¼ð e N> 9>%p Zð'9 !$ *n ( ,' t "× ¼ ð k> 4@'9 ¤' ,u* %B* +'9 U 6' 59 B,q' 0 ƹR'v &ñ^ /g J FvI*_n'U B' ,"* @ % * ( U #
2 * ( -/.'0 )
1.'0
3 (76 2 4
3(
3 (76 ) 4
34 )
+
,
3) 6* 32 6) 32 6+ 3 *76 + 3 *76 3 2 4 6 ) 6 * 34 2 3 2 4 6 *76 + 4 3 *86 + 6 ,54 4 4 4 4 ,54
3
,54
Á Âà Ä8ÅcÆ:9;ÈZÚ8ÆWÏ*ÅcÎÒà Ï*ÛqÛÆ0ÅcÞ¹×ÅcÌ ÍÛÆÝ ß9Ï*ÕoÍÆb×Ì ÐÆ@ØoÏ*Ð ÏWÚÂÎÎ2ÂqÕ8Ã*ÒÐÆ@Î ×8Å Ì*ÍnÛÆݦåEÚ8Æà ÄuÏ*Šآß9Ï*ÕØÂqØ8ÏÎÆ@Ð(Ï*ÅcÆ]ÛÏ@Ò ÍÆ@ÛÆ@ØÏ ÕØYà ÅcÌ Ä8×Æ@ئÄÕØ8Æ0 Å µ ð uÏ ÕØYÆ0Ï ß ÚÐÆ@E Î ¶ ð· ,ȼ ð ÂqÐ ÎÚ8ÆÐÆ@Î(Ì á?ÐÏ ÝW×nÛÆ@Ð ß9Ì@â Æ0Å ÂqÕ8ÃbÆ@ÛÆÝWÆ@Õ; Î ó+ÂqÕ³Î2ÚuÆÍÌ Ä8ÕØuÒ ÏÅcÞ¹Ø8Æ@ß9Ì ÝW×Ì Ð2ÂÎ2ÂÌ Õr{ å ZÚ8ÂqÐCáhÌ Å ÝÄÛÏ*Î2ÂÌ ÕÂqÐCÎ2Ú8< Æ ;>=@?BArÌ á ÎÚ8ÆTÌ ÕuÆTÐ2Ú8Ì@Ù Õ¥ÂqÕ¥ÁÂà Ä8Åc\ Æ ´84 å ZÚuÆW×ÅcÌ ÍÛÆÝ Ì*á?ÜÕØÂÕ8à ÎÚ8ÆUÍ`Æ@ÐÎ6ÐÆ0Î?ß9Ìâ Æ0Å6ÂÐBÎÅcÏ ÕÐáhÌ Å ÝWÆ@ØYÂqÕ;ÎÌÎ2Ú8ÏÎBÌ áÜÕØÂÕ8à ÎÚ8Æ]Í`Æ@ÐÎ Ú8ÂÎÎ2ÂqÕuñÐÆ0Î9å K K GIH/J KML NL OQP N
F"D O
N O
CED
ÁÂà Ä8ÅcÆSR7ÈÚ+Ï ß Útà Ä8Ï*Å ØPß9Ï Õ8ØÂqØ8ÏÎÆi×ÅcÌUTÆ@ß9Î2бϵÐÆ0ÎÌ á ÂÕ7ÎÆ0Åcâ@Ï ÛqÐ Ì Õ;ÎÌbÎ2ÚuÆÍÌ Ä8ÕØ8Ï*ÅcÞ±Ì á4ÎÚ8ÆQÆ@Õ7âuÂÅcÌ ÕnÝWÆ@Õ;Î9Åã µ ð ß Ï ÕÍÆ(ÐÆ0Æ@ÕlÏ*ÐÏ ÕCÏÅ ÅcÏ*Õ8à ÆÝWÆ@Õ7ÎÌ*áÂqÕ;ÎÆ0ÅcâÏ*ÛqÐ9å4ɤ×ÏÅ ÎÂqß Ò Ä8ÛÏ*ÅlÐ2Ä8ÍnÐÆ0W Î Vfµ ð ß9ÅcÆ0Ï*ÎÆÐ ÂÎ2Ð ÌÙ Õ³Ð2Ä8Í8Ò#Ï*ÅcÅcÏ Õ8à ÆÝWÆ@Õ;Î Ï*ÕعÐ2ÄuÍrØ8Ââ8ÂÐ2ÂÌ ÕÐ9åbÁ8Ì ÅQÏ Õ;Þ¢Î$ÙZ̳ÝWÆÝQÍ`Æ0Å ÐlÌ*i á ¼ð+ß9Ì ÕuÒ ÎÏ ÂqÕ8Æ@Ø©ÂqÕ8Ð2ÂqØ8Æ]Î2Ú8Æ]ÐÏ ÝWÆ]Ð2Ä8Í`ØÂâuÂqÐ2ÂÌ `Õ G¶ ð· ò V¶ X ð ò V.å A %C ?,q' 0Æ ð >0;u 6Z Z (s ' ,"* Z U #.*A *% e ' * Bs .' ,8* 6 U #+ +'c5= k> Z Y\[ L O v7I NE I ' 3, Æ ð 4@ 2C ,q'9'23 êZë@ì!íî;íï íð7 î ]5/s ñhò`_ü ^@î7Qí `ybÿ4a ë@ ù Ò;ð7î;ëbî `7íó.êZ°í oëî;óíðu>î 9 8v> _ ÆGð¯ e µZð AC¼ðq k !vI E _v6i J vÅ_ )G _v O ( v__ VfµÈð`/&)J 6 _hE]w$v6 2©w G ¼ ð $G$E \UJ IZ G ^ w v_ côdV¸_ v\vCCv ç)$6_ E O = v ¶ ð ,ȼ ð $7^ _ J e_ c $Vòȶ ð * v Ï ¯ 0)*)p µ ð 2 " ( Z $ %9 0 ' , ü Q T* % * $ s 2Y2 9p` #nm4'p@ g v\ v\" U % ' A*} co c"% 5= U)** r µ A* 6'9 +* ~6 U*A *%U 2p;' )@ *B 3A * B E¶r,J¼¸)*$]* T¶2ò # 3* j *' 4 (A % ' 3, µT> * Z U ] )*AB,'9 x ¼ ~ B c6%95= T % ' A* ~ V¤ c p!3 ? U .*A *% "' ,s ? ' # Ü e ¼ k e 3 ?+ * ?'9 U us ck!&R d@ )@ %(* 4,q'9'23 *%U'! ) mBÅcÌ7ß9Æ@ØÄ8ÅcÆg;íï ï íî;þy#óë0ï e µZA%¼Rk z >@ + ð z > { >E ?59 W * 6* @ Vy 5= A* cUp8'9 @* A, * B4 (*A *%Z w' ,s . c4 ' # Ü e { ð k e =kR@ B3 %9!4' ,` 7* 6 ! Zµç 2j!) 7' z >"@ ü z > e k Û?w V³'B * e z l { ð k e k , { R TA %T 2p"* { *¢0 { d@A+3Aï ù÷;ë;> m` .A, ü _ ¼ ð '9% e  µx l ð kp 0 { d@A3ìü7õ9óë > e c× k m` Z ü ü Ý z p; Q@'9)* Z * 63 % 04' , * 6 0' 3, ¶Z3> H+ ) R' # e k> f@>,0 { ) *"ï ù*÷;ë e N> >p@* ? A %( Ê' , s RðNkp T '! 2@) c * .* * 2 cR4* 3 9pu)* * Z3A .' $ 'R R3A i¶ * 659 A + r#RBJ ¼ > ¬ * 9p;* .)* * *% ,' 65= A + ' * 4'9  µx > Û4 @ Z R 'c5= U'9 *A'9 p` C %9' A g;íï ï íî;>þ y/óë@ï ) *r B*A *%6 "' ,;s B e c0A20 c$ k ( '9A&@ *'9 9> ¨T .'9 *A&C 25= B' 'c5= . 'c3¶ c4 .)* 8 ?#&@# ¿' , * 26 *#$ * r' ,* " c f/g;ëð7ù ëpo | > { >Zñ8h ÷;ô*óöuóï ë7où ü û õ ë]ì9ð7ùih*ü>oE^@õ9ë@ø w6ù=ï5yCzü7õ9õ ëù íëó=8v_`Æ ð wv._*v ^J9FEu$_*viv_&G $_v O \vD L \v vI*_6q I!Hl_* vi J O D Fvq I7$_hJ I#$v(E%$k\E=wFv OPK : GÆ ð J O _6J ^w G) _v O E \J Fv3q _ \$^0I*I7q I0H _6 O vol e#BQá =Ná A2Gá =á k
'!' ,B,q' U* * ' U * '9% '9)R' U' ,.* ' < | > z >µ ð 2 T Z b b c$ %9 !6' , ü ¢ * '9# e#.@ á =áNA2 á á k )* ü ? ' )* @ 2!&Q eN6 kp ?' % '9 $ '9 l@'9 B'c5= E  VÂ9D*\v L E \_Cv .#' ,8s eNBQ k> f/g;ëð7ù p ë o | > f0>Zñ .ë0üu ù ^0ï °í oü7õlÿ4@ð Òuë@ù óZì ðui ù h*ü oE^õ ëø w6ù=5 ï yCzü7õ9õ ëù íëó |8E \4_ * v J O D FCv 0q7I $_hJ #I $v6%E $k\E=wFv OK : V J v_u%E $8H ^J C\ )"%E $+®ÌcvJ _ O )E e_ l e@A2!.@;A2!A2!6]@h k M J ICw$W v $E ^0#I qI.D@E9F G I E O J9F*6_ O v V Åv\v"E /_ *v?E$D 6_ O J @F ®Ìc9v mBÅcÌ;Ì áå %³* b' U 'c5= Q,' * b * 2o < %9 &W'9 6 2j!)*5 !B'l* 6' ,' *)@ %R (' < U n*A *%U B,' B (@) 8'9 >6 ' | > z #$ c * `* +)* 7 Ï ¯ { #$ c ( c ' ) @'9 à A( ])*@< #&@# ¿' $ ' ,n A Z@ % 9>"¨T c#,&Q 8* 6' @' * #$ c 2T x ¼ ~ p 6 ,q' '9* '' *)@ C ' , % ) c$' ,s . c4 ' #4 e@A2!.Q@;A2!q@A2!.Q@h k> ÆÝWÏ) Å 7Ð9å Bj!) & ' ,7* ? '2d@ U c'9 U'9@$ * 2U* *' r 4,q) *'9 (' ,#¹>n*` 0)* ( '9 A& c:; n* ") ! ' ,* ( %9' A* > 4,' ) 9p .) 2W T@ ' ¼ pu 5 ) 4' >, ¹¿ '( c:; r '9* A/&( `* 2 z > 6. CONCLUSION AND EXTENSIONS
* '9 *)@$ '9 Z' ,; !r ' '9 *n,' r*%9@ *r %9' A* µ`* 2Z'9 4$ @'9 4* ? 'U*'23?'23o' ' 59 . +'c5= +@'9* y !A&!> m4 l 0 # *%(' *B,q' +,))@ B 2 $' #) 0&U* < !#$ %9 4 *@ 4 U % B %9#$ c' ]) >rgB)* '] ' Z b'9 ' ('!2 s2 ' up50 3 )@ 2b c A:; 0 '!2 ' * Z)*#` + %9 * U@' `'B* '9 #)*' R' ,7 6'9 @< # ! '0@ N\ > H+ C %9 !Z $* j0) Z R ! b*'9 ! d02pn3*$Y!&T A/&W 2j!)*A U'9 R % R' , 'c5= ± /3" ¦ U %9 xz n ~ >© ,N ,q) U' *#$ * . !+' ,`% ) $@?!&C U % * () t'c5= 3 A50 3>`m? *%Br 3¢' *#$ !`'6* $ @< ' s 2(#$ c % &( ! 2Z* r#$ %9!,q' 3 $;>r²")`* ' * ¿' ,'9 *)@ *%( 6 U %9 6 2j!) * e N> 9>p * 6 * *% E %\ !v\k c * s % #$ c'9 ] ' U *'9 7> m4 ³'9050' )*R d0 *' ¢'b* ] *' C 0R@'9* ('T% * $ W\#E ^0_v ( # 2 9' ,? '9A'9 * ,' $ S0 05=' 50< *% '9 ' >¿lQ Y W#$ c !l* l ' ,q' )* ¦'9 2j!)* >¥h,?* C'9#R' ,B * *%TU5= & d0< 59 B 5= B'( 6'9#+' , ' '9 RV C 9p0 '9)@ p ' ?'9 )$ c' CV * Q ' '9 Q' #?2 * %9 2] * 6@'9 '9 +@ ! ;'(* 6' * . 9@ C ]@ < '9 { > ¯ '9 05= A&!p * `'9#' , * *%+2 " %9 2.3 %6r$* 2 (' c 2Z'? '9#`' ,; ' '9 u>/ Z` < c'p@* B ' * B 5@ ? )* 2U'( 42 * * 6' ,n ' # ' 0 0)*' )*n *%>` * * *%?'9 i *'23¦ ' n* rJ _ O J IQ\E ^0_vD \E9wFv OtxAzc|2~hr ?*' #' 2l* ,' ¾3*W* !A 3' S@* U5@* 9È > mnd@ %C* $ *' s 2] *j!)* 4 ! 2Q ]*B 6'R'9 ) 3 c U R'9) ++ C ! # %('9B,q' +,q)@) ? 2 $u> m© ' ?A )'9 y"3 l A* "* +'9#' , #< *% ' B'9#' ,n ' ' C2 C B %9 7>r*4 ' %9 * $ ?' * p * Q c j ¢%k£%Yp59'9)* { | nMn@p * % ¼@z n¤ { } p z2} }=| > x {2~ ºW>*²" u> u %9)* c' *>*/ > mb> ?'!'0@ U Q p ¥6J 5I =wE2E C%E $ M /\v_v(J #I > Zæ H+'9)@S= 9p@ 2@' b [`E O D ^0_hJ 6_ E I J9F Í vE O v_N\G p %9 ¼@z f ¤ ¼!{ n@> ¯ H ¯ À p ²"'!2 H4 ' up ;`p z2} } »0> x f ~6¬ >*²r ' * * U * up²4> ¯ s 9p; > º c'9b) ¦ S;> Àn'0)*+$ *% 6 p A59 6 * *%@p $ @'9 s2 c' u>/ k\#9E `%E $ a§ _ £%Y`Y+Y¨¢G O D@)E q^ O E È I |8E ^05I =J 6_ E 7I %E $W[`E O D*^@_v \ ¢5 hv#I $vp * % ¼9«9« ¤ ¼=« } p z2} } f0> x ¼ ~6¬ >*²r ' * * U * l ºW> ?> ?'!'0@$u> m+ '9#'9@ U +'c5= C* *A B5= m#> ;7 '9 7p *È £$I*_N\#9 E 7^ 6_ E I_hE ( F H=E \ q_ O > ºC/¶Àn p ¯ (@%9 p ºmp z2} }9« > x » ~ ²4> ¯ ) 4 *QºW5> ;7 5='2&!>mo5=' )* B '0U,' *)@ *% ' * dR '0 ,'9 $ %9 6 U % >/ k\9E ( [@©ª¢>£ ÍTÍ Ê ( k¥Bp* % +f « f ¤0f zc{ p7m4)*% )*# z}9} à0> ;B> «. 25!$ S0N@> H4 *' s 2R * *%(,' x n ~ ?> gB * + *È *' * ' c*>@/ k\#9E >K ¬¬¬ £%Y+Y`Y®£$I_ ¯ eF [`E 9I $9 ÊE=wE 6_ h °iJ # I ( ^0_hE O J 6_ E I*p* %9 } » z ¤ } )» à0p7m4 { « «9« > x }c~6¬ > ?'9 _s ± s H>² 2é##&!>;?)' *4 + (% )* B,' xAz z ~ > º c59 + *È * * * %(* B d050 36b> £%Y`Y+Yï
xAzc{2~ > Zæ H+'9)@S= 9> ( \_ Í J9FqFv\$GX*vE \v O J I# ( F H=E \q_ O $> 4d@,' $4Û? *5= &lÀ p*è? 3 Ï?*A/&!>/ > mb> ?'!'0@ U Q p ¥6J #I =wE2E R%E $ M /\v_vZJ #I > Zæ H+'9)@S= 9p@ 2A' _ [`E O D ^0_hJ 6_ NE I J9F Í vE O v_N\$G p %9 ¼ à9 » ¤ ¼ » } > ¯ H ¯ À p ²"'!2 H4 '9 7p ;p z}9} »0> xAz¼ ~ H>À'@> m¶'9)'9 'Z* B d0 #+5@ 3¶@'9* ¤,q' )' U 2R2 9l '0 7 j0)' Q' ,, u *2 " H+ ' }9| < { f0bp =H4mBÀ ;8 7@ p Û4 *5= A&l' ,À *#&@59 * @p º & z}9}=| > xAzc|2~ ?> 0* 2p> H+ ! )A+ Q c+%= _> k\9E £%Y+Y`YU p n « e } k z ´f n ¼ ¤ z f }9} pn0 ( z}9}9{ > xAz à ~ À ?@ 25@S >m¶%9!4 * A&@4' ,* 6% 2@&l % ' A* ,q' + +'c5= 2@> µ0E ^0\$I J9F%E $ ( F H=E \ _ O p { | e { k { f=» ¤ {9|c¼ p è?'c5= Z z2} } »!> xAz » ~ > 0 *'! &@ *S >À'9 !+'!2 '9 7> / > m> ?'!'0 U * p ¥6J #I =wE2E R%E $ M /\v_vZJ #I > Zæ H+'9)@S= 9p@ 2A' _ [`E O D ^0_hJ 6_ NE I J9F Í vE O v_N\$G p %9 |9| } ¤ | » ¼ > ¯ H ¯ À p ²"'!2 H4 '9 7p ;p z}9} »0> xAz n ~ Z> 8)@SR CºW#> ;7 5='2&!B> ;* 2l ' &@% '9 ,' $ *% 6 U %9 > / k\#9E ( [@©ª¢%£ ÍTÍ Ê ( k¥?p** %9 f z9z ¤0f z n@p z}9} ¼ > Û+) @>*m+%9 &Q R)* * '9 @'9 > xAz2}c ~ ' % i / @> H.> @ $SR 5> Û+) @p@ 2@A' _p ¥6J I w$E29E lE I [`E O D ^0_hJ 6_ NE I J9F Í vE O v_N\$G p %9 4´ f n9» ¤ ¼ f ¼ > m` 50 @ .À`)** p z2} } »!> x { «c~ ;`>@¨©Ad' u7> Ï? 3 ' !+ ' ,q' +50) 8 2 c7>* k\#9 E @£%Y`Y+YS[`E 9I $9 nE I [`E O D ^0_v \ Y>NE IJ #I kJ _N_v\I Ê+Cv EH @ I q6_ NE I*p* % w n «9« ¤%n «=| p z2}9} ¼ >
Jean-Claude Latombe
CS Robotics Laboratory Stanford University Stanford, CA 95405, USA
Department of Computer Science Stanford University Stanford, CA 95405, USA
[email protected]
[email protected]
ABSTRACT
!"#$ % & '(' *) + ' ,.-/% '!'01 '!2 ' *43 650) 7 %(38 6 '9# :; < 5= >?@'9)%9*' )4*?* 4ABB )* 2C* ? D@E F G2H=E I J9F K=LNMPO JDQ' , R3"' S0 6%95= T 6 *)2>(*. '9A&@%9'9 * U WVX 'QS@ '23 Y Z [E2E \6D FJ I]' RFJ G=E ^@_`Va)* 2W' '9 *)@ Q b R' ,.'!2 c'9 *R3* ] d@ 5= Q * %T$ S0 e )C +f nmo U @< )* *%' ' 2pc,q' n d pc2 650A8* r'!2 c' *n .' $@ '(*)*C ,q)*8f "u' $ S= B !' '9) 0 B A$ c' *' ,*!&@ *' p * " %9' i' *) n + n' ,*%9) c$* n c#* *.$ *% '9 #$ !>m4A'9)*% "' *)@ 26 ' ,8% ) c$" ' r%9)* $ ! U'. 25= * Z)* s 9p! ? % ' < A '! B'9 ) 63AW%9]' A& R ?3*'9 Zs ( Z '9#( C,N ' R eNA2!6Q@;A2!q@A2!.Q@h kB,' ' U us . p*3 .W* 6 0)* Z ' , 2% 4 6 *)@ ' A&% '9 * 7 U R *lU* ? 0) ( "' ,' *#$ lA ! ' e '9 $k>
1.
INTRODUCTION
?' ,8* 4 '9#" ?$ S0,q' + . '9 +'9 ' '*) ? U !$ '9 ' ,r* 05@A' * !4)* *%l? *' > '0@ ' *#)* 2R!& +' ' U & +* +%9'= u' ,n 6 ' < * (' ? d' $ ' '9 7p ' ? *# 2 2 ] .)* 2C' ,q A$ Z)** j0) !$ S0' 6 ,q' 2C!&R* B'9 ' +' ' * ( % !>Q0'9 . { W' * .2 V '9# *' $ *A&R C#&@# "* + '23o ' ?) 'T-h¡*&0< ' )*% *1Y 5@A)* !$ '9 ¢' ,B* C 05@A' * !ZV£A B c&'R !A&Q 2j!)*A Z,)*nf p9% '9 " A59 pc U %9 hC' *#C' ,Z $ %9 C, c&!p* '9 ' Q U &¢ Q W 0l'³ *@' 6'!2 c'9 *]@) *%¦ * * !#$ %9 6'(*7 0&U U * *% %9 + C B '0 > * ) ' ' , * `r ' n'B 05= #%9 +f p xAz p »0p | p z9z p z¼ p { « ~ k>r/ # 2 9;p '9)@C% '= BR'Y 05= #%= c %9' R'Y'9 *)@ Q b l' , %9'!'0 *' 4'!2 ' *? Q ' A&% '9 * 8 '0@ 7' ,` Z3"' S0 9p '!2 ' * c`3 d@ 5= * %6'9 $ c' *`3 c d@ )@ 27>B*B !4' * P?'9 A&] 2'U* J \$_ L H=J FqFv\GCD \E=wFv O½xAzc{2~hC Y* R * () ¾ ' ,4%9)* $@ )*$l* + 0&U ' 0 C c+%= &l+50* ?,'9 ¿ + 2 # '9 b%9)* $;>¾Àn$ 2 Z$ %9 b * *%@pZ'23 5= 2p6 0'0@)* /3"'b' *2 '9 * ' $ '9 * +$ *% Q' ,. ' # *' .'23" Q '9 ' §c *' A2 R ? '0@ 2 3AR B *A'9 U#$ c 2l 'c5= 9>n¨©A %9!` '0A 2 c'9 *p gB * *A'9 { > z 2 '6 '0@ !' @< ' # ±'T 'c5= l ³ T* * 9> ' U d 9p"3 ¢ #$ ** c$ ¯¯ g50 'l2 $ l6) 2'C2 @) U % 6,q' U % (
eN° k
eN´ k ÁÂà Ä8ÅcÆ¸Ç ÈÊÉËÅcÌ ÍÌ Î¶Ï Ð©Ï¿Ñ@ÒÓÔÐÆÕ8ÐÌ Å!È eN° kbÏtÅcÌ ÍÌ Î Æ@Ö7ÄÂ××Æ@ØÙ ÂÎ2ÚÏ©ÛÏ ÐÆ0ÅTÅcÏ Õuà Æ!Ò#ÜÕØ8Æ0ÅbÝWÏ0Þ¹ß9Ï×Î2Ä8ÅcÆ¢Ñ@Ò ÓàÂqÕ8áhÌ Å ÝWÏ*Î2ÂÌ Õ¶Í7Þ¦ÐÙZÆ0Æ0×nÂqÕuÃYÎ2Ú8Æ]Æ@Õ7âuÂÅcÌ ÕnÝWÆ@Õ;Î Ù ÂÎÚ¥Ï ×ÛÏ Õ8ÆÌ á4ÛqÂà Ú;Î9ã eN´ k+Ï Õ³Æ0ä7Ï ÝW×nÛÆQÌ á4ÏWÅcÏ Õ8à Æ!ÒÂqÝWÏ*à ÆWß9Ï×8Ò ÎÄ8ÅcÆسÄÐ2ÂqÕ8ÃYÅcÌ ÎÏÎ2ÂÌ ÕuÏ ÛÐÙZÆ0Æ0×nÐ9å A&T@ B),N .' ! 2W 6% $ s %Q %9 6 5= (' 6 *' 2æ 4 * 6' ,n%9!2> %9' A* ` ! 2Z Z* " S0 'c3 2@%9 * @$ 2 05@*A/&B #' *!&?'950 %? 5 !u' ,@* r < %9 &Y@'9* >Qm4A*' )*%9b R nm4A*' )*%9. U 0&B d0 *'9 8'* r$ A< ' @'9 ¤ d@# xAz2| p z2}c~ p ' #"' ,u #r3' S ) Y ]-/ * ?)@50A/&C '0 ; +,'9'23 êZë@ì!íî;íï íð7î { > z >ñhòíóíôíõ íï*öb÷7î;ø7ëùúî;û íø7ë@î7û*ëüuî;ø ýBü7î;þ8ë¢ÿ4ð7î7óï ù ü7íî ï ó v_._ *vEDv I ^ w v _
!v L \ w$v._ * v rE \ D@ J $v(FJ G9E ^0 _ v"_ !# Ôw$v._ *vwE ^0#I =J \$GR%E $& '
Effect of the constraints
è?' R 2&='9) ³ l,q)*A&¦'c5= 2)* * gB A' { > z p 3* ' * 4 U &U 2j!)*A Q * *A 6 0)* Z ' ,% ) $@> ' *#$ * 9p7 * '23µ' @' 62 * *' B Z'c5= 2Q!&] !&Q 6' , %9)* $@A>, I7KLONyr'!' c%9 +,q' "* +'9 ?' ", e e % ) { eN° kk> ;uS= 3 p!3 %. U ) + %9 4 * ' " +' 59 2 !&l Z ? +' ,n% ) $@ e % ) { eN´ kk> m4 U :; ' ,u* ? B' *#$ ! c Z &!'9)@'! *' R 9@ A '9)' ¢A,?* C ! * + %9 Q' ,B !&¦' , AU5= U }9 « e³ % >¥U,q R2 ³ 2 A&Q @,q 2C,'9 * .A) c'9 Q*'23 Q %9)@ { e 2k>m4 ! # *%'9 * j0) * (6 B *'l *%9) 9@ Z* *A B'c5= 3 Z ej±f « %@> @' '9@ U 0'c5= U &. 2j!)*A d0 A&.@ *' '9A'9 *%C'l2 &'9)@. W@$ 9p8 5= ],q' *' .3A@< '9)@6$ %9 ' Z ( #'9 > ¯ '9 .* ( &!' ). %9)@ lf0>Q '9 U r'c5= Z'9 *#Z' ,+ *% U% ) $W' < 2 c 2T cB* Z ! 6' ,"* Z 2&='9)2pu*)@? ( ' . B'C * 2T d A&T c6*.'!2 '9 7>lm4 !&] 5@ c' T3" 2 25=
rmin τ
eN° k
ÁÂà Ä8ÅcÆoÑ7ÈÚÂqÐbÙÌ Å uÐ×8Ï ß9ƶÂqÐbáÄÛqÛÞyß9Ì@â Æ@ÅcÆ@ØyÄ8Ð2ÂqÕ8ÃÏ Ð2ÂqÕ8à ÛƢà Ä8ÏÅ ØyÛÌ7ß9ÏÎÆ@ؤÏ*ÎÎ2Ú8Ƴß9Æ@Õ7ÎÆ@ Å #Ú8Æ0Åc2 Æ I7KLON- « I KTSU [rÏ*Õ Ø eZ } « Ø8Æ0à rÍnÄ8ÎUÏ Õ;Þ¢ØuÆ@âuÂÏÎ2ÂÌ Õ¥áÅcÌ;Ý Î2ÚÂÐU×Ì Ð2ÂÎ2ÂÌ Õ¢Ù ÂÛqÛÛÆ0Ï0â ÆÏbÐÆ@ß9Î2ÂÌ Õ³Ì M á !# £Ä8Õß9Ì@â Æ@ÅcÆ@Ørå ³ ¡ ª¯« £%¬ §%¬®¦°¬ ¨%¬ ¥%¬ £%¤°
³ ª« ©%¬ §%¬®¦®¬ £%¤%¬ £%£%¬ £%¡%¬ £%¢°
³ £ ª« £%¬ ¡%¬ ¢®
³ § ª¯« £%¡%¬ £%¢%¬ £u °
³ ¢ ª« ¢%¬ %¬ ©%¬ §%¬O¦ }
ε
eN´ k
³ © ª« ¥%¬ £%¤%¬ £%£%¬ £%¡°
±X²
τ
θ < 90 − τ
e 2k
τ {ε}
ÁÂà Ä8ÅcÆ7È+äuÏ ÝW×nÛÆ@ÐWÌ*áRÙÌ Å 7Ð×Ï ß9Æ@ÐÎ2Ú8Ï*ÎTß9Ï Õ8Õ8Ì ÎbÍÆ ß Ì;ÝW×nÛÆ0ÎÆ@ÛÞ¢ß9Ìâ Æ0ÅcÆ@Ø¢ÄÕØuÆ@ÅlÂqÕß9ÂqØ8Æ@Õß9ÆWÏ ÕØ¢ÅcÏ Õuà Æbß9Ì ÕuÒ ÐÎÅ Ï*ÂqÕ;Î2Ð9È eN° k6Õ8Ï*ÅcÅcÌ@Ùçß9Ì ÅcÅ ÂqØ8Ì Å ÐQÝWÏ0Þ¦ÍÆTÂNÝ×`Ì Ð2Ð2ÂÍnÛÆWÎÌ ß Ìâ Æ0Å Â á I KLON ÂqÐ(ÎÌ;ÌYÛÏ*Åcà ÆQáhÌ Å Ï]à Ââ Æ@{ Õ e7ã eN´ k4ÄÕØuÆ@ÅUÂÕuÒ ß9ÂqØ8Æ@Õß9ÆTÛqÂNÝTÂÎÏ*Î2ÂÌ ÕÐCÎ2Ú8Æ0ÅcÆTÏ*ÛÙÏ@ÞuÐ ÅcÆÝWÏ ÂqÕ8ÐRÏ*Õ©ÄÕÐÆ0Æ@Õ ÐÆ@ß9ÎÂÌ { Õ +áhÌ Å(ÙÏ ÛÛqÐ(ÝÆ@Æ0Î2ÂÕ8ÃQÏ*Î.Ïâ Æ0ÅcÞTÏ*ß=Ä8ÎÆRÏ Õ8à Û#Æ 8ÅcÆ!Ò Ã*Ï*Å ØÛÆ@Ð2ÐTÌ áUÎ2ÚuÆ©ÕuÄÝ]ÍÆ0ÅbÌ á à ÄuÏ*Å ØÐ9ã e kRÏ¥ÙÌ Å uÐ×Ï*ß9Æ ß Ï ÕÕ8Ì*γÍÆiáÄÛqÛÞPß9Ì@â Æ0Å Æ@Ø¿ÂáQÎ2ÚuÆiÏ Õ8à ÛÆiÌ áQÏ*Õ7ÞtÌ*á]ÂÎ2Ð â Æ0ÅcÎ2Âqß ÆÐ ÂÐ ÐcÝWÏ ÛqÛÆ@ÅUÎ2ÚuÏ Õ } « eØ8Æ0à ÅcÆ0ÆÐ9å '9 ' ,+!a) *'c5= 27>B? U u'c5= + ? d@**A4* 250' 25= r 2 )@ s '@>n/ $ 9p9 & A )' ' +'. 5= 0&Z '9 ' p@ (* &(2 * ' r '9 *)@ 2])* *%R* ($ ' 3.
A RANDOMIZED STRATEGY
Y 2 U z ? c4 2 #B ?@A )*A2>"0)*p@3 .2 C'9 *A&l*' ,' B ] '2d@ U 6'9)@' u>4?)@? *@'cd@ U ' Q %9' A* #" * n* 3"' S0 $ ' '6'9 #)*r ? A< c5= A&b % U ~> SK ' ,+%9)* $T2 @ >m+, 3 c$pA 4 6)** MJ2~ SK ' , * () y2 c$ &Q '9 *% 8)* 'c5= * % !# + B'9)' ' Àn'9* { > z > ¬ * 9p!* + ?@ 2 .r'Z) 4$ *' ¤ * *%.'$ *#< ,' PÀn'9* { > z !' 4' 59 ' * >rmo 2 3B 2 9©)*U ¶@ '9 | 'Y' * C YA:; 0l 3.1 Basic Algorithm
;u ~ SK ¸
l Q ' M , ¹·'! '9 2 Z$ @< ' µ> ' 5= &¢ 2@%9 \º,¸!# µpB'9 *)@ * ],$ < '9 © ¶!&± 2 $© !R ~ SK > W c$ %9 !l' , .'c5= ¥ ' '9 *]@ ' '9 2 $o %9 W 0'¦ Q)*$ c ( ' 0] o Y b Y i!&¥ d A&¶* l)* U' T , ~ SK e % ) ¼ k>³è4 d02p" 0) $ C C ¢ W@ ' '9A'9 ©' i , !# ¢% '9)*¢ ·)* * * (% '9) EµF^ z A { A9 A»6!p83 »"6* ( @) ( ?' , >¥²")* ,N A{ & ¼½¾¶i9A¶ A A¶ ¿=p3* ¶=·"À9ÁZ,ZµÃÂÄ ·'c5= Á. B)* +' ,` 7* B 0 ,' r µ* " 'c5= 2 !i & ·Å,B~ SK >`²r& '9 *#)'9 7p=* )* '9 ' , u 6 Z ¼¸ 2j!) 7'µT> ;7 * B 4#&@# Æ e µZA%¼Rk @ !+* . e ' ? s 2*k+ *#$ * ' ,`Àn'9 { > z > / ©@ ' ¼ p3 Q3B*'23¸ R) l' Q'9 *A'9 e N> >p* !& ' 04 ~> SK ' 59 !#
!# R,'9 y 2 # '9 l ( .' T , ~ SK kp" T* 3% Y' A&b* '9@ U @ "' ,;%9)* $ '!2 ' * ~Q`'9 !$ 2 ~> SK >Àn'9@
z ` * ,q' Z 2@)* 2.'4* ' ,* @ *%4 0v_ÅE)g v\n' , Z)* ts p 3* Z B' 59 ?? U)+* s ' Å, ] 6 0)* ( ' , +È n> . +'c5= +' * ¿+è?Àbm c)* A& * 2 %.'9 * @)* 'BA` *A/&` þ8ù ë@ëø*öl % ' A* *U ? ¶À,ȼy3Al c%9 #+2 c$ A&!p! 'c5= + ,'9 ¼p @ B* 6'9 ! !' `, ¶¹,' µç R,'9 U * *%4'c5= *%4 3¼\É# ¶E=>n/ .* r * d0A $ c' up9 %= U* "3A %9 #2 c$ A&U *( 2 `* @'! ) !;* ? Mµ¾ @/&!> % ) | 'c3" d * r' ,u'9 ) 2Z%9) c$ '! '9 )*#< % '9)@4#$ c % &!>r ?,q)8 %9' A* ¿+) U s 2U '23 ÉRÛà Ì*Å ÂÎ2ÚnË Ý ÊJ #I =E O ®ÌcCv ( \$_ L Í J9FqFv\$G ( F H=E \ q_ O ÎÕ8×nÄ8Î È z > m` $ *% ?r )* ,' A& * 27p93* U ?@'9 %e Ø kB * '9 !2> ' $ "' #(' ,*. * *% Ù k> $* B? eNA27.Z Ö ÎÆ0Ú × 7> 50A& %9'9 T,'9 $T '9 !Ç,x~ SK ' *)@ 2Z Z + eNA2u k xAz f ~ !&Z 4$ &@ Û4 ug? ' { > z p * 2@%9 u' ,0* r5@*A/& ' A&% '9 W ()*#? ' * 2Q'C c#,&]* ( *' ' *#$ !p )r*'9 $ c'9 l$ S= %e Ø k 2@%9 9>` ,' 9p* 5= U)* @< @ r@ * "' , *@ * " *6$ *% '9 #$ !p `' $ '9#4' ,`! { 4 6e ÙA28 k> Ö ÎÆ0×ÊÑ;>i Q @) ( ' ,. C ³ Q '9) * c&± ' < ' A' bZ 6e ÙR.@ kpu3* T. ( 0)* Z B' ,*' .
µ>R/ * 2;pu )* .' , !# Ë5@* ,'9 ç C * '9 ! e 9 ' # Z ' 4 , * ) T ' B ¥ Ý k. $ c C e ) @ ( 'Q < { Ü @ * R' Z$ *% U #' ** U50 U)* ' 0$ * c ' #]xݹ % !p 9 *%±)** r*++ 2 )* 9p ,q) *'9 ]þuù ëë@ø*ö d@ )@ p 59 & !È µ¾ ()*# . 2C '9 % 3 8A !$ < 5= ?X ¼>B ,q' 9p7 5= &C BB ¼¸4 5= !)* A&] 7p l B)* y' ,n* +2 c$ +%95= 6'9#,' ?0 ¼ > m¤5= &%9 '9).)** . '9)* *W,q' .* ' #Z' ,+þ8ù ë@ëø*ö¦ 6e Ùjá âä"á k$pu3* ¶ ä 6* Z .Ç ¼¾3AT % #2 $@ A< A&!>* ) U" ' )* * 2 !&U 6e Ù .Q@ kp0 )* * c R Z '9#( 6e ÙR.@ k. ' )* & !. µ * ¶ ä * ' ? Z % B* B µT> ¬ '23 5= 2p ' #?' ,r * 4 ~ SK ' * 5= 6' *A&Q (,$ ' ' ,* 6 !B µTp; l s l' , µ )) A&Y Z)*$b U Z YZ)* ( ' )* *7> ,' 9p* )* * *%. +' ,Tþ8ù ë@ë@ø*öQ'9 ' *A& '23 6e Ù .@ k> zZE ý t&tT ê å * *@'cd@ U r'9)' '9 ) 2.)* %Bþ8ù ë@ë@ø*öl' '¦'9@ U ® m4) ],' Q *% Z¹ Q % *'9)%9 *? c8* ' U =' )'9 6'* r z k`"'9 !$ 2 × ~ SK e ?@ ' ¼ k3> Û? @< @ )* @'9 up`* R' * '23ié#)#R U c ' , d@$ *%( B%9!)* ,'9 ~ SK >"0)p 6j!) A/&R' , 'c5= ` *@'2d U c' (@ 8 j!) A/&.' ,* 'c5= $ %9' A > r 'c5= u'9)@' Z'9 *)@ 2?!&6þuù ëë@ø*öZ2 . `'c5= '+ 25= " Z '2d@ U c'9 6$ '? ' )* * 26!& e z ÝZ'9 % ¶ ä Âk xà ~ p 3 ¶ ä ?* %9 #6 6X ¼>.m4#B% * *B'9%9 < A ,q ' '!'9S0`%9'!'0;p!*)@r ( A/& A`r ' r5= &)* ,q)*N> ¶ ä 2 Q B %9 Z B 6e ÙR.Q@ kp*3* )*A? ] < @'2d U c' Y,N ' c Q,q) *'9 ¦' ,+* R 0)* Z ¹ ' , * '9 !>Bè?' B' *AZ & ¹ç2 5= &C %9 pu)4ABB *' ]*d@ 2'9 #$ ! ,q' l W%95= ±3' S0 9>¢¨© Q %9 B¹ 3; * 2 ?* +' *& c&~ SK '9 !$ "* +'9@ U ' )'9 Q'UÀn'9* { > z p *3 ' 2) 6* .j!) A&C' , 6 +'c5= 2> 6' * +3A B '9) R,' +* 6% 2@&l'9)@' u> © '9#C *2 '9 p? s2  ¶ ä Â" Y U 4,$ ' o' , 6s .' ,n* 6% '9) C MµTp *C' * 6% 2@&l +'c5= + % ) c$ ! 2Z'? '9 'B'9@ U NÅ> Û? @,q' )* c A&!p ` *' 62 . ?æ V ¶ ä 2 . + % Z µW>"m B* 6 % * $ '9) 4,q' 6 Z% 20&] .'c5= ®³hB) ?'9)@B c R$ c'W ' )* Y* ( 'c5= 2T' bCv ç=J _F Gl' % e  µÂ k ' %"'9% e  µx #k Ýè e z k e xAz à ~ k>r *" *' '9 *A& * % 20&U'9)'9 R,N 3A* .'9%9 A* ?,q ' 4' & ,  µxÂ=,' .'9 U p *)* +* . *#$ * 43* .? '9) 4 )* A& 5= 2;> m¸ c%9X µTp'c3" 5= 2p+@'! U *' l &* * Q (,r* * *% U 9 ? 2p@* B' )@'9 C U * ' ) B 6 UA * 5= B '9 +3' 9>*BB 50 * 4* B#&@# Æ{ e µZA%¼Rkn ' r 9A'9 *#)) * `þ8ù ë@ë@ø*öR,q 'U d@*'9A?)@ % * .' *)$ c'9 Q' , B'c5= 2> @ < '9 | 3 (3r U lA:; !. ``n)* " 2 ) "* "'9 U @' )'9 (,' ` '9# ' * 2 ) Z%9!A& * U '9@ U N>¨b 2 7*' /&U* vF)J 6_ h q_NGB' ,n* B' )'9 7> ¨b 4 25= 4 C @ ' { * ' B'9)@' *'* 6 c< %= &]'9 2j!)*A Z ,q ? '9A'9 %l' ,* . *' ?' U d@ )@ 2T Y$ e % ) lf=k>*./&@ U' ,' )@< '9 + * ' + B,q' )* *l!&U$ @'9 s 2R %p R l,N '9)@' *S= * 4)*)* A& )* * A$ ? l *%9 *%Z @< *2 c' *> h,"3" (,q'!).'9 *A&'9 ]*' '9)' *B c'l *' 2j!)*A , " '9A'9 * %p0A`* '9* '6%95= 6j!) A< A$ 5= . !+' , 6 &R' ,n* ? * *%('! >
4.1 Elastic Solutions
u; éÅê e kERCë, Â>I e ë"A% kP¸ì ! pn3 jI e%í A í k.* m)* 2 ©#$ * Q 3 ±/3"'b '9 !>¶* Q ×é ê e kZ *A&¦ ³'9 ± + ! 2± × >©mP R' ,6% ) c$×~¸ 9p9A% A 9A% @l Z Y'Q' 59 i£
3AY #A/&xC ì , e z k 5= & '9 !Tîï,J!# 45@* ,'9 Ê ? #6' * ( ' 0? \~
)* * g? ' { > z p * e { kr* B B) ?,q' B !&l' * ?' ,r%9) c$ ~Wð"Ú9ñð A%ñð A9 A%ñð )*$ ñ·ð , e éÅê e · k>ò
¹k,' M óÅ z A { A9 An> * .' U 7 #'9)'9 Q' Àn'9 { > z * .' < '9\ ~±' , * () s Z* 66 'R #(,' .' 0ì _ « > è?' Z%95= b/3'Q' 59 ~¶ *x ~Wðhpn3A ~&Â+ô ~WðuÂ8 #A ì×ì ð p ~±B' B'U'9@ U A/& 5= ]A,rA?? *' ` #+ + ~ ð >n* ,' 9p9* '9 r ' )* * %9)* $@ C l' U #6'c5= @'Z ' ! 3R 2 R' 2p ' 3 3 Z'9)]' *#)* R 6'c5= 6' , U .s *l U 4 #A&!> @)* ' `8 .'9@ U ='c5= Å ~l' ,*s `n3AZ #& ì0p9 6)* '9 ` u3 r * * 3' S@* + 0) ( u' , ¹t `)* *A,' A& c"$ *' >¨© cr3 * +' A& c * + c'9) * +%9) c$' W, ~b c B 2 ®C ' *&C%95= !& * ?,'9'c3 %l 2j!)* '9 õ
e kæ
÷ø ö ù¯ú
û
ø
e 6z k e z& üñý
üpþ
k¿ A
ezk
3* þ * . c 2 ' ,`éÅê %e í k *' U s 2C3A +' * ' ,> µ>`* j0)* '9 U 4 A* 2(3* ×¹" Z)*$
ÿC ÿCÿCÿC ÿCÿCÿCÿCÿÿÿÿ ÿCÿCÿÿ ÿCÿC
ÁÂà Ä8Åc Æ 7= È ZÚ8ÂqÐ6ÙZÌ Å 7Ð×Ï ß Ælß Ï ÕbÍÆláÄÛqÛÞYß9Ì@â Æ@ÅcÆ@ØbÄÐ2ÂÕ8à ÏoÐ2ÂqÕ8à ÛÆ©Ã Ä8ÏÅ ØyÛÌ7ß9Ï*ÎÆ@ØyÏÎTÎ2ÚuÆ¥ß9Æ@Õ7ÎÆ0ÅÄ.ÍnÄ8ÎTÎ2Ú8Æ¢ÍÆ@ÐÎ Æ@ÛÏ*ÐÎ2Âqßbß Ìâ Æ0ÅQÂqÐlÌ áÐ2 =Æ { #Ú8Æ0Åcx Æ I KMLON « I KTSU r Ï*Õ2 Ø e× } « Ø8Æ0à cå c%9 + C6 þ ?+ ( U ;,$ '9 Q' ,n ?' $ 8 c 2 e{ k õ e k e z e z& þ k ¿ k A,q' =¹ ç) ö Z d@ '9 ] ' 59 Z+ A&C* .@'9 *A/&' ,` * *% 5= &R u l* 6' 59 3* l3 6 25= B (5= &R % )*&R' , * '(' > 0 * * 0) ( ' ,; * ` ¹ * 2 c" ( d@ '9 * 0`' , Z,q ' e z þ kpu j0)* '9 e { kB *@'= $* z 5= &Qj0)S0A&!> ,' 9p 3A%9.' A&!p2* u' , * > ~> SK 3 '9 !$ Z ' ,n% ) c$ c 2j!)*59 !'Z B'9@ U ; ~">nm+, 3 $@p=!&.'950 *%+* " 'c5= ' * @ 2 B 5@' )* '9 7p*' U 7 +' ,%9) c$ d0$ 2 ,'9 ~> SK >/ C' * 43"' $p 3" . U 2&C ) 6 3A]*%9 @'9* *A/&Q Z' U n B'c5= T W,q' 6 Z 6#&@# Æ e µZA%¼Rk+ ' 6'9 U 7 4' ,%9)* $M ~T,' ?À' * { > z > c Z (2 25= 2 cB'R c%9)* 0? 0 ] 9> A#2p9 2 %?* r59 )* ' 5, ¹¤ )* 8* j0)* A/&.' ,** " ' 59 "'9 *)@ 2() %. %9' A* ¤þ8ù ë@ëø*ö>`' * 2 UA) (5= 0 W!&T) *%] *# 2 T* R %9' A* ! 2 ]* Z * d06 ' u>¨© c6B * 50A$ B* ( * ?' , ¹ ' Q* 6)* * *%( .' ,r 0&l ?'c5= ? %9' >4* ,' 9p $*'9 ' , ¹½*'9)W 2W3 A& e R'9 (* . ' 6 ($ ,+ ( * ck> Z '9 *] c59 2 ?+ c?* . #? #(' )'9 ? *' c& #r'9)'9 U * $ A'9 9>`m4%9 up ,' 6 Z3' S0 *'23 %9)@ f@p;* Z #6 # ' )< ' ¦ Q (' ,+s { e ' z kZ *'23 % )j à@>T* 6 U cé/' +' * t C Q **2 c' C 2j!)*A *%( ( ' , % ) c$B' , *'9)@ ( * () ts 9>.²r)BA?2 ( 95 @< $ %9 '9 *2 ' *43 %9) c$'c5= +3Q ) .s ' c . @,q 2 * 6' 2 &R' )+ $ 9> 6 u c59 2 4+* ? ' U u #Z' 59 ? U &R *' d#l l N>im4 d@* 2³ ¥0 '9 { p'9 3"' S0 * ' C ,)*A&¢%9)* $@ 2 e % ) { k>y* Wj0) #'9 © A,+3" C2 ¦ (* l ' )@ %Q* R * *% @'! p; l' ?' *A&C *'9)%9 * ' '95= B .,$ ' ' ,* ?'9 t c2 l * l 6'95= 7>)@ *' ) c + '9 p 3 B38 6 l* B d0)** '9 u> 4.2 A Dual Sampling Scheme
@ %j Ë)* *A,' A& 6$ ' ¾ B* ' )*@$ 3< * $SQ . ' #. . 3 # 2W3 W *' .$ *% '23 5. NEAR-OPTIMAL COVERS FOR THE SAMPLED PROBLEM
*l '9 ¥*'23R R* Q * 2¢ *#$ * ' ,ZÀn'9@< { > z p ! 2C!&ÈÆf e µZAC¼Rkp 6' 59 2l3A* Q ,N ' " eNA2=.Q@;A2!q@A2!.@h ku,'9 ¹ "' U !s > * U *@'cd@ U ' W,N ' Z@ @6'9 &' T* '9 * d@A/& ' 3, µp C ' +'9 6s .' `, ~> SK >"8'U $* 59 B*p*3" .3 )* * ` % ' A* o' '9 26!&B²` '9 * U * . ?'!'00$ x ¼ ~ ,q' @ *%+ * 2 c * U © )l,' x ¼ ~ C c2p4,' Q Q#&@# R3A Ï ¯ T8'T *&W*Z )*A2pr3" l Z)*# *#? 0'0@)* Z*A *%U 6 Q$ #,q' ¸'9)@6' * Ê !' ¶ *#$ * W' ,* *A *%
ˇ 5.1 Hitting Sets and the Vapnik-Cervonenkis Dimension ;u 4Æ e µZAC¼Rk( C W U#&@# >± x ^J9Fn #&@# Æ ð e µ ð AC¼ ð k?@ 2l!&jµ ð ¼Ê ȼ ð ¼ Ñ Â ÁB,BµJ=p 3* B¼ Ñ '9 #R' , 4* C ȶF, ¼· cR'9 !$ Áu>
* ) 0 #&@# ¹,q' * c m ñq_N6_ qI! À H v_;,q' T Æ ð e µ ð A¼ ð k" Z ð fµ ð )*$U ZðCò¶=ð"$ ! #4,' ` 5= &. +¶=ð0 ¼ð e N> 9>%p Zð'9 !$ *n ( ,' t "× ¼ ð k> 4@'9 ¤' ,u* %B* +'9 U 6' 59 B,q' 0 ƹR'v &ñ^ /g J FvI*_n'U B' ,"* @ % * ( U #
2 * ( -/.'0 )
1.'0
3 (76 2 4
3(
3 (76 ) 4
34 )
+
,
3) 6* 32 6) 32 6+ 3 *76 + 3 *76 3 2 4 6 ) 6 * 34 2 3 2 4 6 *76 + 4 3 *86 + 6 ,54 4 4 4 4 ,54
3
,54
Á Âà Ä8ÅcÆ:9;ÈZÚ8ÆWÏ*ÅcÎÒà Ï*ÛqÛÆ0ÅcÞ¹×ÅcÌ ÍÛÆÝ ß9Ï*ÕoÍÆb×Ì ÐÆ@ØoÏ*Ð ÏWÚÂÎÎ2ÂqÕ8Ã*ÒÐÆ@Î ×8Å Ì*ÍnÛÆݦåEÚ8Æà ÄuÏ*Šآß9Ï*ÕØÂqØ8ÏÎÆ@Ð(Ï*ÅcÆ]ÛÏ@Ò ÍÆ@ÛÆ@ØÏ ÕØYà ÅcÌ Ä8×Æ@ئÄÕØ8Æ0 Å µ ð uÏ ÕØYÆ0Ï ß ÚÐÆ@E Î ¶ ð· ,ȼ ð ÂqÐ ÎÚ8ÆÐÆ@Î(Ì á?ÐÏ ÝW×nÛÆ@Ð ß9Ì@â Æ0Å ÂqÕ8ÃbÆ@ÛÆÝWÆ@Õ; Î ó+ÂqÕ³Î2ÚuÆÍÌ Ä8ÕØuÒ ÏÅcÞ¹Ø8Æ@ß9Ì ÝW×Ì Ð2ÂÎ2ÂÌ Õr{ å ZÚ8ÂqÐCáhÌ Å ÝÄÛÏ*Î2ÂÌ ÕÂqÐCÎ2Ú8< Æ ;>=@?BArÌ á ÎÚ8ÆTÌ ÕuÆTÐ2Ú8Ì@Ù Õ¥ÂqÕ¥ÁÂà Ä8Åc\ Æ ´84 å ZÚuÆW×ÅcÌ ÍÛÆÝ Ì*á?ÜÕØÂÕ8à ÎÚ8ÆUÍ`Æ@ÐÎ6ÐÆ0Î?ß9Ìâ Æ0Å6ÂÐBÎÅcÏ ÕÐáhÌ Å ÝWÆ@ØYÂqÕ;ÎÌÎ2Ú8ÏÎBÌ áÜÕØÂÕ8à ÎÚ8Æ]Í`Æ@ÐÎ Ú8ÂÎÎ2ÂqÕuñÐÆ0Î9å K K GIH/J KML NL OQP N
F"D O
N O
CED
ÁÂà Ä8ÅcÆSR7ÈÚ+Ï ß Útà Ä8Ï*Å ØPß9Ï Õ8ØÂqØ8ÏÎÆi×ÅcÌUTÆ@ß9Î2бϵÐÆ0ÎÌ á ÂÕ7ÎÆ0Åcâ@Ï ÛqÐ Ì Õ;ÎÌbÎ2ÚuÆÍÌ Ä8ÕØ8Ï*ÅcÞ±Ì á4ÎÚ8ÆQÆ@Õ7âuÂÅcÌ ÕnÝWÆ@Õ;Î9Åã µ ð ß Ï ÕÍÆ(ÐÆ0Æ@ÕlÏ*ÐÏ ÕCÏÅ ÅcÏ*Õ8à ÆÝWÆ@Õ7ÎÌ*áÂqÕ;ÎÆ0ÅcâÏ*ÛqÐ9å4ɤ×ÏÅ ÎÂqß Ò Ä8ÛÏ*ÅlÐ2Ä8ÍnÐÆ0W Î Vfµ ð ß9ÅcÆ0Ï*ÎÆÐ ÂÎ2Ð ÌÙ Õ³Ð2Ä8Í8Ò#Ï*ÅcÅcÏ Õ8à ÆÝWÆ@Õ;Î Ï*ÕعÐ2ÄuÍrØ8Ââ8ÂÐ2ÂÌ ÕÐ9åbÁ8Ì ÅQÏ Õ;Þ¢Î$ÙZ̳ÝWÆÝQÍ`Æ0Å ÐlÌ*i á ¼ð+ß9Ì ÕuÒ ÎÏ ÂqÕ8Æ@Ø©ÂqÕ8Ð2ÂqØ8Æ]Î2Ú8Æ]ÐÏ ÝWÆ]Ð2Ä8Í`ØÂâuÂqÐ2ÂÌ `Õ G¶ ð· ò V¶ X ð ò V.å A %C ?,q' 0Æ ð >0;u 6Z Z (s ' ,"* Z U #.*A *% e ' * Bs .' ,8* 6 U #+ +'c5= k> Z Y\[ L O v7I NE I ' 3, Æ ð 4@ 2C ,q'9'23 êZë@ì!íî;íï íð7 î ]5/s ñhò`_ü ^@î7Qí `ybÿ4a ë@ ù Ò;ð7î;ëbî `7íó.êZ°í oëî;óíðu>î 9 8v> _ ÆGð¯ e µZð AC¼ðq k !vI E _v6i J vÅ_ )G _v O ( v__ VfµÈð`/&)J 6 _hE]w$v6 2©w G ¼ ð $G$E \UJ IZ G ^ w v_ côdV¸_ v\vCCv ç)$6_ E O = v ¶ ð ,ȼ ð $7^ _ J e_ c $Vòȶ ð * v Ï ¯ 0)*)p µ ð 2 " ( Z $ %9 0 ' , ü Q T* % * $ s 2Y2 9p` #nm4'p@ g v\ v\" U % ' A*} co c"% 5= U)** r µ A* 6'9 +* ~6 U*A *%U 2p;' )@ *B 3A * B E¶r,J¼¸)*$]* T¶2ò # 3* j *' 4 (A % ' 3, µT> * Z U ] )*AB,'9 x ¼ ~ B c6%95= T % ' A* ~ V¤ c p!3 ? U .*A *% "' ,s ? ' # Ü e ¼ k e 3 ?+ * ?'9 U us ck!&R d@ )@ %(* 4,q'9'23 *%U'! ) mBÅcÌ7ß9Æ@ØÄ8ÅcÆg;íï ï íî;þy#óë0ï e µZA%¼Rk z >@ + ð z > { >E ?59 W * 6* @ Vy 5= A* cUp8'9 @* A, * B4 (*A *%Z w' ,s . c4 ' # Ü e { ð k e =kR@ B3 %9!4' ,` 7* 6 ! Zµç 2j!) 7' z >"@ ü z > e k Û?w V³'B * e z l { ð k e k , { R TA %T 2p"* { *¢0 { d@A+3Aï ù÷;ë;> m` .A, ü _ ¼ ð '9% e  µx l ð kp 0 { d@A3ìü7õ9óë > e c× k m` Z ü ü Ý z p; Q@'9)* Z * 63 % 04' , * 6 0' 3, ¶Z3> H+ ) R' # e k> f@>,0 { ) *"ï ù*÷;ë e N> >p@* ? A %( Ê' , s RðNkp T '! 2@) c * .* * 2 cR4* 3 9pu)* * Z3A .' $ 'R R3A i¶ * 659 A + r#RBJ ¼ > ¬ * 9p;* .)* * *% ,' 65= A + ' * 4'9  µx > Û4 @ Z R 'c5= U'9 *A'9 p` C %9' A g;íï ï íî;>þ y/óë@ï ) *r B*A *%6 "' ,;s B e c0A20 c$ k ( '9A&@ *'9 9> ¨T .'9 *A&C 25= B' 'c5= . 'c3¶ c4 .)* 8 ?#&@# ¿' , * 26 *#$ * r' ,* " c f/g;ëð7ù ëpo | > { >Zñ8h ÷;ô*óöuóï ë7où ü û õ ë]ì9ð7ùih*ü>oE^@õ9ë@ø w6ù=ï5yCzü7õ9õ ëù íëó=8v_`Æ ð wv._*v ^J9FEu$_*viv_&G $_v O \vD L \v vI*_6q I!Hl_* vi J O D Fvq I7$_hJ I#$v(E%$k\E=wFv OPK : GÆ ð J O _6J ^w G) _v O E \J Fv3q _ \$^0I*I7q I0H _6 O vol e#BQá =Ná A2Gá =á k
'!' ,B,q' U* * ' U * '9% '9)R' U' ,.* ' < | > z >µ ð 2 T Z b b c$ %9 !6' , ü ¢ * '9# e#.@ á =áNA2 á á k )* ü ? ' )* @ 2!&Q eN6 kp ?' % '9 $ '9 l@'9 B'c5= E  VÂ9D*\v L E \_Cv .#' ,8s eNBQ k> f/g;ëð7ù p ë o | > f0>Zñ .ë0üu ù ^0ï °í oü7õlÿ4@ð Òuë@ù óZì ðui ù h*ü oE^õ ëø w6ù=5 ï yCzü7õ9õ ëù íëó |8E \4_ * v J O D FCv 0q7I $_hJ #I $v6%E $k\E=wFv OK : V J v_u%E $8H ^J C\ )"%E $+®ÌcvJ _ O )E e_ l e@A2!.@;A2!A2!6]@h k M J ICw$W v $E ^0#I qI.D@E9F G I E O J9F*6_ O v V Åv\v"E /_ *v?E$D 6_ O J @F ®Ìc9v mBÅcÌ;Ì áå %³* b' U 'c5= Q,' * b * 2o < %9 &W'9 6 2j!)*5 !B'l* 6' ,' *)@ %R (' < U n*A *%U B,' B (@) 8'9 >6 ' | > z #$ c * `* +)* 7 Ï ¯ { #$ c ( c ' ) @'9 à A( ])*@< #&@# ¿' $ ' ,n A Z@ % 9>"¨T c#,&Q 8* 6' @' * #$ c 2T x ¼ ~ p 6 ,q' '9* '' *)@ C ' , % ) c$' ,s . c4 ' #4 e@A2!.Q@;A2!q@A2!.Q@h k> ÆÝWÏ) Å 7Ð9å Bj!) & ' ,7* ? '2d@ U c'9 U'9@$ * 2U* *' r 4,q) *'9 (' ,#¹>n*` 0)* ( '9 A& c:; n* ") ! ' ,* ( %9' A* > 4,' ) 9p .) 2W T@ ' ¼ pu 5 ) 4' >, ¹¿ '( c:; r '9* A/&( `* 2 z > 6. CONCLUSION AND EXTENSIONS
* '9 *)@$ '9 Z' ,; !r ' '9 *n,' r*%9@ *r %9' A* µ`* 2Z'9 4$ @'9 4* ? 'U*'23?'23o' ' 59 . +'c5= +@'9* y !A&!> m4 l 0 # *%(' *B,q' +,))@ B 2 $' #) 0&U* < !#$ %9 4 *@ 4 U % B %9#$ c' ]) >rgB)* '] ' Z b'9 ' ('!2 s2 ' up50 3 )@ 2b c A:; 0 '!2 ' * Z)*#` + %9 * U@' `'B* '9 #)*' R' ,7 6'9 @< # ! '0@ N\ > H+ C %9 !Z $* j0) Z R ! b*'9 ! d02pn3*$Y!&T A/&W 2j!)*A U'9 R % R' , 'c5= ± /3" ¦ U %9 xz n ~ >© ,N ,q) U' *#$ * . !+' ,`% ) $@?!&C U % * () t'c5= 3 A50 3>`m? *%Br 3¢' *#$ !`'6* $ @< ' s 2(#$ c % &( ! 2Z* r#$ %9!,q' 3 $;>r²")`* ' * ¿' ,'9 *)@ *%( 6 U %9 6 2j!) * e N> 9>p * 6 * *% E %\ !v\k c * s % #$ c'9 ] ' U *'9 7> m4 ³'9050' )*R d0 *' ¢'b* ] *' C 0R@'9* ('T% * $ W\#E ^0_v ( # 2 9' ,? '9A'9 * ,' $ S0 05=' 50< *% '9 ' >¿lQ Y W#$ c !l* l ' ,q' )* ¦'9 2j!)* >¥h,?* C'9#R' ,B * *%TU5= & d0< 59 B 5= B'( 6'9#+' , ' '9 RV C 9p0 '9)@ p ' ?'9 )$ c' CV * Q ' '9 Q' #?2 * %9 2] * 6@'9 '9 +@ ! ;'(* 6' * . 9@ C ]@ < '9 { > ¯ '9 05= A&!p * `'9#' , * *%+2 " %9 2.3 %6r$* 2 (' c 2Z'? '9#`' ,; ' '9 u>/ Z` < c'p@* B ' * B 5@ ? )* 2U'( 42 * * 6' ,n ' # ' 0 0)*' )*n *%>` * * *%?'9 i *'23¦ ' n* rJ _ O J IQ\E ^0_vD \E9wFv OtxAzc|2~hr ?*' #' 2l* ,' ¾3*W* !A 3' S@* U5@* 9È > mnd@ %C* $ *' s 2] *j!)* 4 ! 2Q ]*B 6'R'9 ) 3 c U R'9) ++ C ! # %('9B,q' +,q)@) ? 2 $u> m© ' ?A )'9 y"3 l A* "* +'9#' , #< *% ' B'9#' ,n ' ' C2 C B %9 7>r*4 ' %9 * $ ?' * p * Q c j ¢%k£%Yp59'9)* { | nMn@p * % ¼@z n¤ { } p z2} }=| > x {2~ ºW>*²" u> u %9)* c' *>*/ > mb> ?'!'0@ U Q p ¥6J 5I =wE2E C%E $ M /\v_v(J #I > Zæ H+'9)@S= 9p@ 2@' b [`E O D ^0_hJ 6_ E I J9F Í vE O v_N\G p %9 ¼@z f ¤ ¼!{ n@> ¯ H ¯ À p ²"'!2 H4 ' up ;`p z2} } »0> x f ~6¬ >*²r ' * * U * up²4> ¯ s 9p; > º c'9b) ¦ S;> Àn'0)*+$ *% 6 p A59 6 * *%@p $ @'9 s2 c' u>/ k\#9E `%E $ a§ _ £%Y`Y+Y¨¢G O D@)E q^ O E È I |8E ^05I =J 6_ E 7I %E $W[`E O D*^@_v \ ¢5 hv#I $vp * % ¼9«9« ¤ ¼=« } p z2} } f0> x ¼ ~6¬ >*²r ' * * U * l ºW> ?> ?'!'0@$u> m+ '9#'9@ U +'c5= C* *A B5= m#> ;7 '9 7p *È £$I*_N\#9 E 7^ 6_ E I_hE ( F H=E \ q_ O > ºC/¶Àn p ¯ (@%9 p ºmp z2} }9« > x » ~ ²4> ¯ ) 4 *QºW5> ;7 5='2&!>mo5=' )* B '0U,' *)@ *% ' * dR '0 ,'9 $ %9 6 U % >/ k\9E ( [@©ª¢>£ ÍTÍ Ê ( k¥Bp* % +f « f ¤0f zc{ p7m4)*% )*# z}9} à0> ;B> «. 25!$ S0N@> H4 *' s 2R * *%(,' x n ~ ?> gB * + *È *' * ' c*>@/ k\#9E >K ¬¬¬ £%Y+Y`Y®£$I_ ¯ eF [`E 9I $9 ÊE=wE 6_ h °iJ # I ( ^0_hE O J 6_ E I*p* %9 } » z ¤ } )» à0p7m4 { « «9« > x }c~6¬ > ?'9 _s ± s H>² 2é##&!>;?)' *4 + (% )* B,' xAz z ~ > º c59 + *È * * * %(* B d050 36b> £%Y`Y+Yï
xAzc{2~ > Zæ H+'9)@S= 9> ( \_ Í J9FqFv\$GX*vE \v O J I# ( F H=E \q_ O $> 4d@,' $4Û? *5= &lÀ p*è? 3 Ï?*A/&!>/ > mb> ?'!'0@ U Q p ¥6J #I =wE2E R%E $ M /\v_vZJ #I > Zæ H+'9)@S= 9p@ 2A' _ [`E O D ^0_hJ 6_ NE I J9F Í vE O v_N\$G p %9 ¼ à9 » ¤ ¼ » } > ¯ H ¯ À p ²"'!2 H4 '9 7p ;p z}9} »0> xAz¼ ~ H>À'@> m¶'9)'9 'Z* B d0 #+5@ 3¶@'9* ¤,q' )' U 2R2 9l '0 7 j0)' Q' ,, u *2 " H+ ' }9| < { f0bp =H4mBÀ ;8 7@ p Û4 *5= A&l' ,À *#&@59 * @p º & z}9}=| > xAzc|2~ ?> 0* 2p> H+ ! )A+ Q c+%= _> k\9E £%Y+Y`YU p n « e } k z ´f n ¼ ¤ z f }9} pn0 ( z}9}9{ > xAz à ~ À ?@ 25@S >m¶%9!4 * A&@4' ,* 6% 2@&l % ' A* ,q' + +'c5= 2@> µ0E ^0\$I J9F%E $ ( F H=E \ _ O p { | e { k { f=» ¤ {9|c¼ p è?'c5= Z z2} } »!> xAz » ~ > 0 *'! &@ *S >À'9 !+'!2 '9 7> / > m> ?'!'0 U * p ¥6J #I =wE2E R%E $ M /\v_vZJ #I > Zæ H+'9)@S= 9p@ 2A' _ [`E O D ^0_hJ 6_ NE I J9F Í vE O v_N\$G p %9 |9| } ¤ | » ¼ > ¯ H ¯ À p ²"'!2 H4 '9 7p ;p z}9} »0> xAz n ~ Z> 8)@SR CºW#> ;7 5='2&!B> ;* 2l ' &@% '9 ,' $ *% 6 U %9 > / k\#9E ( [@©ª¢%£ ÍTÍ Ê ( k¥?p** %9 f z9z ¤0f z n@p z}9} ¼ > Û+) @>*m+%9 &Q R)* * '9 @'9 > xAz2}c ~ ' % i / @> H.> @ $SR 5> Û+) @p@ 2@A' _p ¥6J I w$E29E lE I [`E O D ^0_hJ 6_ NE I J9F Í vE O v_N\$G p %9 4´ f n9» ¤ ¼ f ¼ > m` 50 @ .À`)** p z2} } »!> x { «c~ ;`>@¨©Ad' u7> Ï? 3 ' !+ ' ,q' +50) 8 2 c7>* k\#9 E @£%Y`Y+YS[`E 9I $9 nE I [`E O D ^0_v \ Y>NE IJ #I kJ _N_v\I Ê+Cv EH @ I q6_ NE I*p* % w n «9« ¤%n «=| p z2}9} ¼ >
