Design Graphics Tutorial

Tutorial  – Oct 30 2008

DESIGN GRAPHICS TUTORIAL

Contact Info ƒ Boby Chu ƒ [email protected] ƒ Macdonald MD53

Today... ƒ Assignment 4 à Q1: Transformations à Q2 : Screw threads à Q3: Geneva wheel

ƒ Homework time

Question 1: Transformations ƒ You can transform a vector by multiplying it 

with a TRANSFORMATION matrix: New Transformation  matrix

Old

Question 1: Transformations New Transformation  matrix

Old

M

t

Question 1: Transformations ƒ Different transformations will have different 

transformation matrices ƒ See notes  PP: 79‐85 ƒ Don’t forget: VECTORS!

Question 1: Transformations ƒ Question 1 uses transformations to transform 

conics ƒ Review Assignment M2‐2:

Question 1: Transformations You need to: ƒ Step 1: write the equation of  the conic in  matrix form  (eq. 2.12) ƒ Step 2: apply the correct transformation  matrix ƒ Step 3: Plot the final answer  ƒ Everything should be done by hand

Question 1: Transformations Example: Q1 b) Step 1: Write the equation of the conic in matrix  form

2 x

2 − y

= 1

Question 1: Transformations Example: Q1 b) Step 2: Transform!

Question 1: Transformations Example: Q1 b) Step 3: Plot!

Question 2: Screw Threads

Question 2: Screw Threads

Question 2: Screw Threads ƒ Specifications: à The threads must be smooth à Each tooth should fit into a diamond with 

internal angles of 120° and 60 °, and small  √3 and large diagonals measuring 1 and √3  1 units respectively à The profile must have G2‐continuous,  meaning that the expressions for the curve,  its 1st derivative, and its 2nd derivative must  be smooth! à You cannot use circles to make round  corners round.

Question 2: Screw Threads ƒ Hint they give you: use Lamé curves! P

P

⎛x⎞ ⎛ y⎞ f ( x, y ) = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1 ⎝a⎠ ⎝b⎠

4th degree

Question 2: Screw Threads

Special Feature Curvature κ = 0 at  intersections with axes  – totally flat!

Question 2: Screw Threads General Steps

Question 2: Screw Threads ƒ Strategy: à Define your Lamé curve à Convert into vector form à Cut up your curve into 

curve segments à Transform your curve  using transformation  matrices (rotate and scale)

Question 2: Screw Threads ƒ Tools you’ll need: à From vector calculus, remember how to 

reparametrize f(x,y) into f(t) à From vector calculus, remember how to find  curvature:

κ=

f (t ) × f "(t ) f (t )

3

Question 2: Screw Threads ƒ Step 1: à Define your Lamé curve, transform into 

vector‐matrix representation

4th degree

Question 2: Screw Threads ƒ Step 2: à Transform your Lamé curve using rotation  

and scaling, like in Q1. You’ll need multiple  transformations.

Question 2: Screw Threads ƒ Step 3: à Crop your Lamé curve...

But WHERE?

Question 2: Screw Threads ƒ Step 3: Where to cut à First let’s look at what we need to do next...

Question 2: Screw Threads ƒ Step 3: Where to cut At junction points  P1 and P2, both the  black and red  segments must have  same curvature κ to  keep the entire  curve G2‐coninuous.

P1

P2

Question 2: Screw Threads ƒ Step 3: Where to cut Because the red  and black  segments have  opposing curving  directions, the  only κ that will  work is when  

κ = 0

P1

P2

Question 2: Screw Threads ƒ Step 3: Where to cut à To find coordinates (x,y) where κ = 0, you  need...

κ=

f (t ) × f "(t ) f (t )

3

à ... which means you need to:

‚ turn your curve equation into vector form ‚ reparametrize into t

Question 2: Screw Threads ƒ Step 3: Vector form of equation à Expand your transformed Lamé curve 

equation fully

à Rewrite into explicit form: isolate y to get y = y(x)

Question 2: Screw Threads ƒ Step 3: Vector form of equation à Shove everything into a vector

x = x,

⎡ x ⎤ y = y ( x) → ⎢⎢ y ( x) ⎥⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦

à Set x = t

⎡ t ⎤ f (t ) = ⎢⎢ y (t ) ⎥⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦

Question 2: Screw Threads ƒ Step 3: solving for t, x, y à Set κ = 0

κ=

f (t ) × f "(t ) f (t )

3

=0

à ... and solve for t, and recalculate x and y. This will 

give you the coordinates for P1 and P2.

Question 2: Screw Threads ƒ Step 3: Cutting the plot à Simply plot your curve from P1 to P2 above 

the x‐axis.

P1

P2

Question 2: Screw Threads ƒ Step 4 à To isolate the red segment, plot your curve 

from P1 to halfway to P2 above the x‐axis.

P1

P2

Question 2: Screw Threads ƒ Step 5: à Same as Step 2: Rotation + Translation

P1

P2

Question 2: Screw Threads ƒ In Maple, you need to know... à ... Create multiple plots and assign them names

A

C

B

à ... And display them on the same plot

A B

C

Question 2: Screw Threads ƒ In Maple, you need to know... à ... How to use ‚ with(plots) and with(LinearAlgebra) ‚ VectorNorm() ‚ CrossProduct() ‚ Diff() ‚ ImplicitPlot() ‚ Display() à Use the Help File

Question 3: Geneva Wheel