Introduction to Algebra - Exodus Books
Excerpt from "Introduction to Algebra" ©2014 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS
Contents
How to Use This Book
iii
Acknowledgements
vii
1
2
3
Follow the Rules
1
1.1
Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Order of Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
When Does Order Matter? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4
Distribution and Factoring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.5
Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.6
Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.7
Fractional Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
1.8
Radicals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
1.9
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
x Marks the Spot
52
2.1
Expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
2.2
Arithmetic with Expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
2.3
Distribution, Subtraction, and Factoring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.4
Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
2.5
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
One-Variable Linear Equations
77
3.1
Solving Linear Equations I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
3.2
Solving Linear Equations II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
3.3
Word Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88 ix
Copyrighted Material
Excerpt from "Introduction to Algebra" ©2014 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS 3.4? 3.5
4
5
6
7
Linear Equations in Disguise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
More Variables 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
103
Evaluating Multi-Variable Expressions Still More Arithmetic . . . . . . . . . . Distribution and Factoring . . . . . . . Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Multi-Variable Linear Equations 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7
Introduction to Two-Variable Linear Equations Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Word Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . More Linear Equations in Disguise . . . . . . . More Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Basic Ratio Problems . . . . . . . More Challenging Ratio Problems Conversion Factors . . . . . . . . Percent . . . . . . . . . . . . . . . Percentage Problems . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . .
Direct Proportion Inverse Proportion Joint Proportion . Rate Problems . . Summary . . . . .
123 127 131 136 142 145 150
157 . . . . . .
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Proportion 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5
105 106 110 115 118 120
123
Ratios and Percents 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6
93 98
157 161 166 173 176 182
187 . . . . .
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x
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187 190 192 197 204
Excerpt from "Introduction to Algebra" ©2014 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS
8
9
Graphing Lines
208
8.1
The Number Line and the Cartesian Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.2
Introduction to Graphing Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
8.3
Using Slope in Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8.4
Find the Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
8.5
Slope and Intercepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
8.6
Comparing Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
8.7
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Introduction to Inequalities
252
9.1
The Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
9.2
Which Is Greater? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
9.3
Linear Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
9.4
Graphing Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
9.5
Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
9.6
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
10
Quadratic Equations – Part 1
286
10.1
Getting Started With Quadratics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
10.2
Factoring Quadratics I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
10.3
Factoring Quadratics II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
10.4
Sums and Products of Roots of a Quadratic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
10.5? Extensions and Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 10.6
11
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
Special Factorizations
324
11.1
Squares of Binomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
11.2
Di↵erence of Squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
11.3
Sum and Di↵erence of Cubes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
11.4
Rationalizing Denominators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
11.5
Simon’s Favorite Factoring Trick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
11.6
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 xi
Copyrighted Material
Excerpt from "Introduction to Algebra" ©2014 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS
12
Complex Numbers
13
Quadratic Equations – Part 2
14
Graphing Quadratics
15
More Inequalities
16
Functions
12.1 12.2 12.3 12.4
13.1 13.2 13.3 13.4? 13.5
14.1 14.2 14.3
15.1 15.2 15.3 15.4? 15.5
16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7
357
Numbers, Numbers, and More Numbers! Imaginary Numbers . . . . . . . . . . . . . Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Squares of Binomials Revisited Completing the Square . . . . The Quadratic Formula . . . . Applications and Extensions . Summary . . . . . . . . . . . .
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357 358 362 369
372 . . . . .
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372 379 385 392 397
404
Parabolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 Circles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
Quadratic Inequalities . Beyond Quadratics . . The Trivial Inequality . Quadratic Optimization Summary . . . . . . . .
425 . . . . .
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425 431 435 439 446
451
The Machine . . . . . . . . . . . Combining Functions . . . . . . Composition . . . . . . . . . . . Inverse Functions . . . . . . . . Problem Solving with Functions Operations . . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . .
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451 460 464 467 472 477 479
Excerpt from "Introduction to Algebra" ©2014 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS
17
Graphing Functions
18
Polynomials
19
Exponents and Logarithms
20
Special Functions
21
Sequences & Series
17.1 17.2 17.3 17.4
18.1 18.2 18.3
19.1 19.2 19.3 19.4 19.5
20.1 20.2 20.3 20.4 20.5 20.6
21.1 21.2 21.3 21.4 21.5? 21.6
484
Basics . . . . . . . . . . . . . Transformations . . . . . . . Inverse Functions Revisited . Summary . . . . . . . . . . .
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484 491 502 506
512
Addition and Subtraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
Exponential Functions Show Me the Money . Interest–ing Problems What is a Logarithm? Summary . . . . . . .
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525 532 540 545 553
558
Radicals . . . . . . . . . . . . Absolute Value . . . . . . . . Floor and Ceiling . . . . . . . Rational Functions . . . . . . Piecewise Defined Functions Summary . . . . . . . . . . .
Arithmetic Sequences Arithmetic Series . . . Geometric Sequences Geometric Series . . . Telescoping . . . . . . Summary . . . . . . .
. . . . .
525
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558 562 569 573 578 584
589 . . . . . .
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590 594 602 605 617 621 xiii
Copyrighted Material
Excerpt from "Introduction to Algebra" ©2014 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS
22
22.1 22.2 22.3 22.4
Special Manipulations Raising Equations to Powers Self-similarity . . . . . . . . . Symmetry . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . .
628
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628 631 635 638
Hints to Selected Problems
643
Index
653
xiv
Copyrighted Material
Contents
How to Use This Book
iii
Acknowledgements
vii
1
2
3
Follow the Rules
1
1.1
Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Order of Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
When Does Order Matter? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4
Distribution and Factoring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.5
Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.6
Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.7
Fractional Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
1.8
Radicals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
1.9
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
x Marks the Spot
52
2.1
Expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
2.2
Arithmetic with Expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
2.3
Distribution, Subtraction, and Factoring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.4
Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
2.5
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
One-Variable Linear Equations
77
3.1
Solving Linear Equations I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
3.2
Solving Linear Equations II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
3.3
Word Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88 ix
Copyrighted Material
Excerpt from "Introduction to Algebra" ©2014 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS 3.4? 3.5
4
5
6
7
Linear Equations in Disguise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
More Variables 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
103
Evaluating Multi-Variable Expressions Still More Arithmetic . . . . . . . . . . Distribution and Factoring . . . . . . . Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Multi-Variable Linear Equations 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7
Introduction to Two-Variable Linear Equations Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Word Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . More Linear Equations in Disguise . . . . . . . More Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Basic Ratio Problems . . . . . . . More Challenging Ratio Problems Conversion Factors . . . . . . . . Percent . . . . . . . . . . . . . . . Percentage Problems . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . .
Direct Proportion Inverse Proportion Joint Proportion . Rate Problems . . Summary . . . . .
123 127 131 136 142 145 150
157 . . . . . .
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Proportion 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5
105 106 110 115 118 120
123
Ratios and Percents 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6
93 98
157 161 166 173 176 182
187 . . . . .
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187 190 192 197 204
Excerpt from "Introduction to Algebra" ©2014 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS
8
9
Graphing Lines
208
8.1
The Number Line and the Cartesian Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.2
Introduction to Graphing Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
8.3
Using Slope in Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8.4
Find the Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
8.5
Slope and Intercepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
8.6
Comparing Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
8.7
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Introduction to Inequalities
252
9.1
The Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
9.2
Which Is Greater? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
9.3
Linear Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
9.4
Graphing Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
9.5
Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
9.6
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
10
Quadratic Equations – Part 1
286
10.1
Getting Started With Quadratics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
10.2
Factoring Quadratics I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
10.3
Factoring Quadratics II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
10.4
Sums and Products of Roots of a Quadratic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
10.5? Extensions and Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 10.6
11
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
Special Factorizations
324
11.1
Squares of Binomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
11.2
Di↵erence of Squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
11.3
Sum and Di↵erence of Cubes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
11.4
Rationalizing Denominators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
11.5
Simon’s Favorite Factoring Trick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
11.6
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 xi
Copyrighted Material
Excerpt from "Introduction to Algebra" ©2014 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS
12
Complex Numbers
13
Quadratic Equations – Part 2
14
Graphing Quadratics
15
More Inequalities
16
Functions
12.1 12.2 12.3 12.4
13.1 13.2 13.3 13.4? 13.5
14.1 14.2 14.3
15.1 15.2 15.3 15.4? 15.5
16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7
357
Numbers, Numbers, and More Numbers! Imaginary Numbers . . . . . . . . . . . . . Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Squares of Binomials Revisited Completing the Square . . . . The Quadratic Formula . . . . Applications and Extensions . Summary . . . . . . . . . . . .
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357 358 362 369
372 . . . . .
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372 379 385 392 397
404
Parabolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 Circles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
Quadratic Inequalities . Beyond Quadratics . . The Trivial Inequality . Quadratic Optimization Summary . . . . . . . .
425 . . . . .
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425 431 435 439 446
451
The Machine . . . . . . . . . . . Combining Functions . . . . . . Composition . . . . . . . . . . . Inverse Functions . . . . . . . . Problem Solving with Functions Operations . . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . .
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451 460 464 467 472 477 479
Excerpt from "Introduction to Algebra" ©2014 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS
17
Graphing Functions
18
Polynomials
19
Exponents and Logarithms
20
Special Functions
21
Sequences & Series
17.1 17.2 17.3 17.4
18.1 18.2 18.3
19.1 19.2 19.3 19.4 19.5
20.1 20.2 20.3 20.4 20.5 20.6
21.1 21.2 21.3 21.4 21.5? 21.6
484
Basics . . . . . . . . . . . . . Transformations . . . . . . . Inverse Functions Revisited . Summary . . . . . . . . . . .
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484 491 502 506
512
Addition and Subtraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
Exponential Functions Show Me the Money . Interest–ing Problems What is a Logarithm? Summary . . . . . . .
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525 532 540 545 553
558
Radicals . . . . . . . . . . . . Absolute Value . . . . . . . . Floor and Ceiling . . . . . . . Rational Functions . . . . . . Piecewise Defined Functions Summary . . . . . . . . . . .
Arithmetic Sequences Arithmetic Series . . . Geometric Sequences Geometric Series . . . Telescoping . . . . . . Summary . . . . . . .
. . . . .
525
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558 562 569 573 578 584
589 . . . . . .
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590 594 602 605 617 621 xiii
Copyrighted Material
Excerpt from "Introduction to Algebra" ©2014 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS
22
22.1 22.2 22.3 22.4
Special Manipulations Raising Equations to Powers Self-similarity . . . . . . . . . Symmetry . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . .
628
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628 631 635 638
Hints to Selected Problems
643
Index
653
xiv
Copyrighted Material
