Calculus 0230 Representing Functions as Power Series Paul Gartside


         ! " #    $&%' (
)+* %-,../ 0&  13254 6-782:9=@?BADCE25F AG7HCJI:9LK5CNMPOQ2:9L6R?RFDK S T CUOD;WVI:XYZ2[;>\]S$^F ?`_aCU9L=L?b;dceI5X31?`;@;f=„ …‡†‰ˆŠ† ‹ŒzŽW† bŽW‘a€“’'‹†d”W‹†d•† „–€‰ƒbŽW„W‚!€“—˜’>„ ƒf-ƒ”‡’Ÿ  ¢¡ ’—˜„¤€œŒj”‡†d’fPbŽJ„W‚ €•—˜’Š„Wšƒ>ƒ”‡’‹•„ ƒ©Š† „W†d‹•ƒ>‘€“† ‚&W„W—žªUŽJ†—ž„z€•W†)„W†!«U€‘˜† ‚ €•ŽW‹•†­¬  ¢¡ ’„ ° ¯±° —žˆU— ° † bŽJ„W‚ €•—˜’Š„W‹†d”W‹†d†d„–€“† ° …–Œƒ'”‡’‘˜‘5€•W†)©Š†d’ ³ †!€“‹•—ž‚¨”‡’@™§†d‹•† ‹•—ž†ddŸ ¶§ÉËÊÉËÊ[ÌÍÉËÊ[ÎÍÉËÊÐÏDÉ£ÑôïõEñþðø&ñLõÐÿ>ë!êRöUë!õ5ø&ë ¦ ¬ D¦ Ê ¬ Ò É˶ Ê ¦ ¬ 5¦ Ê ¬ Ò Ê É Ì Ê Ü â W† Ћ• €~€•‹•—ž‚ N—˜€•’E‹•† ™]‹—ž€•†v€“W†z©Š—´ˆŠ†d„ bŽW„J‚ €“—ž’Š„Ë—˜„ €•†d‹ ³ ’>€“W† ©Š† ’ ³ † €“‹—˜‚¨†d‹—˜†d › D¦ Ê ¬ Ò É ¶ Ê Ò ¶ ¶]Ø ¦ Ø]¶ Ê ¬ Ò ¶ Ô Ó Ø]Ê Õ Ò Ô Ó ¦ Ø3¶ ¬ Õ Ê Õ Õ­ÖW× Ê Ê Ì Ê Î Õ—˜„ ’>0‚d’Š„–ˆ>†d‹•©>†d„W‚ †—ž‰¦ Ø ¬!› W†3•† ‚d’Š„ ° €“‹—˜‚ v—ž¥€“’'‹•† ŽW•†3”W‹† ˆU—˜’ŠŽJ‹†dŽW‘ž€•d› 5¦ Ê ¬ Ò Ê É Ì Ê Ò ¦ Ê Ì ¬ Ñ É˶ Ê Ò ¦ Ê Ì ¬ Ô Ó ¦ Ø3¶ ¬ Õ Ê Õ Õ0‚d’Š„–ˆ>†d‹•©>†d„W‚ †—ž‰¦ Ø ¬!›




  







 









 





 

!"













!"

#































%$









!"

&

'

#





ÅƸ¨x~Á ¸»u w$}­| (¸ 8w ¸‰¿Í¸‰tvu 3u }dx~t ¼ w x ¸‰Á âbäjà åçæDè é‡ê“ë&ì&ìíbîÐëð­ñLòïò˜ñLó ôïõUö¨ð÷Uõ5ø!íBôRñLõJì'ùLì»éÐñLóšë!ê3ìõ‡û‰ü$õ‡ûíïîÐë!ôïê ûUñLý~ù>ôïõEñþðø&ñLõÐÿ>ë!êRöUë!õ5ø&ë ¦ œ¬ D¦ Ê ¬ Ò ¶QÉ˶ Ê Ì ¦ ¬ 5¦ Ê ¬ Ò É Ê Ê Ì Ü -’>€•† ¶§É Ê Ì ÒG¶]Ø ¦ ØÊ Ì ¬ [ƒ>„ ° ÉËÊ Ì Ò ¦ ¶§É ¦ Ê ¬ Ì ¬!› âbäjà îÐë ¨ë&ì&ìíBôïÿ>ëñþð ¦ Ê ¬ùLìù3éÐñLóšë!ê»ì„ ¦ Ê ¬ ß 3ñLíBôïõUö íïîJù>í ï¦ Ê ¬ Ò ¶QÉ˶ Ê Ì ü$õ‡ûvù3éÐñLóšë!ê»ìêí þù ¨íþñø•ù>ò˜ø!÷jò´ù>íœë €&ƒf„ ¦ ¶ ¬¥íþñ ûUë&ø!ôïý~ù>òLé‡ò´ùUø&ë&ì N†)Ðƒ­ˆŠ†ƒ>‘ž‹•†­ƒ ° Œ b’ŠŽJ„ ° ƒ”‡’ ¶ ¦ ¶QÉËÊ Ì ¬› ”V •,

243 65 [ 6l

¤.10

–¥n

L



N


y

¦

6€



#Ly

[ 5 l

8:9
?

§

|

©¨ Uª

«



N

%!C'


y

'

¬

!

s0tvuD¸ ¤w 3u }dx~t ½ x d{Hu }dx~t8¿ ä Pä !† € D¦ Ê ¬ Ò €“ƒ>„ ¦ Ê ¬!› ß ’>€“—ž„W©€“Wƒf€ ï¦ Ê ¬ Ò ¶QÉ˶ Ê Ì Ð„ ° ƒ”‡’@™§†d‹•† ‹•—ž†d]‹•† ”W‹•† •†d„–€“ƒf€“—ž’Š„ ’f 㛠•†¥ŒŠ’>ŽW‹Qƒ>„W™§†d‹ €•’3”Wƒ>‹€¦`ƒ–¬ã€“’‰‚dƒ>‘˜‚ ŽW‘ ƒL€“†š€“ƒ>„ ¦ ¶ ¬P€•’ ° †d‚ — ³ ƒ>‘J”W‘˜ƒ>‚d† d› ⠗ž²:†d‹•† „–€“— ƒL€“—˜„J© ͦ Ê ¬ Ò €“ƒ>„ ¦ Ê ¬$©Š—žˆ>†d ¦ Ê ¬ ÒZ¶ ¦ ¶PÉ8Ê Ì ¬› N†-“ƒ­™ …‡† b’Š‹†¨€“ÐƒL€­Ÿ ï¦ Ê ¬ Ò ¶QÉ ¶ Ê Ì Ò Ô Ó ¦ Ø3¶ ¬ Õ Ê Ì Õ Ü Õ­ÖW× œ„–€“† ©Š‹“ƒL€“—˜„J©'€•†d‹ ³ …qŒ €“†d‹ ³ Ÿ Ô Ó ¦ ض ¬ Õ Ê Ì Õ Ê €&ƒ>„ ¦ Ê ¬ Ò ¶šÉ ¶ Ê Ì Ê Ò Õ„ ¦ –¬ Ò JµJ™§†3Ðƒ­ˆŠ† Ò J› W† „W‚d†fŸ €&ƒ>„ ¦ Ê ¬ Ò Ô Ó ¦ ض ¬ Õ Ê Ì Õ É£¶ Ü Õ­ÖW× ƒ>‘ž‚dŽW‘˜ƒf€“—ž„W©€“ƒ>„ ¦ ¶ ¬Ÿ €&ƒf„ ¦ Ü ¬ Ò ¦ Ü ¬ Ø ¦ Ü ¬ Î É ¦ Ü ¬ Ø ¦ Ü ¬ ɣюW•†]€“J†-†d‹•—ž†d$—˜Qƒ>‘´€“† ‹•„Ѓf€•—˜„W©Jµ–ƒ>„ ° €“W† „W†«U€€•†d‹ ³ —˜„ €“J†3†d‹—˜†d]—ž3¦ Ü ¬ Ò Ü ¶ ™]W—˜‚&—˜‰Û Ü › ”V •,

/0

XZY ®­¤ akR% 6¯ [ 6l

°

”



N

@

6€





•

[ 5 lq±

  ©²

³

N



N



!C'

'

´ €

-«

!

6€

Ž



Ž

š

N

š

„



N

H

' J

H

¶





N

%$

N

£ !C'

H

' J

£

£

N

£

£

£

H

H

H

¸·

H

º¹

»



H ½¬C¾ £

¼



H

›



N

„

N

%$

›

µ

jˆ

†

£

£

'

H

º¹ ! »

H HCH %¾ »



xH HCH

—&

{ u } }­t ¼®x)º¸‰w ½ ¸‰w$}d¸‰¿ Ћ•’ ³ €•W†8‘˜— ³ —´€~‘ ƒ­™] b’Š‹¤•†d‹—˜† v™š†E‚­ƒf„ ƒ °W° ƒ>„ ° ŽW…J€•‹“ƒ>‚!€z”:’† ”‡’Š‘žŒU„W’ ³ —˜ƒ>‘˜ › €—˜]ƒ>‘ž•’”‡’Š•—˜…W‘ž†¨€“’ ³ ŽW‘´€“—˜”J‘žŒ¤ƒ>„ °z° —´ˆj— ° †‰”‡’@™§†d‹•† ‹•—ž†d]‘˜— >†‰”‡’Š‘žŒU„W’ ³ — ƒf‘˜d› Ý»ÞßÐàNáãâ`ä $ôïõ‡û¤íïîÐë$ü$ê“ì!í‡ð­ë!óeíœë!êýì3ôïõrù)éÐñLóšë!ê»ìõJì!ôRñLõð­ñLê ‘˜„0¦ ¶ØÙÊ ¬ Ü €“ƒ>„ ¦ Ê ¬ Ü â ن q„W’„ ¦ Ê ¬ Ò Ø Ô Ó ÊÐÕ Ü Ô Ó ¦ Ø3¶ ¬ Õ Ê Ì Õ É£¶ Մ–€¨€“† ‹ ³ › ’ × Ò ƒ>„ ° Ò j›®¦ W†”W‹•’ ° ŽW‚!€ ’>€“J†€œ™§’N ³ ƒ>‘ž‘˜† €„W’>„ d† ‹•’r€“†d‹ ³ b‹’ ³ †­ƒf‚& †d‹•—ž†d]©Š—´ˆŠ†dƒ>„ Ê Ì €“†d‹ ³ › ¬ „ Ê Ì €“†d‹ ³ —˜„z€“W†3”W‹•’ ° ŽW‚!€»‚dƒ>„H’>„W‘žŒ ‚ ’ ³ †3b‹’ ³³ ŽW‘´€“—ž”W‘žŒU—˜„J©€“W† Ê Ò €•†d‹ ³ ¥b‹•’ ³ €“W†‰`ƒ>‚!€“’Š‹d› ¡ †d„W‚ † Ì Ò ¦ Ø3¶ ¬ Ü ¦ ¶ ¬ ÒGض › „ Ê Î €•†d‹ ³ —˜„€•W†'”W‹•’ ° ŽW‚!€)‚­ƒ>„E‚d’ ³ †† —ž€•W†d‹¨b‹’ ³ Ê0Ü Ê Ì ’Š‹ Ê Ì Ü Ê ’Š‹ Ò Ê × Ü Ê Î ’Š‹ Ê Î Ü Ê × ›Dœ„~†­ƒ>‚&¤‚­ƒ>†>µU†!«j‚d† ”J€š€•W†]•† ‚d’Š„ ° µj’Š„J†-’>‡€“J†-‚ ’j† ¤‚ —˜† „q€•§—ž d† ‹•’W› ¡ †d„W‚ † Î Ò ¦ Ø3¶ ¬ Ü ¦ ¶ ¬ Ò±Ø3¶ › ¿

10

P*10UÀ

WV

Á

Â

Â

ŠÃŸž

R



   «

N

Ä 

N

†

N

%$

ˆ

J

' J

†

N

 H

'





N

ˆ

£

·

N

 H





«

p

«

J

4p

“Å

H

pPN

É' ¯

J

¯

J





H

µ Æp

‹H

H

aÇaÈ

Ê

J

³p

Ë ¯

Ê

UÌ

³p

!C'

!C'

Í

•È

„ Ê Ï €•†d‹ ³ —ž„r€•W† ”J‹•’ ° ŽW‚ €‚­ƒ>„Ù‚d’ ³ †~†d—ž€•W†d‹3b‹•’ ³ Ê × Ü Ê Ï ’Š‹ Ê Ï Ü Ê × Ò ’Š‹ Ê0Ü Ê Î ’>‹ Ê Î Ü Ê ’Š‹ Ê Ì Ü Ê Ì › W† Ћ• €­µD†d‚d’>„ ° ƒ>„ ° ‘˜ƒ>€ ³ ƒ >†v„W’H‚d’Š„–€“‹—˜…WŽj€“—˜’>„› ¡ †d„W‚ † Ï Ò ¦ Ø3¶ ¬ Ü ¦ Ø3¶ ¬ É ¦ Ø3¶ ¬ Ü ¦ ¶ ¬ Ò j› W† ‹•† b’>‹•†)€“W† Ћ€ WˆŠ†)€“† ‹ ³ ’>P€“W†)”W‹’ ° ŽJ‚ €”:’‹•†fŸ ‘˜„0¦ ¶Ø Ê ¬ Ü €“ƒ>„ ¦ Ê ¬ Ò Ü Ê × É Ü Ê É ¦ ض ¬ Ü Ê Ì É ¦ ض ¬ Ü Ê Î É ¦ –¬ Ü Ê Ï É Ñ€•—˜†d„–€’>’Š„W† ”‡’ƒ „J’>€“W† ‹™§†zƒ>”W”W‘´ŒÙƒ”W‹•’U‚d† ° ŽW‹•† — ³ —˜‘ ƒf‹Q€•’~‘ž’Š„W© ° —´ˆj—ž•—ž’Š„ ’>ã”:’Š‘´ŒU„W’ ³ — ƒ>‘žd› Ý»ÞßÐàNáãâ`ä $ôïõ‡û¤íïîÐëéÐñLóšë!ê»ì„ ¦ Ê ¬ Ü ‘ž„a¦ ¶ØÙÊ ¬ â È]†d‚dƒ>‘˜‘BŸ €&ƒf„ ¦ Ê ¬ Ò Ô Ó ¦ Ø3¶ ¬ Õ Ê Ì Õ É£¶ ƒ>„ ° ˜‘ „a¦ ¶]Ø Ê ¬ ÒZØ Ô Ó ÊÐÕ Ü Õ­ÖW× Õ]—žP€“W†)”‡’‘˜ Ð

, •À

c

³

Å d ]3

Ñ

  O

   ]™g3 O

i ]3 ®^ 5 ` ^‘ ]3

ÄÑ

¶Š¶