The binomial theorem: Expanding (x + y)n When trying to expand (x + ...

The  binomial  theorem:  Expanding  (x  +  y)n   When  trying  to  expand  (x  +  y)n  ,  for  values  of  n  that  are  relatively  small  you  can  use  Pascal’s   triangle  which  is:    

1  1                                                                                                                                                                                                                       1  2  1                                                                                                                                                                                                                     1  3  3  1                                                                                                                                                                                                                 1  4  6  4  1                                                                                                                                                                                                               1  5  10  10  5  1                                                                                                                                                                                                       1  6  15  20  15  6  1   This   only   tells   you   the   coefficients   of   x   and   y,   to   find   out   the   powers   of   x   and   y   you   can   follow   a   simple   method   of   having   xn   for   the   first   coefficient   of   1,   followed   by   xn-­‐1y1   and   then   xn-­‐2y2   with   this   pattern   continuing   until   x   has   a   power   of   0   and   y   has   a   power   of   n.   `For   example:   (x  +  y)3  =  x3  +  3x2y  +  3xy2  +  y3   (x  +  y)5  =  x5  +  5x4y  +  10x3y2  +  10x2y3  +  5xy4  +  y5                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       This   becomes   more   difficult   to   do   as   the   value   of   n   increases   causing   pascal’s   triangle   to   increase  in  size  so  we  need  another  method  for  large  values  of  n,  this  is  where  the  binomial   theorem  applies.     The  binomial  theorem  states  that:   (x  +  y)n  =                          xn  +                        xn-­‐1y  +                        xn-­‐2y2  +  .........  +                          yn                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             With                            =          n(n                -­‐      1    ).....(n                          –        (  r        –        1    ))                        =                              ___n!___   1  x  2  x  .....  x  r   r!  (n  –  r)!                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         This  is  represented  by  the  ncr  button  on  your  calculator.  So                    would  be  entered  onto  the   calculator  as  5C2.     Therefore  if  a  question  asked  you  to  find  the  first  3  terms  in  (x  +  y)15  you  would  do:  

                       15                                            14                                              13                                                                                                                                                                                                                                                                                 x  +     x y  +   x y2                                

=  15C0  x15  +  15C1  x14y  +  15C2  x13y2     =  x15  +  15x14y  +  105x13y2