Author manuscript, published in "Reliable Computing Journal 7, 1 (2001) 1-15"
PATH PLANNING USING INTERVALS AND GRAPHS
!" #$!%&' !"#$!%#&$' (') *&+,!-. '% */)%01')2 345* *-678'92 :8!%'!- (' ;#-8#,2 !C',-' 4#%$' L!1' (- !92 M# 6< # 1#-5 $4"6#1%= 7)!.) -1# ()# .&&1 !$-(#% &' %!$35# #+ !"#$%!&$-5 ,&!$( !$ ()# *+%,-.# ?%## @ABC= '&1 "&1# !$'&1"-(!&$D/ 0)#
!"#$%&! '()*+,-".$() #/"'!
!% ()# %46%#( &' ()# *+%,-.# .&11#%,&$ !$3 (& '#-%!65#
.&$2341-(!&$ &' ()# &6:#.(= $0!0=
.&$(-!$% -55 .&$2341-(!&$ E#.(&1% '&1 7)!.) ()# &6:#.(
% $&( .&55! # 7!() $#-16< &6%(-.5#%/ 0)# ,-() ,5-$$!$3 ,1&65#" '&1"45-(# !$ ()# *+%,-.# -"&4$(% (& 2$ !$3 - ,-() !$.54 # !$
'1&" ()# %(-1( ,&!$( ! (& ()# 3&-5 ,&!$(
"/ F-$< -,,1&-.)#% (& %&5E# ()!% ,1&65#" -1# 6-%# &$ ()# 4%# &' ,&(#$(!-5 '4$.(!&$%=
!$(1& 4.# 6< G)-(!6 @AHC/ I$ ()# ,&(#$(!-5 2#5 -,,1&-.)= ()# &6%(-.5#% (& 6# -E&! #
hal-00845173, version 1 - 16 Jul 2013
-1# 1#,1#%#$(# 6< - 1#,45%!E# ,&(#$(!-5= -$ ()# 3&-5 !% 1#,1#%#$(# 6< -$ -((1-.(!E# ,&(#$(!-5/ 8..&1 !$3 (& ()# '&1.# 3#$#1-(# 6< ()# %4" &' ()#%# ,&(#$(!-5 2#5 %= ()# &6:#.( !% #9,#.(# (& 1#-.) ?!' ()# "#()&
% $&( %(&, -( -$< 5&.-5 "!$!"4"D !(% 3&-5
.&$2341-(!&$ 7!()&4( .&55! !$3 7!() &6%(-.5#%/ J()#1 -,,1&-.)#% 6-%# &$ ()# %46 !E!%!&$ &' ()# *+%,-.# )-E# -5%& 6##$ .&$%! #1# ?%## @KC= @AC= @KHCD/ 0)#< ,-1(!(!&$ ()# *+%,-.# 7!() - %#( &' $&$&E#15-,,!$3 6&9#%/ 0)&%# ()-( )-E# 6##$ ,1&E# (& 6# !$%! # = ()&%# ()-( )-E# 6##$ ,1&E# (& 6# &4(%! # = -$ ()&%# '&1 7)!.) $&()!$3 )-% 6##$ ,1&E# / 0)# #9!%(!$3 "#()& % 4%# (& #.! # !' - 6&9 !% !$%! # &1 &4(%! # ()# '#-%!65# .&$2341-(!&$ %,-.#
-1# $&( 6-%# &$ !$(#1E-5 -$-5# 6< - E#.(&1 $ (& 6# (4$# / 0)!% -,,1&-.) !% 5!"!(# (& %"-55+ !"#$%!&$-5 ,-() "& #5% ?$0!01 ()# !"#$%!&$ &' $ %)&45 6# %"-55D/ I$ @OC -$ -5%& !$ @APC= ()# "& #5 .)&%#$ '&1 ()# ,-() 7-% - .46!. ,&5"&)
'!
@!(),.-$ -!-$9&"& 0&))+ ('*') AB8C3 ;-D)& "( E'&&"=$) (' =%"$6 (7"! "!#$%&"'! ()&(& *', - $-,"$$ =) %&)6 *', '%, E-(7 E$-!!"!< E,'=$); (' E,'.) (7-( - 7"#7 "& )H%-$ (' " !" / I! J"4D@ )& 2).%1 "1 5)28(% I4 !
!
!
N
!
v3
v2
v8 v6
v1
v7
v4
!"#$% &' ()% "$*+)
v5
v9
*,,-.!*/%0 1!/) /)% +*2!3" -4 !"#$% 5
v2
v8
v6 v1
v4 v7
hal-00845173, version 1 - 16 Jul 2013
v9 !"#$% 6' 7$*+) *,,-.!*/%0 /)% ,#8+*2!3" 7 !, 0!,.-33%./%0 *30 !, * ,#8"$*+) -4
%&'( ')*' ')( +,*-)
./ 0&' 1&00(1'(2" 3' ./ * /45+,*-) &6
* -*9.0+ &, /45-*9.0+$
!
!! "
./ 2(0&'(2 5:
!"#$" "
" 7)( +,*-) *//&1.*'(2 8.')
+,*-)
3. Algorithms for
nding a feasible path ;&0/.2(, * 1&$.+" ?@A4 5'+0#:-0 (+ 0 . !%%& (&(+( '', -(;%& )#" 9%(-0+%/ !"#$%&' B-" 20. 9(+0 /("%3+%/ %/-%.C6 0%"%
.(*2'(7%/ ;%".(#& (. 2"%.%&+%/ (& D !'% E )#" B+ /("%3+%/C -" 20.4
D# % 30 ;%"+%1 # #)
(. ..#3( +%/ & (&+%-%" $ # ! "%2"%.%&+(&- +0% *(&(*:* &:*!%" #)
hal-00845173, version 1 - 16 Jul 2013
%/-%. !%+9%%& ;%"+(3%. #
&/ #%
&! ' & ! " /%+%. +0% .%+ #) '' ;%"+(3%. #)
$ #! " &% 8) +0% '-#"(+0* ,)-.(!#('"() "%+:"&. FG (':"%F6 +0%& # . *% 3#&&%3+%/ 3#*2#&%&+ #) 4 H+0%"9(.%6 (+ "%+:"&.
,)-.(!#('"()
.:30 +0 +
&/ #! "% + (& +0%
.0#"+%.+ 2 +0 (& +0% -" 204
' # ' #! !
G#" % 30 ;%"+%1 # ! 6 .%+ $ #! " ## $#
! " $#
!"! " $#
$
I%2% +
!"! ! " $ "%+:"& BFG (':"%FCJ $ !"! " $ !"! % G#" % 30 ;%"+%1 # ! $ !"! % &! # 8)
$
9(+0 $ (! " #' $ (! " $
G#" % 30 &%(-0!#". ( #) # (&
!"! #
K&+(' $ #! ! &" ## ) " $ #! !# #"
" #! #
G#" & " ) % & /#9& +# $6 .%'%3+
&%(-0!#" ## #) ## ! .:30 +0 + $ ## ! "
I%+:"& B'# ' #! ' #" ' % % % ' #" ! ' #! (C4
($)*+ ,- .*"/#!0&1 2&/#0+'03$0&
I:& $ #$ !
,)-.(!#('"() " &' $
#% !
"
' #! ' ## ! 9(+0 +0% -" 20 #) G(-:"% L4 M% -%+ $ #! !
$ #& !
" '' $
## !
"
$ #' !
"
$ #( !
+0% 2 +0 '#! ' #" ' #% ' ## ( #" +0% 2 +0 '#! ' #$ ' #& ' ## (4
N
"
$ #) !
" (%
" $' $
#" !
"
,)-.(!#('"() "%+:"&.
!"! #$%&'()*+ ,-./(0$-1.)*2
!" #$%& '($& )* &!" (+,)$-&!. !"#$%&!'"()*/ ,-0"1 -1 (2+" 3/ -% &!" '$)4"56$" +$,$" (15 7*)$ 8"& 910"$%-)1 :-( 91&"$0(+ ;1(+?@=A +$,$" 26-+5% &B) %62'(0-1,%C %(&-%*'29-:3(6"" $ !" "%!# $ %# & # $ ?#-90"" # & ! ' ! # -(. '! ! # ! $ $ +),-(!#('"() "# ! ' ! $ $ %$ #%&'#( $ & & $ !! ! " # !"#!$" !!# ! $ %&' "! " !!# $ %# &!%'
! '! # &
()*!+# %,, *-../$!* /0 & 1 #2-* /.#%)&)&3 % &!4 5% )&3 " 6 7), 8%,*!9
!"#$ %& '($ )$* !#+,-.'(/ !"#$%&!'"()*
4. Example :& #2)* *!+#)/&1 % &!4 #!*# +%*! 4),, .! 5"!*!!' %&' */, !' -*)&3
!"#$%&!'"()*9
0.1
;2! #!*#. $ ,(!!(>+6 ), % *2 & %" !
"
#
$>( '()*$+ (, " 6 %" & 2"*($"+ $." +"/&"*$ >)$. "*2'()*$+ % *2 &6 *2 %" & )+ $." !)*" +1''(%$"2 0; % *2 &' =, # )+
!
-(&' -$ +"$6 $." +& !!"+$ 0(# >.)-. -(*$ )*+ # )+
2"*($"2 0; %#&4 7(% )*+$ *-" % $ & )+ $." +& !!"+$ 0(# $. $ -(*$ )*+ 0($. % *2 &4 ?" +"$ ( !" !"
'
(" ' ?" . 9" $ ! % ') % (" '* % ) " ( " ( !" * % " & !%!& & % *2 & %" (1$+)2" $." (03"-$
%
!
hal-00845173, version 1 - 16 Jul 2013
B( $"+$ ), %(! " (!!" & * % " &
%(!" (!!"& *
% "&
&
+ *2
@848A
+6 >" 1+" $." ,(!!(>)*/ "C1)9 !"*-" !
$ ! ' ( " ( * " & % ' ! ! !" ' % # "
! $ +& %( " ( & * % " & ! ' ! !!" ' ' & %( !!" $ (! & * % $ & ,
, ,
+ *2 ,
+ *2
@84DA
+
B." ! +$ -(*2)$)(* )+ )&'(%$ *$ ,(% $." 2"/"*"% $"2 +)$1 $)(* >."%" $." '()*$+ (!!" " (! " % *2 &
%" !)/*"24 =* +1-.
- +"6 $." $>(
$." ! +$ -(*2)$)(* )+ 1+",1!4 B." !/(%)$.& (, B 0!" 8 2"-)2"+ ), $." -(*
!"#$%&!'"()* *+,$" +-. ," #-+0$! %( E-. + *!+",0$! # ,!": 3! !##1#18
!"#$% 9' :*3!)" *)- 5*+4 "%)%$*+%- 68 !"#$%&!'"()*8 ;4% 1$*7% /.$$%25.)-2 +. +4% 2%*$/4 6.< ! ! " #$" %&! ! '#(" ##&! #
!"#$%& F C6')# ;,
,)2+%*!5 %*)# ,;%'*!#1 ;:
!"#$%&!'"()* & *) $#&" -)2 #3
! "#$%& &'()) & *)! +"(,)( &'"- .$( &') .$(*)(
!"#$%&!'"()+
!
! /')()"! &') 0$*1%& -,
()*" -! %-0'"-,)24
5. Conclusion 5- &' ! 1"1)(6 " 0$-7,%("& $-8!1"0) "11($"0' '"! #))- %!)2 &$ !$+9) &') 1"&' 1+"-- -, 1($#+)*4 5-&)(9"+ "-"+3! !
! %!)2 .$( &') 7(!& & *) - &' ! 0$-&):& &$ 1($9) /')&')( " #$:
$. &') 0$-7,%("& $- !1"0) ! .)"! #+) $( -$&4 ;$*# - -, -&)(9"+ &$$+! "-2 ,("1' &$$+!6 &/$ "+,$( &'*! '"9) #))- 1()!)-&)2 &$ 7-2 " ,$$2 .)"! #+) 1"&' .($* " !&"(& 0$-7,%("& $- &$ " ,$"+ 0$-7,%("& $-4
?WA D)$6
X46
3444 ,+$(5 -$ 67(5 8+$ +$) 97.!,5
@STHU6 @JKS6 HHV8HWW4
:,+1#( /#!-,7 ;%/# +11*%"+/%-$( /- !$
+,'- '. /--012341'. '5 !.46(730 /.308+1+ 4' "8+469 3.: #'.4('0
!"#$%% &'()*
) -'6.($) 9:;9< =>76'56
?@@@+
@" A'5B56 0+) #$%&'() *+) C$&156) D+ $(, 05'E5&) F+) G.H%41 $%1.(.I.%4 6.H.1 &.J$&'E$; 1'.( %4'(3 '(1567$& $($&84'4)
;6013+ '5 4,6 !AAA !.46(.341'.30 #'.56(6.26 '. ;'65E) \+) /%1.I$1'J 2&$(('(3 .= I$('2%&$1.6 16$(4=56 I.75I5(14)
C(3.+B '. " #
!AAA
) ??O?KP) ?@!?)
?N" *.E$(.;W>65E) \+) ]2$1'$& 2&$(('(3S $ J.(^3%6$1'.( 42$J5 $226.$JL)
#'9-=46(+
!AAA C(3.+B '.
) [9O9P) ?@![+
?+ '5 4,6 D+4 !.46(.341'.30 ?'1.4 #'.56(6.26 '. /(41E2130 !.46001>6.26
) C$4L;
'(31.( F+U+) ?@