Contents - Art of Problem Solving
Excerpt from "Precalculus" ©2014 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS
Contents
How to Use This Book
iii
Acknowledgements
vii
1
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Functions Review 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
Function Basics . . . Graphing Functions Composition . . . . Inverse Functions . Summary . . . . . .
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Introduction to Trigonometric Functions 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
The Unit Circle . . . . . . . . . . . . Radians . . . . . . . . . . . . . . . . Graphs of Trigonometric Functions Transformations of Trig Functions . Inverse Trig Functions . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . .
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Trigonometric Identities 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5? 3.6
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Introduction to Trig Identities . . . . Sums and Di↵erences of Angles . . . Double and Half Angles . . . . . . . Sum-to-product and Product-to-sum Problem Solving with Identities . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . .
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Applications to Geometry 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
Right Triangle Trigonometry Law of Cosines . . . . . . . . Law of Sines . . . . . . . . . More Triangle Relationships Summary . . . . . . . . . . .
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Parameterization and Trigonometric Coordinate Systems 5.1 5.2 5.3 5.4
Parameterization . . . . . . . . . . Polar Coordinates . . . . . . . . . Coordinates in Three Dimensions Summary . . . . . . . . . . . . . .
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Complex Number Arithmetic The Complex Plane . . . . . . Real and Imaginary Parts . . . Nonreal Roots of Polynomials Summary . . . . . . . . . . . .
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Trigonometry and Complex Numbers 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5
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Basics of Complex Numbers 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
84 91 100 106 112 123
Polar Form of Complex Numbers . . . . Exponential Form of Complex Numbers Roots of Unity . . . . . . . . . . . . . . . Problems Involving Roots of Unity . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Geometry of Complex Numbers 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5? 8.6
Transformations of the Complex Plane Parallel and Perpendicular Lines . . . . Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regular Polygons . . . . . . . . . . . . Classic Theorems . . . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Vectors in Two Dimensions 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5
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10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7
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11.1 11.2 11.3 11.4 11.5
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12.1 12.2 12.3 12.4
What’s a Vector? . . . . . . . . The Dot Product . . . . . . . . Lines and Linear Dependence Projections . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . .
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Matrices in Two Dimensions . . . . . . .
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Vectors and Matrices in Three Dimensions, Part 1 . . . . .
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What is a Matrix? . . . . . . . . . . . . . . . Multiplying Matrices . . . . . . . . . . . . . Matrices as Transformations . . . . . . . . . The Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . Geometric Interpretation of the Determinant Inverting a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vectors in Three Dimensions . 3 ⇥ 3 Matrices . . . . . . . . . . Determinants of 3 ⇥ 3 Matrices More Than Just 2 ⇥ 2 and 3 ⇥ 3 Summary . . . . . . . . . . . .
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Vectors and Matrices in Three Dimensions, Part 2 Lines and Planes in Three Dimensions . . . More Planes in Three Dimensions . . . . . . The Cross Product . . . . . . . . . . . . . . . Geometric Interpretation of the Determinant
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13.1 13.2 13.3? 13.4
Inverse of a 3 ⇥ 3 Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
Vector Geometry
463
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vectors in the Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vectors, Complex Numbers, and Challenging Problems Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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References
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Hints to Selected Problems
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Index
501
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Copyrighted Material
Contents
How to Use This Book
iii
Acknowledgements
vii
1
2
Functions Review 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
Function Basics . . . Graphing Functions Composition . . . . Inverse Functions . Summary . . . . . .
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Introduction to Trigonometric Functions 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
The Unit Circle . . . . . . . . . . . . Radians . . . . . . . . . . . . . . . . Graphs of Trigonometric Functions Transformations of Trig Functions . Inverse Trig Functions . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . .
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Trigonometric Identities 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5? 3.6
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Introduction to Trig Identities . . . . Sums and Di↵erences of Angles . . . Double and Half Angles . . . . . . . Sum-to-product and Product-to-sum Problem Solving with Identities . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . .
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Applications to Geometry 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
Right Triangle Trigonometry Law of Cosines . . . . . . . . Law of Sines . . . . . . . . . More Triangle Relationships Summary . . . . . . . . . . .
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Parameterization and Trigonometric Coordinate Systems 5.1 5.2 5.3 5.4
Parameterization . . . . . . . . . . Polar Coordinates . . . . . . . . . Coordinates in Three Dimensions Summary . . . . . . . . . . . . . .
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Trigonometry and Complex Numbers 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5
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Basics of Complex Numbers 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
84 91 100 106 112 123
Polar Form of Complex Numbers . . . . Exponential Form of Complex Numbers Roots of Unity . . . . . . . . . . . . . . . Problems Involving Roots of Unity . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Geometry of Complex Numbers 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5? 8.6
Transformations of the Complex Plane Parallel and Perpendicular Lines . . . . Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regular Polygons . . . . . . . . . . . . Classic Theorems . . . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Vectors in Two Dimensions 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5
10
10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7
11
11.1 11.2 11.3 11.4 11.5
12
12.1 12.2 12.3 12.4
What’s a Vector? . . . . . . . . The Dot Product . . . . . . . . Lines and Linear Dependence Projections . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . .
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297 . . . . .
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Matrices in Two Dimensions . . . . . . .
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Vectors and Matrices in Three Dimensions, Part 1 . . . . .
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297 304 312 322 330
334
What is a Matrix? . . . . . . . . . . . . . . . Multiplying Matrices . . . . . . . . . . . . . Matrices as Transformations . . . . . . . . . The Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . Geometric Interpretation of the Determinant Inverting a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vectors in Three Dimensions . 3 ⇥ 3 Matrices . . . . . . . . . . Determinants of 3 ⇥ 3 Matrices More Than Just 2 ⇥ 2 and 3 ⇥ 3 Summary . . . . . . . . . . . .
255 264 271 277 285 292
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380 . . . . .
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Vectors and Matrices in Three Dimensions, Part 2 Lines and Planes in Three Dimensions . . . More Planes in Three Dimensions . . . . . . The Cross Product . . . . . . . . . . . . . . . Geometric Interpretation of the Determinant
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334 339 347 354 363 369 374
380 384 395 409 415
421 . . . .
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421 428 442 450 xi
Copyrighted Material
Excerpt from "Precalculus" ©2014 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS 12.5 12.6
13
13.1 13.2 13.3? 13.4
Inverse of a 3 ⇥ 3 Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
Vector Geometry
463
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vectors in the Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vectors, Complex Numbers, and Challenging Problems Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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463 469 476 485
References
488
Hints to Selected Problems
489
Index
501
xii
Copyrighted Material
