Introduction to Geometry - Exodus Books
Excerpt from "Introduction to Geometry" ©2014 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS
Contents
How to Use This Book
iii
Acknowledgements
vii
1
2
3
What’s in a Name?
1
1.1
Why Names and Symbols? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Points, Lines, and Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Round and Round . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4
Construction: Copy a Segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.5
The Burden of Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.6
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Angles
13
2.1
What is an Angle? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.2
Measuring Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.3
Straight and Vertical Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.4
Parallel Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.5
Angles in a Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.6
Exterior Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.7
Parallel Lines Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2.8
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Congruent Triangles
49
3.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.2
SSS Congruence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
3.3
SAS Congruence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55 ix
Copyrighted Material
Excerpt from "Introduction to Geometry" ©2014 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8
4
5
6
7
ASA and AAS Congruence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SSA Not-Necessarily Congruence . . . . . . . . . . . . . . . . . Isosceles and Equilateral Triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . Construction: Equilateral Triangle and Perpendicular Bisector Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Perimeter and Area 4.1 4.2 4.3 4.4
Perimeter . . . . . . . . . Area . . . . . . . . . . . . Same Base/Same Altitude Summary . . . . . . . . .
81 . . . .
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Similar Triangles 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7
What is Similarity? . . . . . . . . . . AA Similarity . . . . . . . . . . . . . SAS Similarity . . . . . . . . . . . . SSS Similarity . . . . . . . . . . . . . Using Similarity in Problems . . . . Construction: Angles and Parallels Summary . . . . . . . . . . . . . . .
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99 101 108 113 114 121 124
133
Pythagorean Theorem . . . . . . . . . Two Special Right Triangles . . . . . . Pythagorean Triples . . . . . . . . . . Congruence and Similarity Revisited Heron’s Formula . . . . . . . . . . . . Construction: Perpendicular Lines . Summary . . . . . . . . . . . . . . . .
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Special Parts of a Triangle 7.1 7.2 7.3
81 83 88 92
99
Right Triangles 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5? 6.6 6.7
59 63 65 72 73
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134 140 147 152 156 161 162
170
Bisectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Perpendicular Bisectors of a Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Angle Bisectors of a Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
x
Copyrighted Material
Excerpt from "Introduction to Geometry" ©2014 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS 7.4 7.5 7.6? 7.7 7.8
8
9
Medians . . . . . . . . . Altitudes . . . . . . . . Challenging Problems . Construction: Bisectors Summary . . . . . . . .
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Quadrilaterals 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8? 8.9
Quadrilateral Basics . . Trapezoids . . . . . . . Parallelograms . . . . . Rhombi . . . . . . . . . Rectangles . . . . . . . . Squares . . . . . . . . . If and Only If . . . . . . Quadrilateral Problems Summary . . . . . . . .
206 . . . . . . . . .
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Polygons 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6
Introduction to Polygons . . . . Angles in a Polygon . . . . . . . Polygon Area . . . . . . . . . . . Polygon Problems . . . . . . . . Construction: Regular Polygons Summary . . . . . . . . . . . . .
Geometric Inequalities
11
Circles
11.1 11.2
206 208 215 219 221 224 227 232 236
244
10
10.1 10.2 10.3 10.4
183 188 192 197 199
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Sides and Angles of a Triangle . . . . . . . Pythagoras – Not Just For Right Triangles? The Triangle Inequality . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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244 246 249 254 257 260
266 . . . .
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266 270 274 280
284
Arc Measure, Arc Length, and Circumference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 xi
Copyrighted Material
Excerpt from "Introduction to Geometry" ©2014 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS 11.3 11.4
Funky Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
12
Circles and Angles
13
Power of a Point
14
Three-Dimensional Geometry
15
Curved Surfaces
16
The More Things Change. . .
12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6
13.1 13.2 13.3
14.1 14.2 14.3 14.4 14.5
15.1 15.2 15.3 15.4 15.5
16.1 16.2
304
Inscribed Angles . . . . . . . . . . Angles Inside and Outside Circles Tangents . . . . . . . . . . . . . . . Problems . . . . . . . . . . . . . . Construction: Tangents . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . .
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304 310 316 322 327 330
340
What is Power of a Point? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 Power of a Point Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
Planes . . . . . . . Prisms . . . . . . . Pyramids . . . . . Regular Polyhedra Summary . . . . .
Cylinders Cones . . Spheres . Problems Summary
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356 . . . . .
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356 360 366 370 374
380 . . . . .
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380 385 390 394 402
408
Translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
xii
Copyrighted Material
Excerpt from "Introduction to Geometry" ©2014 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7
Reflections . . . . . . . . . . . Dilation . . . . . . . . . . . . . Changing the Question . . . . Construction: Transformations Summary . . . . . . . . . . . .
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17
Analytic Geometry
18
Introduction to Trigonometry
19
Problem Solving Strategies in Geometry
17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7
18.1 18.2 18.3 18.4
19.1 19.2 19.3 19.4
Trigonometry and Right Triangles Not Just For Right Triangles . . . Law of Sines and Law of Cosines Summary . . . . . . . . . . . . . .
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413 418 422 427 429
435
Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Circles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Basic Analytic Geometry Problems . . . Proofs with Analytic Geometry . . . . . Distance Between a Point and a Line . . Advanced Analytic Geometry Problems Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . .
The Extra Line . . . Assigning Variables Proofs . . . . . . . . Summary . . . . . .
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437 444 446 452 461 466 473
478 . . . .
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478 488 494 500
505 . . . .
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505 510 514 521
Hints to Selected Problems
525
Index
552
xiii
Copyrighted Material
Contents
How to Use This Book
iii
Acknowledgements
vii
1
2
3
What’s in a Name?
1
1.1
Why Names and Symbols? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Points, Lines, and Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Round and Round . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4
Construction: Copy a Segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.5
The Burden of Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.6
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Angles
13
2.1
What is an Angle? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.2
Measuring Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.3
Straight and Vertical Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.4
Parallel Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.5
Angles in a Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.6
Exterior Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.7
Parallel Lines Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2.8
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Congruent Triangles
49
3.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.2
SSS Congruence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
3.3
SAS Congruence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55 ix
Copyrighted Material
Excerpt from "Introduction to Geometry" ©2014 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8
4
5
6
7
ASA and AAS Congruence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SSA Not-Necessarily Congruence . . . . . . . . . . . . . . . . . Isosceles and Equilateral Triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . Construction: Equilateral Triangle and Perpendicular Bisector Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Perimeter and Area 4.1 4.2 4.3 4.4
Perimeter . . . . . . . . . Area . . . . . . . . . . . . Same Base/Same Altitude Summary . . . . . . . . .
81 . . . .
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Similar Triangles 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7
What is Similarity? . . . . . . . . . . AA Similarity . . . . . . . . . . . . . SAS Similarity . . . . . . . . . . . . SSS Similarity . . . . . . . . . . . . . Using Similarity in Problems . . . . Construction: Angles and Parallels Summary . . . . . . . . . . . . . . .
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99 101 108 113 114 121 124
133
Pythagorean Theorem . . . . . . . . . Two Special Right Triangles . . . . . . Pythagorean Triples . . . . . . . . . . Congruence and Similarity Revisited Heron’s Formula . . . . . . . . . . . . Construction: Perpendicular Lines . Summary . . . . . . . . . . . . . . . .
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Special Parts of a Triangle 7.1 7.2 7.3
81 83 88 92
99
Right Triangles 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5? 6.6 6.7
59 63 65 72 73
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134 140 147 152 156 161 162
170
Bisectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Perpendicular Bisectors of a Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Angle Bisectors of a Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
x
Copyrighted Material
Excerpt from "Introduction to Geometry" ©2014 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS 7.4 7.5 7.6? 7.7 7.8
8
9
Medians . . . . . . . . . Altitudes . . . . . . . . Challenging Problems . Construction: Bisectors Summary . . . . . . . .
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Quadrilaterals 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8? 8.9
Quadrilateral Basics . . Trapezoids . . . . . . . Parallelograms . . . . . Rhombi . . . . . . . . . Rectangles . . . . . . . . Squares . . . . . . . . . If and Only If . . . . . . Quadrilateral Problems Summary . . . . . . . .
206 . . . . . . . . .
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Polygons 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6
Introduction to Polygons . . . . Angles in a Polygon . . . . . . . Polygon Area . . . . . . . . . . . Polygon Problems . . . . . . . . Construction: Regular Polygons Summary . . . . . . . . . . . . .
Geometric Inequalities
11
Circles
11.1 11.2
206 208 215 219 221 224 227 232 236
244
10
10.1 10.2 10.3 10.4
183 188 192 197 199
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Sides and Angles of a Triangle . . . . . . . Pythagoras – Not Just For Right Triangles? The Triangle Inequality . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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244 246 249 254 257 260
266 . . . .
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266 270 274 280
284
Arc Measure, Arc Length, and Circumference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 xi
Copyrighted Material
Excerpt from "Introduction to Geometry" ©2014 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS 11.3 11.4
Funky Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
12
Circles and Angles
13
Power of a Point
14
Three-Dimensional Geometry
15
Curved Surfaces
16
The More Things Change. . .
12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6
13.1 13.2 13.3
14.1 14.2 14.3 14.4 14.5
15.1 15.2 15.3 15.4 15.5
16.1 16.2
304
Inscribed Angles . . . . . . . . . . Angles Inside and Outside Circles Tangents . . . . . . . . . . . . . . . Problems . . . . . . . . . . . . . . Construction: Tangents . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . .
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304 310 316 322 327 330
340
What is Power of a Point? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 Power of a Point Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
Planes . . . . . . . Prisms . . . . . . . Pyramids . . . . . Regular Polyhedra Summary . . . . .
Cylinders Cones . . Spheres . Problems Summary
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356 360 366 370 374
380 . . . . .
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380 385 390 394 402
408
Translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
xii
Copyrighted Material
Excerpt from "Introduction to Geometry" ©2014 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7
Reflections . . . . . . . . . . . Dilation . . . . . . . . . . . . . Changing the Question . . . . Construction: Transformations Summary . . . . . . . . . . . .
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17
Analytic Geometry
18
Introduction to Trigonometry
19
Problem Solving Strategies in Geometry
17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7
18.1 18.2 18.3 18.4
19.1 19.2 19.3 19.4
Trigonometry and Right Triangles Not Just For Right Triangles . . . Law of Sines and Law of Cosines Summary . . . . . . . . . . . . . .
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413 418 422 427 429
435
Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Circles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Basic Analytic Geometry Problems . . . Proofs with Analytic Geometry . . . . . Distance Between a Point and a Line . . Advanced Analytic Geometry Problems Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . .
The Extra Line . . . Assigning Variables Proofs . . . . . . . . Summary . . . . . .
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437 444 446 452 461 466 473
478 . . . .
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478 488 494 500
505 . . . .
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505 510 514 521
Hints to Selected Problems
525
Index
552
xiii
Copyrighted Material
