Intermediate Algebra - Exodus Books
Excerpt from "Intermediate Algebra" ©2014 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS
Contents
How to Use This Book
iii
Acknowledgements
vii
1
2
3
Basic Techniques for Solving Equations 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
Isolation . . . . . . . . . . . . . . . . Substitution . . . . . . . . . . . . . . Elimination . . . . . . . . . . . . . . Larger Systems of Linear Equations Summary . . . . . . . . . . . . . . .
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Functions Review 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
Function Basics . . . Graphing Functions Composition . . . . Inverse Functions . Summary . . . . . .
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Complex Numbers 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
1 6 9 14 19
24 32 39 43 49
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Arithmetic of Complex Numbers The Complex Plane . . . . . . . . Real and Imaginary Parts . . . . . Graphing in the Complex Plane . Summary . . . . . . . . . . . . . .
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ix
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Excerpt from "Intermediate Algebra" ©2014 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS
4
5
6
7
Quadratics 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
79
Factoring Quadratics . . . . . . Relating Roots and Coefficients Completing the Square . . . . . The Discriminant . . . . . . . . . Quadratic Inequalities . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . .
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. 79 . 84 . 88 . 96 . 99 . 102
Conics 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7
106
Parabolas . . . . . . . . . . . . . . . Problem Solving With Parabolas . . Maxima and Minima of Quadratics Circles . . . . . . . . . . . . . . . . . Ellipses . . . . . . . . . . . . . . . . Hyperbolas . . . . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . .
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Polynomial Division 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
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Polynomial Review . . . . . . . . . . Introduction to Polynomial Division Synthetic Division . . . . . . . . . . . The Remainder Theorem . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . .
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Polynomial Roots Part I 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7
107 118 121 126 129 142 156
163 166 177 185 189
193
The Factor Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integer Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rational Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Graphing and the Fundamental Theorem of Algebra Algebraic Applications of the Fundamental Theorem Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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193 198 206 212 215 219 225
Excerpt from "Intermediate Algebra" ©2014 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS
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9
Polynomial Roots Part II 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5
230
Irrational Roots . . . . . . . . . . Nonreal Roots . . . . . . . . . . Vieta’s Formulas . . . . . . . . . Using Roots to Make Equations Summary . . . . . . . . . . . . .
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Factoring Multivariable Polynomials 9.1 9.2 9.3? 9.4
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Grouping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sums and Di↵erences of Powers . . . . . . . . . . . The Factor Theorem for Multivariable Polynomials Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Sequences and Series
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Identities, Manipulations, and Induction
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Inequalities
10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7
11.1 11.2 11.3 11.4 11.5
12.1 12.2 12.3
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261 268 277 282
286
Arithmetic Sequences . . . . . . . . . . . . . . Arithmetic Series . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometric Sequences . . . . . . . . . . . . . . Geometric Series . . . . . . . . . . . . . . . . . Sequence, Summation, and Product Notation Nested Sums and Products . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Brute Force . . . . Ratios . . . . . . . Induction . . . . . Binomial Theorem Summary . . . . .
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286 292 298 302 313 325 331
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338 343 348 358 365
371
Manipulating Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 The Trivial Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 AM-GM Inequality with Two Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 xi
Copyrighted Material
Excerpt from "Intermediate Algebra" ©2014 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS 12.4 12.5 12.6 12.7
AM-GM with More Variables . . The Cauchy-Schwarz Inequality Maxima and Minima . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . .
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Exponents and Logarithms
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Radicals
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Special Classes of Functions
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Piecewise Defined Functions
13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7
14.1 14.2 14.3 14.4
15.1 15.2 15.3 15.4 15.5
16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6
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389 392 400 406
413
Exponential Function Basics . . . . . . . . . Introduction to Logarithms . . . . . . . . . . Logarithmic Identities . . . . . . . . . . . . . Using Logarithm Identities . . . . . . . . . . Switching Between Logs and Exponents . . Natural Logarithms and Exponential Decay Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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413 416 424 433 441 444 451
456
Raising Radicals to Powers . . . . . . . Evaluating Expressions With Radicals . Radical Conjugates . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . .
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456 465 470 473
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Rational Functions and Their Graphs . . . . . Rational Function Equations and Inequalities Even and Odd Functions . . . . . . . . . . . . Monotonic Functions . . . . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Introduction to Piecewise Defined Functions Absolute Value . . . . . . . . . . . . . . . . . Graphing Absolute Value . . . . . . . . . . . Floor and Ceiling . . . . . . . . . . . . . . . . Problem Solving with the Floor Function . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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476 486 492 497 503
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508 517 523 529 535 539
Excerpt from "Intermediate Algebra" ©2014 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS
17
More Sequences and Series
18
More Inequalities
19
Functional Equations
20
Some Advanced Strategies
17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6
18.1 18.2 18.3 18.4
19.1 19.2 19.3 19.4 19.5
20.1 20.2 20.3 20.4 20.5 20.6 20.7
Algebra of Recursive Sequences Telescoping . . . . . . . . . . . . Sums of Polynomial Series . . . Arithmetico-Geometric Series . Finite Di↵erences . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . .
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544 552 561 567 571 576
581
Mean Inequality Chain . . . . The Rearrangement Inequality When Formulas Fail . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . .
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Finding Values . . . . . . . . . . . . . Finding Functions with Substitution Separation . . . . . . . . . . . . . . . . Cyclic Functions . . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . .
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581 593 600 606
611 . . . . .
Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . Substitution for Simplification . . . . . Method of Undetermined Coefficients Constructing Polynomials From Roots Common Divisors of Polynomials . . . Symmetric Sums Revisited . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Copyrighted Material
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References
673
Hints to Selected Problems
674
Index
693
xiv
Copyrighted Material
Contents
How to Use This Book
iii
Acknowledgements
vii
1
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3
Basic Techniques for Solving Equations 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
Isolation . . . . . . . . . . . . . . . . Substitution . . . . . . . . . . . . . . Elimination . . . . . . . . . . . . . . Larger Systems of Linear Equations Summary . . . . . . . . . . . . . . .
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Functions Review 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
Function Basics . . . Graphing Functions Composition . . . . Inverse Functions . Summary . . . . . .
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Complex Numbers 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
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Arithmetic of Complex Numbers The Complex Plane . . . . . . . . Real and Imaginary Parts . . . . . Graphing in the Complex Plane . Summary . . . . . . . . . . . . . .
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ix
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Excerpt from "Intermediate Algebra" ©2014 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS
4
5
6
7
Quadratics 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
79
Factoring Quadratics . . . . . . Relating Roots and Coefficients Completing the Square . . . . . The Discriminant . . . . . . . . . Quadratic Inequalities . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . .
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. 79 . 84 . 88 . 96 . 99 . 102
Conics 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7
106
Parabolas . . . . . . . . . . . . . . . Problem Solving With Parabolas . . Maxima and Minima of Quadratics Circles . . . . . . . . . . . . . . . . . Ellipses . . . . . . . . . . . . . . . . Hyperbolas . . . . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . .
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Polynomial Division 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
162
Polynomial Review . . . . . . . . . . Introduction to Polynomial Division Synthetic Division . . . . . . . . . . . The Remainder Theorem . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . .
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Polynomial Roots Part I 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7
107 118 121 126 129 142 156
163 166 177 185 189
193
The Factor Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integer Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rational Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Graphing and the Fundamental Theorem of Algebra Algebraic Applications of the Fundamental Theorem Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
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193 198 206 212 215 219 225
Excerpt from "Intermediate Algebra" ©2014 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS
8
9
Polynomial Roots Part II 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5
230
Irrational Roots . . . . . . . . . . Nonreal Roots . . . . . . . . . . Vieta’s Formulas . . . . . . . . . Using Roots to Make Equations Summary . . . . . . . . . . . . .
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Factoring Multivariable Polynomials 9.1 9.2 9.3? 9.4
261
Grouping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sums and Di↵erences of Powers . . . . . . . . . . . The Factor Theorem for Multivariable Polynomials Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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10
Sequences and Series
11
Identities, Manipulations, and Induction
12
Inequalities
10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7
11.1 11.2 11.3 11.4 11.5
12.1 12.2 12.3
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261 268 277 282
286
Arithmetic Sequences . . . . . . . . . . . . . . Arithmetic Series . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometric Sequences . . . . . . . . . . . . . . Geometric Series . . . . . . . . . . . . . . . . . Sequence, Summation, and Product Notation Nested Sums and Products . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Brute Force . . . . Ratios . . . . . . . Induction . . . . . Binomial Theorem Summary . . . . .
230 239 244 253 256
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286 292 298 302 313 325 331
338 . . . . .
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338 343 348 358 365
371
Manipulating Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 The Trivial Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 AM-GM Inequality with Two Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 xi
Copyrighted Material
Excerpt from "Intermediate Algebra" ©2014 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS 12.4 12.5 12.6 12.7
AM-GM with More Variables . . The Cauchy-Schwarz Inequality Maxima and Minima . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . .
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13
Exponents and Logarithms
14
Radicals
15
Special Classes of Functions
16
Piecewise Defined Functions
13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7
14.1 14.2 14.3 14.4
15.1 15.2 15.3 15.4 15.5
16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6
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389 392 400 406
413
Exponential Function Basics . . . . . . . . . Introduction to Logarithms . . . . . . . . . . Logarithmic Identities . . . . . . . . . . . . . Using Logarithm Identities . . . . . . . . . . Switching Between Logs and Exponents . . Natural Logarithms and Exponential Decay Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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413 416 424 433 441 444 451
456
Raising Radicals to Powers . . . . . . . Evaluating Expressions With Radicals . Radical Conjugates . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . .
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456 465 470 473
476
Rational Functions and Their Graphs . . . . . Rational Function Equations and Inequalities Even and Odd Functions . . . . . . . . . . . . Monotonic Functions . . . . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Introduction to Piecewise Defined Functions Absolute Value . . . . . . . . . . . . . . . . . Graphing Absolute Value . . . . . . . . . . . Floor and Ceiling . . . . . . . . . . . . . . . . Problem Solving with the Floor Function . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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476 486 492 497 503
508 . . . . . .
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xii
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508 517 523 529 535 539
Excerpt from "Intermediate Algebra" ©2014 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS
17
More Sequences and Series
18
More Inequalities
19
Functional Equations
20
Some Advanced Strategies
17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6
18.1 18.2 18.3 18.4
19.1 19.2 19.3 19.4 19.5
20.1 20.2 20.3 20.4 20.5 20.6 20.7
Algebra of Recursive Sequences Telescoping . . . . . . . . . . . . Sums of Polynomial Series . . . Arithmetico-Geometric Series . Finite Di↵erences . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . .
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544 . . . . . .
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544 552 561 567 571 576
581
Mean Inequality Chain . . . . The Rearrangement Inequality When Formulas Fail . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . .
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Finding Values . . . . . . . . . . . . . Finding Functions with Substitution Separation . . . . . . . . . . . . . . . . Cyclic Functions . . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . .
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581 593 600 606
611 . . . . .
Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . Substitution for Simplification . . . . . Method of Undetermined Coefficients Constructing Polynomials From Roots Common Divisors of Polynomials . . . Symmetric Sums Revisited . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . .
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611 615 619 621 627
631 . . . . . . .
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631 638 644 649 655 658 665
xiii
Copyrighted Material
Excerpt from "Intermediate Algebra" ©2014 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS
References
673
Hints to Selected Problems
674
Index
693
xiv
Copyrighted Material
