Randomness-efficient Low Degree Tests and Short PCPs via Epsilon-Biased Sets Eli Ben-Sasson
Madhu Sudan
DEAS, Harvard University and LCS, MIT Cambridge, MA
Laboratory for Computer Science Massachussettes Institute of Technology Cambridge, MA
[email protected] [email protected].
Salil Vadhan
Avi Wigderson
Harvard University, Division of Engineering and Applied Sciences, Maxwell Dworkin 337, 33 Oxford Street Cambridge, MA 02138, USA.
Institute for Advanced Study, Princeton and the Hebrew University , Jerusalem. Address: Institute for Advanced Study, School of Math., Einstein Drive, Princeton, NJ 08540.
[email protected].
[email protected] !#"%$ &' ($! ) &'*&,+.-/ &'021,0) 3 ) ) 4 $51,3 3 6879 $:'1,03 ;-/ &&,+#=< -97>-?@A1,2BCD&$51,3 3 68EF 1,03 =79&GB < C EA79@H&,+GI 5BJ$ &'1,LK(! 6J$ &'M.3 !I ) N6POA) $%215QRS1,3 M.&' 4 3 ) 51TU<WVYXUZ2[>]?\ ^ _ ` a bGcd @. ) e 'fhgG($i&'0Gj $! kO>! 8 $ 3 6 &5OAl &m!I ) U?:R!6J &> ?$ &' ($! ) &'F) L1>51T 3 6v&' ) Mo1,3,1,2B &'M. 4 !}.$ ) ~QR! ) &'&,+F P3 &5OqB , J %r R[5u fSN1 ) M.) 3 1T~O~1 6 O>;') QR;11,2B &'M. 4W!}.$ ) PQR! ) &'8&,+?
>CD3 ) 51T ) N6 or s5TuvvB !1,2B &'M.) e51T ) &'~1T v&'0 1,) 5B. &'('k54W0) 1, 5B. ! +#&,;QR $! &, 21,$ &TQR!%2) =2 3 B f.E>o1,21,3 6 ) &,+> B !4 1,2B &'M.) e 5B8 % 3 6&'U1,3 ! 21T ) QR.QG) !OA&,+A54W0) 1, 5B ! B ,1, ~ J' !51T1, ) 2Bk1, A! B ~!&,2+?7>) 1 6 33 !) 6o5!1TI A2!1, 2 &,B !4W~$ &,, 1, $! ) >+#&,~$ &G B J>3 +#&5&,O %3 ) 51T ) N6k 5f gG(&, 5Bi06l%g ,1, 7~79A4NGs5''''G.7~79A4N'Rt't,,RG 7~ 79R[,R,''GD1,2BkvE~EqAO~1TBEq[,'Gs!4N, f gG(&, 5B%) ;21T /06%%g AO~1TB ?7~79mR[,R,''G 1,2B%vE~E A O~1TBEq[,'Gs!4N, f JC?FR'SRTRRS N¡R¡G¢R£F ¤,¥R¦G¤,¥R§? N¡'§'¨ G© £'¤ª«'ªGfgG(&, 5B 0 68) D%f g ¬,1,=7~79A4NGs5''''81,2B1gG3 &R1,P 51T $ 3 3 &5O~4 ABSTRACT
Permission to make digital or hard copies of all or part of this work for personal or classroom use is granted without fee provided that copies are not made or distributed for profit or commercial advantage and that copies bear this notice and the full citation on the first page. To copy otherwise, to republish, to post on servers or to redistribute to lists, requires prior specific permission and/or a fee. STOC’03, June 9–11, 2003, San Diego, California, USA. Copyright 2003 ACM 1-58113-674-9/03/0006 ... 5.00.
9f [f [r ®;¯F°G±2²T³±2´;µ±H¶·/¸F¹ º¹5» ±¼Du PJ1,3 6 ) J&,+9P3 '&, ) M. 1,2B%-/ &'03 M79&'M.3 !I ) N6 q½%¾,¿¿ÀGÁ  Ã',ÄP Å ¾ Â#"#Æ Á=Ç Ã ¿ÈAÉ Â ¾RÊ Ë ,#"nÎ 2 2  f Ur Òkº¹ º u k79&GB ) 1,2Á=BkÇ NÌ= ÍS+#&,¾, Á Mo1T ) &'E>¾Ï &, 6 ¾5¾Ï ¾ È,À Ç,ÐAÑ
Categories and Subject Descriptors
E> &, 6
General Terms
-/ &'021,0) 3 ) ) $51,3 3 679 $:'1,03 %-/ &&,+# CD&$51,3 3 6EF 1,03 ;79&GB -/ &'! N6EF ) 2CD) 51T ) N6EF ) CD&5OqÓv , EF )
Keywords
Ô È Å, o"N Ç "n ¿ Å,F &'03 MÖ&,+9 ) = &5I ) M.) N6 ,& +P1¾,Õ +#($! ) &' &81+n1,M.) 3 6&,+A3 &5O~4NB , o+#($! ) &';21,;0 1 (0Gj $!o&,+%) !I1,M.) 21T ) &'m) 21,B $51'B 'fq×J v&'%21,2BHG ) ~1, :o&' A(1;OA) B v1,'%&,+/) ) '() Mo1T Mo1T ) $51,3LK( ) &' fJ×J &, !J21,2BH ($ $ J) 8B !4 ) ') o1,2B1,21,3 6 e ) .!}.$ ) P A21,P3 5Bk &., 51TJ ) B ) m B ) '&,+% &'021,0) 3 ) ) $51,3 3 6¬$ $:'1,03 &&,+#< -97>-?@ 1,2BM.&, J $ 3 6) !Ol+n1,M.) 3 ) P&,+?! &, 4W$ &, $! ) .$ &GB $51,3 3 5BU3 &$51,3 3 6 1,03 o$ &GB k< C EA79@fN ) ;21,!O>o!IG4 3 &, %1,2B &'M. A 5K() M. P&,+S ($ v1,2B 5B ($ Mq ) ') 2$51, 3 6f/×J( F (3 D 1, 3 1T S &A!I 3 ) $ ) L$ &' ($!4 ) &'?&,+D-97>-?91,2B=C EA79?&,+D1,3 M.&' 4W3 ) 51TS ) e 'f/>1T ?OA) &'M.%021,$:G, &'(2BkMo1T ! ) 1,3nf
1. INTRODUCTION
-/ &'021,0) 3 ) ) $51,3 3 6m79 $:'1,03 o-/ &&,+#k< -97>-?@1T .068&5O1 +#(2B1,M. 1,3R&'0Gj $!?&,+2 (2BG6%) &, ! ) $51,3G$ &'M.( !L $ ) $ 'f E>~ $ A&,+H1%-97>-6 MØ) / A-97>-QR! ) 2! 1J &'021T4 0) 3 ) ) $v1,3 '&, ) MÙ 21T9) 9') QR o1%$ 3 1,) M.5B &, MÚ 1T M. 1,%) ( %1,2B) %') QR &,1,$ 3 .1,$ $ v &1k( &, 5B &&,+>&,+ ~ &, Mf/E>J-97>-QR! ) 2!S) >1,3 3 &5O>5B. &K(! 6; A &&,+
1.1 PCPs
&,1,$ 3 +#&,%1= Mo1,3 3FG(M=0!AÛ=&,+S0) f>W+/ v &, MÜ) JQ'1,3 ) BH ! AM=(?!I ) >1v &&,+ 21T9) 91,$ $ 5B=06; ~QR! ) 2!SOA) &'021,0) 3 ) N6m&''9OA) 3 ) +J $ 3 1,) M.5BU &, MÝ) .&,.Q'1,3 ) B & &&,+A &'(3 B0o1,$ $ 5BOA) U &'021,0) 3 ) N6, 51T ! 21,D 1 6HsT{'[f g ) :G) '3 6i 21T l-97>-Ü$ &' ($! ) &'1T :G&5OAl06&5O +#&,oQR! ) + 6 ) 8M. M=0! ) U) Þßv4W$ &'M.3 ! o3 1,'(21,' f&, !I1,M.3 '> &' ) Mo1,3J-97>-Ú &, Mà&,+%k1,á 1'B*r s5Tuv &5OA 21T% ! !I ) 1-97>-qQR! ) 2!QR! ) + 6 ) 1T ) 1,0) 3 ) N6&,+~1 ') QR 879v+#&, M=(3 1<Wg SEA@? 21TPK(! ) A&'3 6=&,+/0) A&,+L &&,+N?OA) 3 kMo1,) 1,) ) o &'! N6 21T; Ç âT%&,+A &&,+J) &'3 6U&'3 6 &'M.) 1,3 3 6U3 &''! 21,ã1 1'B ) ) &'21,3~ &&,+ 5B &5O* &.$ &' ($!v-97>-¬QR! ) 2! Pz Mo1,:G) oä ) ;QR! ) 2!) &'0 1,) 5BU061&'$ &' ($! ) QRk1T '(M. ;( ) o-/ &'021T4 0) 3 ) ) $! &GBHf?Óv(P & A1,2B &'M. 9) o P$ &' ($! ) &' &,+> =QR! ) 2!5D 1,3 ) $51,0) 3 ) N6 &1,$! (21,3? &&,+~$ $:G) k) ($ 3 51T5fl M.5BG6U ) o ) (21T ) &'¬06B !1,2B &'M.) e ) Mo1,) 21T P&,+L ) P$ &' ($! ) &'Df9&, Mo1,3 3 6oO>% &5O% èJéHê ëDìê íàs'f s'f%î ÄJïmÆ Ã Ã Â ñ>Â;"#Æ Ã," " ¿ Å,"#ÆX9ò%ó ôÃR Ç Ç Ç 2 ¾5¾ÏÇ ¾  ÃRÉv ÍF É*Ǿð ÏJÇ âT~X.Z [ ] \ ^ ¾,_ ¿ ` õ a b ¿ cd õÀ ó #¾ ôÏ ÁW2ÃTöR" Ç ÃkÃ' ¾,¿2Ç Â "Wà ¿ " ¿ÀG#Á."#ÆÊ 2  ¾Ïà ÷!Àn #"nÂÎ W Ç ¿ õ " ¾ à "#Æ~ó 2  ¾5ô¾Ï  øTó #!#" ôÃR Ë Çkð È ¾5¾ÏÇoÕ ¾RÊ Ê ¾,¿ ¿È ð Ç ¿2Ë ð Ã' È "#Æ ¾  Á=Ç%Õ #"#Æ=2 ¾RÊ Ã Ê n #"nÎkÃ,"> Ã Ç ">sT{'[ù P0&TQR>1,2B &'('&'( / 921,!5%úä <Wû@LM.51,/ä<Wû>ZN &'('3 6Mo1,) 1,) ; ) e ;$ &'M.3 !I ) N6&,+Jr sTt5u D&'( J$ &'1, 5Bk1,9 P$ &'M=0) 21T &, ) 1,3$ ! 21T >&,+ -97>-? fkE>!68051T &') () ) QR; 3 1T ) &'% &-97>-? LOA) 1,k QG) B 9 ) M.) 3 1T ) N6o0!NO> . A ) ; &$ 5B ( J1,2B QR! ) 2!.) 1-97>-Ú6 MfUN2B 5BHS) .21,0 18$ &'M.M.&' 0 3 ) !+ 21T? ($=$ &GB ?3 ) A1T? >51T S&,+M.&'S-97>-$ &' ($!4 ) &' &'('D1,J&') 5B&'( J06pJ&'3 BG ) $1,2B8gG(2B1,r sTt5u J&, ; 21Tv ) v) 1B ) H! v 5K() M. J 21, =&'=+#&, w ¾ Ã'# Î È ¾5È Ã Ê %$ &GB /OA) $U1, :G 21T;) + iÿ h) ;$ 3 &' &.1$ &GB !O>&,Bþ= < H@ 1,6k$ &&,B ) 21T &,+ $51,0v &'0 4 1,0) 3 ) ) $51,3 3 6 $ &TQR! 5Bk 51'B ) &'3 6Û;$ &&,B ) 21T P&,+ 2f
) %0 3 ) !+A) &,% &&O> 3 3?+#&'(2B 5BHf.J QR! 3 F!I ) $ &,+;13 &$51,3 3 6¬ 1,03 $ &GB OA) l1') QR ¬$&') $ 8&,+21T1,M.!4 ! &''3 6 ('' !I ) $ .&,+A1-97>-lOA) 3 1T 5B 21T1,M.! ! J1,2BQG) $ 8QR! 1GfØE>) M.&, ) Q'1T . (2BG6&,+ 3 &$51,3 3 6 1,03 $ &GB f EF&%+#&$ (~&'. PMo1,) .21T1,M.! !>&,+F) ! 5G3 !~(S ) $! &'( 3 QR & $51, &,+v0) 21T 6ã$ &GB ~)nf 'flþÝ T 5s c T 5s ;fU1T ) ! 5Bã) ãM.) ) M.) e ) k03 &$:G3 , P 5K() P 21T> J$ &GB J21,~3 ) 51Tà "Wà "LÛà à !#" Î ¾,¿Ç "n À !"n Ê kpv><W['@ Ë ¿ Ã,Â Ï Ç Ã Á n Î ¾,¿¾Ï Ç Ô/¿ ï Í/Ç þ ¿c È ¿ T5s c T 5s Õ #"#Æ VX8Z[ ]?\ ^ _ ` a b cd Õ Æ ÆU à ¿Ê ."N Ç "N ÈÕ #"#ÆÛ ÷!À ÂW Ç ó Ï ¾ Â% ¿ ñ ¿ #"N! Î Á à ¿ ÎXHô'ù ×J( D$ &' ($! ) &'F&,+-97>-?L1,2Bv3 &$51,3 3 6% 1,03 S$ &GB D$ &'M. GQ ) 1;1=B !1,2B &'M.) e51T ) &'k&,+D N3 &5O*B , P &;O>J0 ') 06 $51,3 3 ) =3 &5OÙB , ; ) &'03 MÖ1,3 &'OA) 8 3 1T 5B3 ) 51T ) N6k ) &'03 Mf?N0&, $51, 2 J ) 1,3 '&, ) M ) %') QR &,1,$ 3 .1,$ $ % &1o+#($! ) &'UûU !" !2 1,2Bo1,) M.9 &=B ! ! M.) AOA! !Aûk21,~1;$ ! 1,) k &'! N6. 4 ) 1,3 '&, ) M ) %1.1,2B &'M.) e 5B &$ 5B ( 21T%1,$ $ v ) &,1,$ 3 ) 1+#!OÜ+n1T) ) =1,$! (21,3 3 6 P&, ) ') 21,3D ! ) %+ &'MOA) $. P' !1,3D1T 51&,+/-/ &'! N6 EF ) r R[Ls5TuF21,A QR&'3 QR5BHf N0&, 8
93 (M4NCD(06G4WP(0) +# 3 B3 ) 51T ) N68 or s5Tu>1,2B ?&, ) ') 21,33 &5OUB , ? 9r R[5u T / ) P1,3 '&, ) Mq$&&' NO>&o1,2B &'M &') $ % # & # '!fvN ;3 ) 51T ) N6 5H) J =OA! !oûF< % # )@ (qûF< & # @VÖûF< % # (*& # @fUNU k3 &5O B , 5D) J JOA! !;ûF< % # @J1,, vOA) ;() Q'1T ) 1T =&'3 6G4 &'M.) 1,3S&'0 1,) 5B06) ! &'3 1T ) ûã1T, +,(qso&') &' 3 ) - .% # (/& # /!0f J&, A 21T> A >( v1 1,M.3 J 21,$ J&,+F ) e %K(21'BG1T ) $ ) ¬ 8 ) e &,+ B &'Mo1,) DP)nf 'fÙ&'8&,+; ) e 1 !21 3kvB ( & $&&' ) .NO>&1,2B &'MÜ&') fPpJ&'3 BG ) $81,2BgG(2B1,r sTt5u/( ;-/ &'021,0) 3 ) ) $o! &GB &o &5O* 21TP ; ) e ;&,+? 1,M4 3 = 21,$ =$51,80; 5B ($ 5B &o51T 3 683 ) 51T5D21,M. 3 68ä< 1 !21 Z !E>) P) A) $ &' 1,A &3 &$51,3 3 6B $ &GB1,03 %$ &GB OA! v ! ) %1o (! 4W3 ) 51T%3 &5O>!0&'(2B&,+ 54 X/wNxDy ^ d r [T,u /1,2B 0 P:G&5OA(!A0&'(2B A1T %!I &' ) 1,3D) X/f
1.3 Derandomized Low Degree Tests
3 &'61 !21 @20( L ) ? &&,+) ?&'$ &' ($! ) QR'f/E>!6=1,3 6 ) ) B 51o QR!1,3L ) M. P) ;21,!5D1,2B1,$) QR; ) ') 2$51,%) M4 &TQR M. >< 1,3 0 ) S&'$ &' ($! ) QRT@F&TQR!?!I ) ) %-97>-?S1,2B C EA79 fm>= k 2BH? !61,) k21T ( 1,3AK( ) &'ã&,+vB !4 1,2B &'M.) e ) ) > $) K('OA) $oO>&'(3 Bo&'0GQG) &'( 3 6o3 51'Bo & !I 3 ) $ ) P$ &' ($! ) &' f ; &TQG) B 1, !#"/ 1,M.3 = 21,$ =&,+>51T 3 63 ) 51T ) e +#&,v ;3 &5OÙB , =1,2B3 ) 51T ) N6 fE>; 1,M.3 ; 21,$ =) &,+D ~+#&'3 3 &5OA) ;+#&, M?1,>1,0&TQR'O>P$&&' $ # () +#&, M.3 6=+ &'M !"0( & # ) A$&' + &'M 1, ËNÊ Ã Ç ÈoÇ " 79% f>E> O>1,3 6 % 1,M.%1,$ $ 1,$ %$! ) ! ) &'81,~ v&, ) ') 21,3F 5f E>G( ?O>k( 1 1,M.3 o 21,$ k&,+J ) e 8 1 !21 9Z 1 7:1 ?OA) $ã) 51T 3 63 ) 51Tv) ; 1 !21 ) +/O>;( % 0 J:G&5OA!I 3 ) $ ) J$ &' 4 ($! ) &'.&,+%54W0) 1, 5Bã ! fi×P+v$ &'( '> $21,3 3 ') & &5Om 21T? > 9 ) 3 3 O>&, :GS$ &, $! 3 6)nf 'f? ) 3 3 Nj $! ?+#($!4 ) &'~ 21TP1T v+n1TP+ &'MÜ0 ) 3 ) 51T;$ &'( = 3 ) %&'21T ) $ (3 1T &' 4 ! ) P&,+/54W0) 1, 5B ! &=O>v ( k &.B ) $ ( ~ &' %&5O%f %EPSILON-BIASED &5Oq P' !1,3F021,$:GSETS , &'(2Bk&'54W0) 1, 5B ! P1,2B B ) $ ( ~ ) P5K() Q'1,3 >+#&, M=(3 1T ) &'A) k ! M.~&,+S7>1 6 3 !6!IG4 21,2B !~,1,~1,2Bo3 ) 51TA! &, 4W$ &, $! ) =$ &GB OA) $k3 1 6 1J$ 1,3G &'3 A) =&'( 91,21,3 6 fS&, Mo1,3 B !2) ) &'S1,2B; $ ) 1T M. LOA) 3 31,51TS) ; 9+#(3 3 QR! ) &'DfLi) 3 > &'M.>&,+2 B ) $ ( ) &'! =' !1,3 ) e v &k1T 0) 1T 68P0 3 ) 1,, &'( O> ) $!=&'( 3 QR kF91mÆ Ã, ÃR!"NÂ&,+ !" ) .18&'M.&'M.&, ) M @3 ! I !" > 9&C&, ;OA&,+A! ( A9) NC 6f) SE> ; . &&,@A_ &,+F% (RU) TWNV62@f/N. ) >$51, JO>v1,0( J&,1T ) &'1,2B.O~ ) û J _ +#&,I û J Hih f h !j 7lkl!"å) =$51,3 3 5BU ËNÊ Ã Ç È ) +J1,3 3>&' ) QG) 1,3>&'( ) ! $ &!}.$ ) &,+9 =$21T1,$! ! ) ) $+#($! ) &'&,+ 7i1T 0&'(2B 5B 06." 1 7:1 "{ 1 ! 1 ) k1,0 &'3 ( JQ'1,3 ('fSE>21T>) G+#&,A QR! 6$21T1,$! ! @bV* m s' 13GIn ]po @ < & U@ 1pqm" 1 7:1 f*E> > ! /1T >) ! ) POA 1 7:1irs1 !21 < 1,t 7 V !") AT4W0) 1, 5B2@f9l ) M.J!I1,M.3 J&,+?1, 54W0) 1, 5B. !~) ~1%1,2B &'MÙ !5G+#&,>OA) $ 7$51,o0P1,:R &;0 !IG M. 3 6 Mo1,3 3~B ! ! M.) ) ) $91,2B%!}.$ ) 5f?793 51T 3 6 +#&,91JB !1,2B &'M.) e51T ) &'1,3 ) $51T ) &' ($1,/&'( R$&&' ) J !J1TA1,2B &'M B !+#51T ~ vOA&'3 %( &' Fu P$! (21,3 3 6,&'( S1,21,3 6 ) /&,+2 S /') QR> 3 ) ' 3 6O>51,:R!?'(21T 4 1,< f?N A$51, P&,+F3 ) 51T ) N6= ) G&'( 9 9) 9&'3 6.'(21T 4 1,< 1T+ !5PB1; &=3 ) 'NjA $!M.J&G+#(B ) 2$!$5 1T) &' ) &'A @/2O>1TJv1T&' 0 %1,+n1T) J1,+ &'M 1T}.0 ) 8 9và M ¿ 5f?2N & ;$51, =&,+S ) .+#&,v &,1,3?B , , +2 % v) v&'3 6'(21T 4 1, 5B= &% Nj $!9+#($! ) &'? 21T>1T A+n1T9+ &'MÚ &,1,3B , +2 0( ~O>%$51,Io ) ~OA) 1= 3 ) 'v1,('M. 1T ) &'k &= J 5f 2.
E>k M.) 21,3~21,!&,+Jv1,&,o1,2BUv1,&,r [,TuPB !25B
! R15QRv J A!I 3 ) $ ) P$ &' ($! ) &'A&,+/ ($ ! A&,+? ) e &'3 6F< {T'@P+#&,S!mVhpv><W['@/1,2BB M.&' 1T 5B &5O>!;&,+ $ &' ($! ) &'+#&,8 QR!1,3;1,3 ) $51T ) &' få1,6l&, ! $ &' ($! ) &'9+#&'3 3 &5O>5Br s'2[,G2[ 'GHs ,u G P0 >&,+FOA) $ 215QRv ) e ä< w Z 3 &' xy1 zj1 {TTü @S+#&,PQ'1T ) &'(~ ) 3 ~&,+/$ &'1, { 3| 6ý qGf gG) $ 8) &GB ($! ) &'i&,+;!I 3 ) $ ) 54W0) 1, 5B¬ ! 06*r [,Tu o !1,2BUB ) QR! ) N6&,+J1,3 ) $51T ) &'&,+A o&'0Gj $! , !O K() $:G3 6A 1,03 ) ) ã ) k+#(2B1,M. 1,3P &'3 ) ¬ &, ! ) $51,3 $ &'M.( !9 $ ) $ 'fSE>P ! ) 'SOA! P54W0) 1, 5B. ! >1T P( 5B ) $ 3 (2B ' kB ) $!B !1,2B &'M.) e51T ) &'ã&,+J1,3 '&, ) M.= ($ã1, +n1,?QR! ) 2$51T ) &';&,+2Mo1T ) IvM=(3 ) 3 ) $51T ) &'=1,2B$ &'M.M=() $51T ) &' &, &$ &'3 S+#&,>5K(21,3 ) N6r [,Tu Ð A$ &' ($! ) &'.&,+D1,3 M.&' }4 OA) ) 2B 2B /1,2B &'MØQ'1T ) 1,03 ROA) $=) = ( =215QR~Mo1,6;1, 4 3 ) $51T ) &'8r [,GA['t5u Ð ) 21, &5I ) Mo1,0) 3 ) N6U (3 +#&,kK(21'BG1T ) $ 5K(21T ) &'&TQR!=pv><W['@=r [,Tu Ð 3 51T ) &, 6ãr ,u Ð !I 3 ) $ ) $ &' 4 ($! ) &'A&,+/J1,M. !6.,1,r [,Tu 1,2Bk 3 M. 1T 6o$ &' ($!4 ) &'A&,+97>1 6 3 !6!I 21,2B ! %r [,Tu fÐ N ) S21,!9O>P1'BB &v ) 93 &'3 ) >06.1,3 6 ) %54W0) 1, 5B ! & B !1,2B &'M.) e51T ) &'&,+v3 &5O B , fiEF&1,21T4 3 6 e =&'( B !1,2B &'M.) e51T ) &' HO>; 3 68&'8NO>&1,3 ! 21T ) QR'D0( 5K() Q'1,3 59QG) !OA&') .&,+v54W0) 1, 5Bã ! 9OA) $ãO>B $! ) 0 0 3 &5O%f P6 !7lk~! 21T ( 1,3 3 6') QR ; ) k &17>1 6 3 !6,1, o OA&' %QR! ) $ ~1T v J 3 M. >&,+!"k1,2BoOA&' v5B ' $ &' $!v21,) v&,+9QR $! &, JOA&' B ) H ! $ ;) v) 97 f 1, (M.o7 ) L6 M.M.! ) $~ 3 3 4W:G&5OA 21To ) o) k1'&&GB¬M.51, ( &,+;1 ,1,2
=!I 21, ) &'¬v+#&'3 3 &5OA) o) A) M.3 ) $ ) P) r H[,Tu f ?ê íA:í h[f s'tf L ¾ Â.à ¿ Î 7k! Ì 7 Ç ËNÊ Ã Ç È Ø"#Æ ¿¾ Â Ë Á Ã' âT È.Ç ¾,¿È Å ¿ð Ã' À ¾Ï o Ç Ã," Á.¾,Ç "Lù E>JB !1,2B &'M.) e 5B 1,M.3 P 21,$ >( 5B) o&'( 9 >$51,o0 QG) !O>5BU1,; 3 $! ) 11,2B &'Må5B '8< % # % # (& # @v) o fE>) &') ?&,+QG) !Om) ?$! ) ) $51,3) =&'( S1,21,3 6 ) S&,+2 >3 &5OB , > 5f .OA) 3 3>( . .1,2B1TB$ &'M=o 0) 21T &, ) 1,3>) M.3 ) $51T ) &'U&,+A $ &'2B. ) ' GQ'1,3 (A0&'(2B&' $51,3 3 5B A!I 21,2B !SM.) I ) 3 M.Mo18) 3 M.Mo1o 1 6 v 21T0!NO> QR! 6NO>& ! F&,+QR! ) $ T /+ 1,$! ) &';&,+5B ' F0!NO> % Ml) F &'('3 6 J+ 1,$! ) &'&,+?5B ' A0!NO> Mh) k %$ &'M.3 ! v,1,Df ?ê íA:í K [22.Dê 8 ì 8 2 .?ê íA:í yUóN ù )ô L  V&,B % & b®i1T k51T 3 6U&, &''&'21,3n )nf 'f 1 P % &0Q o 1.qlHOA! P % &0Q o RUV TWV X o w o X GI²³]po % W< ´@ & W< ´@ f.%OA) 3 3L1,3 6k oJ+#&'3 3 &5OA) kQ'1T ) 1, A&,+/NO>&1,2B1TB$ &GB ) &, 6%+n1,$! L & ® o 1,2Bv ! 06 &5O 21TL 951T 3 6&, &''&,4 21,32 3 M. S&,.+ ® G1T P ) 1,3 3 6k1,9'&&GBo1,S A&, &''&'21,3 QR $! &, 9) M.3 ) $ ) 3 6o1T ) ) ;) J1,21,3 6 ) >&,+H A&, ) ') 21,3D
>CD 5f ?ê íA:í ; · ¸ ¹iì ºéH2ë F2ë 92»F º0¼K?ê íA:í y³L  "®k A Co Ê Ã ¿ ËN¾ Â"#Æ ¾ Å ¾,¿ o Ã'A ¾5È ¾ÏoÊ ¾ ö, ¿ Å,"#Æ;¾ 1 7:1 4¾,ð  "#ÆÃ' Æ Ã Ê " A9C ùmÔL" ½E Ê Ã ð !" ¾ Â Õ #"#; Æ 1 1 =1 1 o q sGù ïFÆ ¿Ì 1 P Á Q o 1 4 9s -Â Ï ¾  Ç!¾,Á ) Á® Ì "#Æ ¿ ¾D¿ ÷!À Â; à ¿; SÎ ¾5jÈ ¿ Å ®=3À Ï b V m Á Ì Ï ¾ ¿ 1 P 3 Q o 1pqm: ( © [  Ô/ Ç " ¿; ¾5È ¿ Å L ¾ Â;à ¿ Î È Ç "n Ê!À "n ¾,$¿ ÃY¾,¿ ® Ì ¢¢ Ä Ã Å iZ P 3 Q o)¢¢ q µ 1 1 à 1 1 (US q µ 1 1 à 1 1 Ç(U ]FÆ
2.2 Epsilon-Biased Sets as Linear Codes
¢¢ Å
¢¢ ¢ CD!?(/$ &'M.21T S > QG¢ ) &'(L3 M.Mo1~ &J) DN1,2B1TB"v$ &GBG4
) k &, 68$ &'( ) fogG(&' 1k$ &GB 21,%3 1T 'M.) ) Mo1,3?B ) 4 1,$ 'f?E>~$ &'( ) &,+ ) K(9Óv $ &GB ) v21T S) / > ) M.3 &'0 ! Q'1T ) &'8 21T%) [+ ) v$ 3 &' = &1o$ &GB !O>&,B« ) %M=( 0;+n1T+ &'M 1,6&, !$ &GB !O>&,B'Áf=E>$ &'( ) &,+9 CD) Óv $ &GB ) =21T ~) 9 6 È'&' &'
9&'(2BHfSE>) ~0&'(2B. 1 6 9 21T &'3 6ã1+#!OÜ$ &GB !O>&,B =$51,U0; N &'M.!OA21T$ 3 &' U 8 &81I 5B O>&,I B Ff×J( CD) Óv $ &GB ) U0&'(2B 1 6 1,63 1T ' !&,+ $ &GB !O>&,B o) 1,m54W&, &''&'21,3A$ &GB M=(215QR Mo1,3 3A15QR! 4 1,'=) !v &GB ($!JOA) 1.I 5BQR $! &,5H)nf 'f%M.&'v$ &GB !O>&,B 1T +n1T+ &'M ) o f
3.
&,JP0 3 ) 1,, &'( < 1'BB ) ) QRT@>1,2BÊà®>"° Ó U¹ Ô"Õ/±¼´N¸Ly¼ Ö'¹5» ±¼lû Ê s'fPgG 3 $! % & () +#&, M.3 61T~1,2B &'Mf [fAP$ $ A) +SûF< % @ ûF< & @?VlûF< % ( & @ ûF< R@ E>~&, ) ') 21,3 S ('' 5B06r s5TuO~1,S&'3 6;+#&,9&'M.&'M.&, 4 ) M. +#&,JOA) $ûF< R@>V*G0( A ) P $) K( P' !1,3 ) e &.1T}.v+#($! ) &'P1,~O> 3 3nf9N2B 5BH &, ) $ v 21TJû) J1T}.v) P+#($! ) &'0û × RUV TWV 2û ØFwT< R@HZ û) ~1;&'M.&'M.&, ) Mf?&, &TQR! .1,$ $ 1,$ o &'021,0) 3 ) N6&,+> QG) &'(% ;&' =NO>& +#($! ) &'~) 9 J 1,M.'fS
S6kB !2) ) &'û) ~1T}.J) +/1,2Bo&'3 6o) + > >1,$ $ ?+#&,vÃ'#, Ã,#Â Ç % & fLi21T9) SM.&, ~ ( ) 4 ) k) v 21TJ 1,$ $ 1,$ = &'021,0) 3 ) N68&,+9 %) %1k'&&GB ) Mo1T ~&'; ~Mo1TI ) Mo1,3G1,, M. ?&,+Fû=OA) .1,1T}.>+#($!4 ) &'DfSE>) ~21,~0 o &5OA) r s5TuD06. A+#&'3 3 &5OA) &, Mf èJéHê ëDìê í Gf s'f L Âà Î.ñ #"NÄ ! à Å,Â Ê Ã ¿È à ¿ Î ÏÀG¿ !"n ¾,¿ 3ûhÙÚ3 ¾ ¿ Ê Ì ¿ Ï ÑjÒ>®>Ê °"Ó ¹U¿Ô*ÃR ¾,NÀ"Ç Ç8Õ #"#Æ 2 ¾RÊ Ã Ê #"nÎ 4 2s Û Â Ì "#Æ ¿ ûÆ Ã Ç Ã5Å, Á ¿ " 4 2s jÂ Õ #"#Æ Ç!¾,Á ÃvM ¿ ÏÀG¿ !"n ¾,¿ ù &,v $ ) 1,3S$51, oûU. ^ C ^ C ) ' !% (3 1T &'0 4 1,) 5BHf=&,v &,+9 ) vC $! ) &'8O>=I Ü V ^ C 1,2B+#&, 51, .&,+A1,21,3 6 ) ;1, &$ ) 1T ^ A9OAC ) M=(3 ) 3 ) $51T ) QR=, &'( &,+H$ &'M.A93 C !I > ; &&, S&,+H() N6 f?E>~&'M.&'M.&, ) M.F+ &'M ^C & 1T $ ) 3 6 ;$21T1,$! ! %&,[+ ^C 1,2B =1T}. +#($! ) &'%1T ; =$21T1,$! ! %1,2A9BC ) %1T}.= ) + F)nf 'f% !&,+A+#($! ) &' ÝZ @_ Ý 3`lI^C Rf
9 3 3 1T 'A79&' 4 ! M.) D~k1,á 1'BH Þ%) OA)nJ1,2B¬gG(2B1,r s5Tuv (2B ) 5Bm $51, &, + >*VY[1,2B &5O>5Bm 21To0&, 1,$ $ 1,$ 8 &'021,0) 3 4 ) N6o1,2Bo1,, M. ~1T J21T ( 1,3 3 6.!I 5Bo( ) % J&'( ) ! 1T ) &'l&,+ûDfÚN ) $51, m< >ÚVà['@ 1,, M. &,+%ûUOA) ã o&'M.&'M.&, ) M @_ ) 1,21,3 6 ) ?&,+Lr s5Tu [& >$±¬[~O~1,L ?$ &' 4 ) B ! 5Bk0j6 Þ%) OA)?r ['5uF1,2Bo3 1T !A&'k06ok1,á 1'Bk1,2B.i) RB ! &' r [s!u fÚP3 &'('¬) k) k51,6 &U!I o0&, 81,$ $ 1,$ &'021,0) 3 ) N6i1,2B 1,, M. ) i ! M.o&,+&'( ) !$ &!}4 $ ) '&5OU >$ &!}.$ ) /M.) 'L0>$ &'M.3 !I%G(M=0! L1,2B ) /) ! !1T ) &';) L&,?1,L 1,) ' +#&, O~1TBHfS&'3 3 &5OA) r [s!u O>1'BBo J+#&'3 3 &5OA) k1, (M. ) &'&'8û) &,B !A &Mo1,:RP 1,21,3 6 ) P ) M.3 !5f 3.1 The BLR Affineness Test
â;"ê ãp . º9 2ë ÙGf GfPûU9^ C äA9C Ã, " ! QR= $51,3 1T M=(3 ) 3 ) $51T ) &'8 ÏHÏ ¾ ÂPÃ'# % ^C { «ÇRÇsF³åUÈ å³åU ¾ > s Ì ûF< { Z % @?V <WûF< % @ @ w ù J&, ) $ ? 21TD+#&, >kVl[9 QR! 6J+#($! ) &';ûi^ i%sF s9 !4 ! QR J $51,3 1TvM=(3 ) 3 ) $51T ) &'Df Ñ QR OA j >« ±q[) &'M.;1, 4 3 ) $51T ) &'J&,+91T}. A ) ! ) ) 1;O~1 6k 21TA ! QR A $51,3 1TJM=(3 ) 3 ) $51T ) &'@f W) 8&,21TBq &¬ U 21T1,3 3&'( ) !$ &!}.$ ) &,+o1 M=(3 ) 3 ) $51T ) &' ! QG) oû1T v 51,3FG(M=0! f?( ! M.&, ' 1,, M. %&,+9 ($1,û8OA) ;A9&'M.C &'M.&, ) M @_ ) C w (¬ $51,&,>&'A &;B $! 51, J) 9 &3 S 21,'1 1 {,G 0 $51,( JB &') &8O>&'(3 BãM.51,ã&'( = .B & &,. QR ãK(! 6 o+#($! ) &' &'81,3 3LQ'1,3 ( fApJ&'3 BG ) $1,2BgG(2B1,r sTt5u/&'0 ! QR5Bk 21TJ&' 4 $ &' ($! ) QR 3 6H&'=$51, 5B ($ ; ) e &,+S ; 1,M.3 ; 21,$ b & 1 1 ZG3 &'6 1 Ê1 f &5O .!I 3 ) $ ) . ! OA) $1T 1,3 M.&'A1,~ Mo1,3 3H1,>A9 C A1,2B &'M$ &' ($! ) &'k( 5Bo06r sTt5uH+#&, b V ^ C 1,2B Ê V f &'&' 8 +#&'3 3 &5OA) B !1,2B &'M.) e 5B¬1T}. o 5 21TvB 2B P&' %$&') $ ;&,+91. !D 7;kb^C %OA) 3 3 1,:Rv &0v54W0) 1, 5B2@f Òk°G²Tº2y¼ ëF±H¶» ìR"° ëbÑjÒ>®>"° Ó ¹ Ôo2í s'fP79&&' % '^C () +#&, M.3 61TJ1,2B &'MH1,2B & 7m() 4 +#&, M.3 61TA1,2B &'Mf [fAPS) P
>CDiEF 5 1,$ $ 9) +LûF< % @ ûF< & @?VlûF< % ( & @ ûF< R@ Wo) o51,6m & 21To) +;û¬) k1T}. m+#&,1,b 6 79> 1,$ $ 1,$ . &'021,0) 3 ) N6&,+> .B !1,2B &'M.) e 5B8 ) .s'fE> Mo1,) &, Må&,+A ) ; $! ) &'U &5OA; 21T o$ &'GQR! o1,3 & &'3 B ) +P k .1,$ $ =OA) m) 'm &'021,0) 3 ) N6? ûm) $ 3 &' % &.1T}.'f èJéHê ëDìê Ü í ·9 îïâ;ê ì 2.DëD í ð'"ê 8 Hê D9ì º0¼ñD92» ¼òU ò ÔL[" 7¬I^C Ê Ã ¿ ËNÊ Ã Ç ÈkÇ " Ï ¾ ÂP 4 Ì Ã ¿È û" ^C 5A9C và Ã, #"n Ã,ÂÎ !"n "#Æ Ã,"2  Ã' Ã, "n Ã,"n ù ÄÊ Ç Ç ÀG¿ Á -Ê ÑjÒ>®>°"Ó Ï¹ÀGÔo ¿ ÃR ¾,¿ W2" ÇoÕ #"#ÆÇ 2 ¾Rð Ê Ã ÇJÊ Ç n #"nÎ C w Á=(À &, M.~Gf Gf [;1,> $ ) 1,3H$51, f9E>J0 ~$ &' ($!4 ) &'J&,+954W0) 1, 5B ! %1T ;&,+9&'3 6 &'M.) 1,3L ) e ;) 83 &'> 1,2B fE>G(%O>o215QR 5B ($ 5B 1,2B &'M. % 5K() 5B06 3 ) 51T ) N6 L+ &'MÚ[ 3 &'=> 0) 'B &5OA; & 3 &'>==( ä1,2BGOA) 3 , &5OAA &) 2) N62@f
-/ QG) &'(%1,21,3 6 ) v&,+9 ;3 ) 51T ) N6 v+#&,D ^C &$ 5B806 ) 0&, 8 .1,, M. %&,+AûOA) 1T}.=+#($! ) &' 1,2BU 1,$ $ 1,$ &'021,0) 3 ) N6ã&,+J o .&'¬ûD>) U ! M. &,+? &'( ) !J$ &!}.$ ) J&,+>ûUr s5GF[s!u f~%+#&'3 3 &5OÚ1 ) M.) 3 1T 21T D OA) 81= 3 ) 'PNOA) J) % 2BHf>P~O>%OA) 3 3F &, 3 6 ' k1,$ $ 1,$ o &'021,0) 3 ) N6&,+A oB !1,2B &'M.) e 5B o =( ) 79OA) 3 3H0J!I 5B.) o ! M.S&,+F P &Tj $! ) &'&,+/yû 1 &'o 54W&, &''&'21,3D$ &GB t ® o J ) $! ) &'&,+Sûk &; ) ( % !- 7?@f.P3 6 ) . 54W&, &''&'21,3 ) N63 M.Mo1k[f kOA) 3 3 $ &'M.3 ! P J &&,+NfSJ&5Oi+#&,~ vB !1,) 3 &'( ) !%$ &!}.$ ) &,+9ûDf ?ê íA:í Gf GfoïFÆkÃR W2"Wà 2 à n #"nÎ ÑjÒ>®>"° Ó ¹ Ôo ¾,¿ û2Â Ç Â ð ¿ Å Ç Ã' Ã, Á=À "n ¿ Ã,"n ¾,¿ ¾RÇ Ê Ê ¾Ï s ö÷ [s ( CÄ ØFw Ä û J _ iZ PWû w @ w_ Q o"üû V Ä û J _ Z n -/]p o r ûF< & @?V @_ < & @Wu > ]Fù _ ]Fù úZ wø w _ úZ ýoÆÂ Ì w < % @ RUV TWV N< ÌH< % @ @ w à ¿È PWþ23Ì Q o RUÿ V TWV 1 7:1 ØFw G n ]po þF< & @ ÌH< & @!ù P3 &'('8 = $ &'2B!I ) &'1,0&TQR=) %$ 3 51,!5FO>( J A &$ &'M.3 ! v&'( J1,21,3 6 ) f v²T±H±2´ N±2´v®;¯F°G±2²T° ¶ í E>1,$ $ 1,$ &'021,0) 3 ) N6&,+ ÑjÒ>®>"° Ó ¹ Ôo ) C w (U;'!j PWû w @w_ Q o ~ V P 3 o P $51,3 3G 21T= ® o V ³ _ i `$^ C A) S1,=54W&, &''&'21,3 $ &GB ~&T_.QRQ ! o1,3 21,0! A9C f J) !* O t9û J _ _ ]Fù úZ 1,=1B ) ) 0( ) &'&'8 ® o f N2B 5BH û J _ ) v 51,3S0 $51,( oû $! % $51,3 1T;M=(3 ) 3 ) $51T ) &'D 1,2B G û J V*sJ06.-/1T Q'1, 3
~) B ) N6R & ) ~B ) ) 0( ) &'o) O> 3 3LB !_25_ BHf
N l&,B ! &m &TQR21T s'1,3 6¬ 3 ) B $ &GB ) m21T &,+;3 M.Mo1ã[f U&'0 1,) ) KÂq Mo1TIKû J _ (URfÚ8$ &'$ 3 (2B Mo1TDI 1Fû J _ 1 4 © Â fP=&, 5B51T 3 ) !5>ûU $! ) 8 $51,3 1T M=(3 ) 3 ) $51T ) &'21,%1,, M. %1T%3 51, C w &, M1, (M. Â%V*2s ?o ôLf?
S615QR!1,') % ! M=(;!I ) = &'M.j `l ($ 21T P 3 _2Q 4 6s o KôLfgG&06 () K(B $ &GB ) o21T J &,+S3 M.Mo1.[f G P 3 Q q¬ ( © ³[ ô8+#&, 1,3 3 K^C l V m `9f ) -/1T Q'1, 3
;) B ) N61,R1,) O>'! G _ 9û J vZ P 3 Q o qm9 ( © ³[ ôLR &=9s ,ôqq&,+D() Q'1T ) 1T A&'3 6 &,4 M.) 1,3 S&,+DB , P1TSM.&') +&'3 6 &'M.) 1,3 ?&TQR! !N< //) / >+#&, Mo1,3 Q'1T ) 1,03 T@f N ;QR! ) &'8&,+S ;3 &5OÚB , ; ) k &'03 M O>=$ &' 4 ) B !5O>J1T P') QR o&,1,$ 3 v1,$ $ S &;1%21,) >¨ &,+H+#($! ) &'J<W0û vÌ@ OA! ûÙ !" !Ø1,2; B Ì !Hr /Nu fÚE>+#($! ) &'b Ì 2B A51,$3 ) &.1B , D +.() Q'1T ) 1T %&'3 6 &' M.) 1,3D$51,3 3 5B ) ¿ ¾ Î ¿¾,Á Ã' /OA) $UO> k) ! !.1,1+#($! ) &'U+ &'M !G(/+#&, 13 ) 1,2Bo1&') j ´?# p ÌH< @!< ´R# @?) 9O> 3 3DB !25BHf . P 1 6kû Ã5Å,Â Ç OA) v3 ) %&'3 6 &'M.) 1,.3 ÌH< @S&'I ´=# ) +9ûF< ´# @? V ÌH< @!< ´R# @f W+Sû) P1B , D+o&'3 6 &'M.) 1,3 &'%$51, ! ÌH< @/Vlûy1 T &û1,, =OA) 1,3 3~3 ) &'3 6 &'M.) 1,3 =&'m1,3 3A&') =) !"f E>) 9') QR S ) A &% A3 &5OiB , A >&, ) ') 21,3 3 6o ('' 5B.06 P(0) +# 3 B1,2BgG(2B1,r R[5u f Ð «ÏS± Òk° !2²T°G°.®>"° Ó ¹ Ï9Ò®>"° Ó ³¹ Ô ¦ " Õ±¼´N¸Ly¼ Ö'¹5» ±¼Uû !" !ãº2y¼ ë$##»#¼F°8±2²Tº Ö%# « ° Ìo !r /Nu ¨ í s'fPgG 3 $! % # & # ! () +#&, M.3 61,2B) 2B 2B 3 61TP1, 4 B &'Mf [fAP$ $ A) +Sû1,, A\ OA) k v3 ) %&'3 6 &'M.) 1,.3 ÌH< \ ¦ n @9&' V ÌH< ¦ n @! < % # @f>×P ! OA) v Nj $!5f % # )nf 'f>ûF< % # @? ~ S 21T?OA ? ÌH< \ ¦ n @L) 9K(! ) 5BH) S) 9 B &'A\ 0 6= $ ) 4 + 6 ) P S$51,&') $51,3G 1T ) &';&,+ 93 ) V ¦ n ) -97>-ã$ &' ($! ) &' LN< / @Pl V ÌH< D@ !r /Nu 1,2B ! ÌH< @!< ´'# @?V >LN< /v×#@f %
4.
,& + ? 5f/E>) L3 ) 9&,1,$ 3 ~1, ) '/ &A51,$;3 ) >B , [+ &'3 6 &'M.) 1,32 21T~21,> JMo1TI ) Mo1,31,, M. >OA) û&' f/W+ ! v1T J QR!1,3H&'3 6 &'M.) 1,3 9 21T~215QRPMo1TI ) Mo1,31,, M. OA) 㨠û &'< 1,$ $ &,B ) &1kI 5B8&,B ! ) &,+ !Hr /Nu @>) A 3 $! 5BHf W/) ?&,/21TB &J &5Oã 21TSû=21,?B , : +v) +H1,2B;&'3 6) +2 =1,$ $ ;&'iÃ'#21,) ' % # & # K! "° Ó ¹ oÔ ¦ " í s'fPgG 3 $!« % # '!"& # 7() +#&, M.3 61,2B) 2B 2B 3 61T 1,2B &'Mf [fAPo) vgm\EF 5P1,$ $ k) +=ûl1,, oOA) 3 ) &'3 6 &'M.) 1,.3 ÌH< ¦ n @>1T % # $51,o0A( 5B= & QR! ) + 6o 21TJû) P1,$! (21,3 3 6$ 3 &' v &B , D +2/i) &'021,0) 3 ) N6 sT{'[J) 51'Bi&,+;!I $ ( ) 1,0&TQR 5AO>$&&' # 1T 1,2 B &' Ml) D !q1,2B%1,$ $ F) +2û;1,, DOA) % ?3 ) ?&'3 6 &'%M.) 1,3 ÌH< . ¦ \ @o1Tb # fÜ S ) ' 4W21,2B
4.2 Overview of the Analysis
RQ ! ) $ 9$51,o0~ &'('9&,+L1,9') QG) «N$ &' ) $!6";$ $:GS&' ~3 !+ 4W21,2B=QR! ) $ 1,21,3 &''&'(S &J ~21T ) N6G4W$ $:%QR! ) $ ) 1,CDÓ%-97¬$ &GB 'f gG(&' O>8215QR8121,) &,+%+#($! ) &'ûÙ ! !1,2B Ìo !Hr /Nu ¨ 21TA21, A 1T/51,$;3 !+ ?QR! !«I % # &P0S 9Mo15j&, ) N6QR&, &,+~ Q'1,3 ( $ ) 25B068 3 1,0 3 3 ) &,+~) ) 'G0&, o) ;) =1,21,3 &''&'(; &&' &'(2B&,+A! &, 4W$ &, $! ) &' ) o % J) !1T ) QR%B $ &GB ) ;&,+/CDÓ%-97m$ &GB fSP Mo1T :'1,03 6ROA) J1,2B1TBo3 &5OqB , P 5 ) ~) ~&' ) 03 J &; &5Oi 21T~&' &'(2B=&,+2 ) SB $ &GB ) % 3 ) M.) 21T S1,3 3! &, P) A 3 ) J&'NO>&.Mo1,) ) B 51, fAL) 52 ) P&') 4W3 ) 0) 21T ) J,1,o) 9!IG M. 3 6=O> 3 3 4W$ &' $! 5BHf Ñ QR! 6=NO>&3 !+ 4 21,2BUQR! ) $ =215QRk18$ &'M.M.&' ) 'G0&,5fUE>G( S&'o &'(2B &,+?! &, 4W$ &, $! ) &'8$51,$ &'$ ) Q'1,03 6k6 ) 3 B'3 &'021,3F$ &' ) $!6f gG $ &'2BHS$ &' ) $!6ã1,M.&' o3 ) ) ;+#&, $ 5Bã06 ) ) 4 ! $! ) &' f~N21T ) $ (3 1T53 ) P$51,0%, &'(5B) &3 1, 1,2B =$ &' ) $!61,M.&'o M $51,0B 5B ($ 5B+ &'M 0) Q'1T ) 1T %3 &5O~4NB , ;1,21,3 6 P&,+~r G'Tu f E>1,21,3 6 ) .&,+v&'( kB !1,2B &'M.) e 5B o0 ') 1,M. O~1 61,>+#&,~ J1,2B1TBo3 &5OqB , J 5/O>v! +#&, MhMo15j&, 4 ) N6QR&, ) o &&'0 1,) U1k$ &, $! 5B8+#($! ) &'U0û ×WfJ&5O> QR!5F&'( ,1,) o&,k1,.O> 3 3 4W$ &' $! 5Bm06U+n1T5A ) $ O>&'3 6m$ &' 4 ) B !A3 ) >OA&' B ) $! ) &') ~) k&'( t 4W0) 1, 5Bo !5fSW~) ~M=($ 21T !A 21,k J+#(3 3D&') 4W3 ) v,1,D21,2Bo) 21T ) $ (3 1TA21, &'$ &'1,kB ) 1,M.! !5f*gG&O>$51,&,o&'+#&,k&' &'(2B &,+S! &, 4W$ &, $! ) &'8 &o 3 ) M.) 21T ;1,3 3/! &, fPJ&5O> QR!52O>;$51, R1,) m&'.+ &'M .+n1,$! 21TB $ &GB ) +#&,oCDÓ%-97Ú$ &GB =) B &'&' 21T ,1, H1,2B) J) P:G&5OA 21T Â Ã' &'(2B &,+9Mo15j&, ) N6QR&, ) o ($ $ +#(3 3 68$ &, $! %1,3 3/! Ç &,ð v) +? ;( 4 B ! 3 6 ) ,1,) J1= ( }.$ ) 3 6'&&GB!I 21,2B !~1T ~1,03 > &P &5Oã 21T?1T+ ! &'9 &'(2B%&,+2Mo15j&, ) N6QR&, ) , ?+ 1,$! ) &'&,+2! &, ?B $! 51, BG1,Mo1T ) $51,3 3 6foE>21T;) FO>&'0 1,) 1k+#($! ) &'U0û ×S 21T21, o3 &5O~4NB , . ;OA) UM=($) '!; &'021,0) 3 ) N6¬ 3 ) %( 5B8) &'( vo ;1, 2 B =!IG4 21, ) &' &'! ) ~&,+L %7>1 6 3 !6k,1, f9gG $ ) 2$51,3 3 6GO> ( A ) >$ &' $! ) &'. & &5O¬ 21T~1v1,2B &'MÙ3 ) \ ¦ n OA) kB ) 4 $! ) &'ã+ &'M & # 7Ù< 1,=( 5BU) ã&'( j Ï9Ò®>"° Ó ¹ oÔ ¦ " @%21,'&&GB 1,M.3 ) i &'! ) f gG $ ) 2$51,3 3 6= (A &' ! ã) &'M. Mo1,3 3 N021'Bi ! bêkÿ!" &,+B ) N6 f < E>) :¬&,?+ à1, $ &, &'2B ) o &.&') v1TJOA) $ ;3 &5O~4NB , J+n1,) 3 f @ E> O>OA) 3 3/ &5Oq 21Tv11,2B &'M 3 ) ) P(3 ) :R 3 6 &.215QR 3 1T ') ! $! ) &'OA) .f
4.3
1T o06U &5OA) 21T &'02 1,0) 3 ) N6ã 21To1,6UNO>& 21T ) $ (3 1T?&') D# ( Zæ# 1,2B'# (,|GZæ# &' 3 1,2B) -i) L &'('3 6 A A 51, &') % 21T;1,68o NO>& ($&') ;1T .3 ) :R.1k1,2B &'MÖ5B ' ) . P!I 21,2B ! 1,2B G(? Ñ I 21,2B !A) I ) =CD M.Mo1 [f [1,3 ) f9i Vl1,2B|PVs' %&') P1T ) +n1,$!v1 1,2B &'MÖ5B '=) o o { f&,%&, !Q'1,3 ( v&,+ { 3|,D 1,3 ' 0 1,) $ ($! ( &,+ 1,3 3 &5OA;(v & ) 3 3? 3 1T M &1o1,2B &'M 5B '8S&'0 1,) =1,3 M.&'L S 1,M.S0&'(2BHf J&, = 21T% =1,) 3S &'021,0) 3 ) N6OA) 3 3S0 (01, ) 1,3 3 6 Mo1,3 3 ! 21, A ?&'3 6v 5B &k YF&5Z O*¦ ¦ 21TR vT &'NO>&.¦ 1,%2B &'M 3 ) ¦ \ %¦ n 1,2B \ ¦ ² OA) B ) $!4 ) &' & # ´# 7m1,2B$ &'M.M.&'&, ) ') # 2 &'3 6 &'M.) 1,3 J') QR 06m'û &1,, 1T= ) .&, ) ') mOA) ã&T% QR! OA 3 M.) &'021,0) 3 ) N6 &, :) ãTESTABLE r sTt5u F) v) P 3 1T ) QRCODES 3 68 1,) ' +#&, O~1TB8 & '&+ &'Må1o1,2B &'M. %!}.$ ) 3 &5O~4NB , % &1k3 &$51,3 3 6 1,03 $ &GB 'fSJ! JO>%') QR1=$ &'$ ) 1T M. A&,+L v221,3 (3 P1,2Bk1,&'( 3 ) v&,+L J $ $ 1T 6 ~3 51'B ) = M 3 515QG) %B !1,) 3 A+#&,A J221,3DQR! ) &'Df ×J( F1T ) ~&') F) D ?1,2B1TBvP 5BG4(3 3 !F$ &GB 'f/E>G( O>~QG) !O61 }4W0) ?M. 1,' [ 1,SB $! ) 0) J ~$ &!}.$ ) ?&,+H1 B , ) +2 4WQ'1T ) 1T ?&'3 6 &'M.) 1,]3 \Y^*&TQR!L1>2) /2 3 tB !&,+ ) e ÛGf?v$ &GB _ [ 06o') QG) = v Q'1,3 (21T ) &'&,+ \Y^ &'1,3 3F&') ) ! f>&,A J ) 'J ! ) &,+?21T1,M.! ! O>%'!J$ &'1, 1T 1,2Bã3 ) 51ToB ) 1,$ .!IG ) . $ &GB ) ) % &') QR J ) $! ) &'&,Y+ \Y^h &.1,3 3H3 ) f9E>) ~O~1,~+#&, Mo1,3 3 6B !25B 1,J1=$ &GB %06 ) 5B 3F1,2BgG(2B1,r sT5u fvAOA) 3 3( ~ ) 9 ! M.) &'3 &',62@f/W>) 9$ &'GQR ) & ) :k&,+/ 1,3 21,0!J&,+/ ) P$ &GB ;1,; < +6(isT@W4 (3 ~+ &'M !9)nf 'f;51,$6 M=0&'3/') QR J ; ) $! ) &'&,M+ \Y^ &1o3 ) )
5.
! < B $! ) 05B06U18B , +() Q'1T ) 1T o&'3 6 &'M.) 1,3 @fE>
3 &5OlB , A >1,21,3 6 ) >&,+DP(0) +# 3 B.1,2BogG(2B1,r R[5uH) M.3 ) 21T ) ;$ &GB o) =3 &$51,3 3 6 1,03 .OA) ãK(! 6$ &'M.3 !I ) N6U[ OA! = O>.! +#&, M ) % 21T ( 1,3S&''L)nf 'fk 3 $!=1 1,2B &'MY&') ) !"Y1,2BNO>&81,2B &'M 3 ) '&') &'(' ) 521,2B. P) +F JNO>&&'3 6 &'M.) 1,3 A1,, %&'k v) ! $! ) &') 5fE>! =1T ;NO>&k &'03 M.POA) 8 ) J$ &GB 'fE>; v) %K(21'BG1T ) $J03 &5OA() k v $ &GB ) = ) e ' OA) $k 1, 3 1T &;) GQR! vK(21'BG1T ) $A1T < 1T>0 !@fSE>P 51, &') 9 21T> ! 1T ' 1 !21 3 3 ) fE>. $ &'2B &'03 M ) .3 1T 'k1,3 21,0! ) e 'f?B 51,3HOA) % &'03 M.~&'1TP1; ) M.'f pJ&'3 BG ) $m1,2BãgG(2B1, &5O>5B 21T; . ($51T ) &'U&,+A ?g4W$ &GB &k1Â Ã ¿ÈR¾,Á !v&,+J &'('.Û&') @S1,2B ) 95K(21,3 &'( P03 &$:o3 , X/f9E>G( X V Û ØFw Z5&'3 6F< @ V '!%pv><W['@W4W3 ) 51TJ$ &GB fAE>) P$ &'M.3 ! A % &&,+S&,+/ 3 M.Mo1Gf E> Mo1,) ) &'03 M ) .1,0&TQR.$ &' ($! ) &') % 3 1T 'o1,3 21,0! ) e
5Bã&5O &8 &'3 QR) ) UNO>&B ) + 4
+#! %O~1 6 f=&,v = 1,:R=&,+>$ &'M.3 ! HO> ( QR!6 ) $) K( f CD&&':.1T>1v $ ) 2$A 9&,+D&'( S ) &$ 5B ( 'fLPK(! 6 &iB , K +i() Q'1T ) 1T U&'3 6 &'M.) 1,3 \ w N\ S1,2BU$ $:+#&, &'M.o 5B ! ! M.) 5BQ'1,3 ( i hiNh³×6b! ) +/ J+#&'3 3 &5OA) o5K(21T ) &'&'3 B \ w Q< h,@?J V \ Q< h × @ <W['@ E>J ~ &'3 ( ) &'') QR k06r sTt5uF) 9 &= $ &GB S j\lk Q< h2m,@ jnpo ] Y 06 1k3 &$51,3 3 6B $ &GB1,03 $ &GB &TQR!% 1,3 21,0!6 !fE>) v (3 ) m1 5B ($! ) &'ã&,+P K(! 6$ &'M.3 !I ) N6?0 $51,( o kQ'1,3 ( \lk Q< h,@$51,0B $ &GB 5Bã06U 51'B ) &'3 6m18$ &'1,oG(M=0! &,+AQ'1,3 ( ) .3 &$51,3 3 6UB $ &GB1,03 o$ &GB ? $ &'2B.< 1,2BJ0! !!@ &'3 ( ) &'& H! 5B%06=r sTt5u( L-97>-? f &,J51,$&' ) 03 PO>%OA) &! +#&, M2&'( J$ &GB %') QR J1 -97>-m &&,+/&,+ K2fD<W['@fSNk&, !~O>&,B &'( A$ &GB %) > J ( 4 $51T 5B8?g$ &GB 'Ñ D1, 2B 5B06-97>-i &&,+#v&,+? 1T M. ) Ñ K2fH<W['@?+#&,A1,3 3H&' ) 03 J >&'( >1,2B &'M. 4W!}.$ ) 9 ! +#&, M. fmJ&5O%9) 51'Bã&,+v! +#&, M.) 8 ; N3 ) QG fã3 ) U 3 &5OhB , 5LO> % o-97>-q &&,+A&,+> .$ &, &'2BG4 ) 1T M. Ñ K2fA<W['@fmE>K(! 6U$ &'M.3 !I ) N6U&,+J ) = ) 8$ &'1,5=1,2Bl 03 &5OA(* &m $ &GB U ) e U) 8&, && 3 1T ''J0 $51,( O>8&'3 6 5Bã & $ &GB 81T M. .&,+ ) e [G < +,(lsT@G3 &'9Û r X/L1,2B8 $ = QR 1o&'3 6 &'M.) 1,3? ) e .-97>$51,0 &'3 !1T 5BHflE>Mo1,) m &'03 MÝ) & &5O 21To1, 4 2B ) % P-97>-?9 (3 9) k1%$ &GB J1,2BoB & 9&,9 5B ($ ~ B ) 1,$ =&,+S ($51T 5B8?g4W$ &GB 'fE>) v &'03 M O~1,v&'$ 1,R1,) = &'3 QR5B%06.r sTt5u ' &P3 ('') J) &'( L!I 3 ) $ ) /$ &' ($! ) &' O>~'!/ 9+#&'3 3 &5OA) % &, Mf>< ã &&,+$51,09 $ &' ($! 5B ( ) r sTt5u/1,2BB !1,) 3 ~OA) 3 3F0%') QR ) J221,3DQR! ) &'@f èJéHê ëDìê íYf [tf L ÂÙ ñ #"N! Î Ã Î } "#ÆÂ , " à ¾ Î ¿¾,Á Ã' Ë "n Á A ¾,¿¾Ç "n À !¿ "n Ê ¿ Ï Ã Á nÁ Î ¾¿ Ï ¿ Ì Ã,Â~ ¾ Ã'# Îv"N Ç Ç "WÃÇ Ê ÃR2 ,Å } #" " X8 V }=Z,[>]/\ ^ _ q ç "'` d Ê #" Ç ù L À Â"#ÆÂ Á.¾  "#ƾ5=È Ç¾5È Á Ç Æ Ã ¿ð È Ç Ê "Wà ¿Ç t ¾ v%Mo1,:Rv!}.$ ) J1,2Bk &=+#&$ (P&') 5f CD!s rq01ãT479vÙ&,+;3 , lX/fÙN¬ 81,2B1TBl-97>$ &' ($! ) &'D1i; 51,3/QR! ) 2!JO>=( $ $:G?M.&, ~$ &'M.3 ) $51T 5B1,3 ' 0 1,) $P3 &$51,32$ &' 1,) GB ! ) QR5B + &'MÜ vÓv!4N
S () pP1,879&'3 &, ) . &'03 MÜ&,+Ar 'Tu f
6.
&,+ & ;OA&'3 oB &'Mo1,) '! OA! 1 ! 1HVÚX wNxç ^ w d foE>) !IG ) &'U) +#($! ) &'ãû¬2!" !¬1,2B) ;QG) !O>5B06 < 1,2B(@o1,1,¬ $ &GB ) ã&,+% 1, ) 'M. fl $ $:G 21Tkó ôû8) J) 2B 5B1.3 &5OØB , ;&'3 6 &'M.) 1,3/1, 2Bó # ô%ûy1 z Z 1T ) 2 _ rLf< P$! (21,3 3 6H QR! ) 2!%$&&' &'&,+9 =NO>& ~ &! +#&, M 1T~1,2B &'MG & 15QR%&'1,2B &'Mh0) f @ ×J( !O QR! ) 2!! +#&, M.k21T ó ôQG) 1 1,2B &'M. !}.$ ) 3 &5OÜB , o &,+P $! ) &'ã fE>oG(M=0!;&,+A1, 4 B &'M 0) J 5K() 5B06 ) P v) o &5OÙ 21T=0&, ! +#&, M.5Bo06 $51,k0%B &'POA) 1%1,2B &'M. > ) $ !1,&,+ -Lf'Óv!1,) 3 S&,+ > &&,+#91T B !+#! 5Bk &= J+#(3 3FQR! ) &'Df 1T &'( kMo1,) ã &, M..( ) 1,2B1TB¬B !2) 4 ) &'A&,+9(3 ) 4N-/ &TQR!AN !1,$! ) QRv &&,+?6 M.%<W-?@~1,2B -/ &'021,0) 3 ) ) $51,3 3 679 $:'1,03 v-/ &&,+#;< -97>-?@fSv1,M. 3 6O>%( v&,1T ) &'s K8- ü ¦ },r >H { uH & 1 6o v3 1,'(21,'E m21,A1 >4W &TQR!o&' &'(2Bm &&,+;6 MÝOA) ¬1,2B &'M. GP1, 4 O>! ) e { = &'(2B ~m1,2B*$ &'M.3 ! ý,f gG) M.) 3 1T 3 6 I-97>- },r ÛTu/M.51,L 21,v-97>-i &&,+#JOA) ! +# $!%$ &'M4 3 ! &'(2B ~'G1,2B &'M. y =1,2BkK(! 6o$ &'M.3 !I ) N6 ÛGf E>%$ &' ($! ) &' :R! $5B1,0&TQRJ6 ) 3 B ~ J+#&'3 3 &5OA) f èJéHê ëDìê c í 9+*
62.DëD í H"ê òUòæ¸"ê ãpãp X "ê 9º'NCò ïFÆÂ , Ç " Ç ô ± àà ¿ÈÙÏÀG¿ !"n ¾,¿Ç 1,021,)nC?f2&, &5O%2C?é f2CD QG) DÍ fgGe '5BG6f279 $:G) -L&'3 6 &'M.) 1,3L79&'M.( 1T ) &'~) -L&'3 6 3 &'R1T ) M.) $E>) M.'f épÚ Â È îLyï 21,' J[2s GGs'Ls5'Gs'f r s5Tu=f2Í
9 3 3 1T 'Ó=f79&'! M.) D0È f2k1,á 1'BHf0Þ%) OA)nHf gG(2B1,DfCD) 51T ) N6k ) &TQR!P$21T1,$! ! ) ) $%NO>& À ï à ÃR!"n  Ã,"n ïFÆ ÂÎ%QR&'3nf[G< R@2 sTt,G2s¿2Ç sTt,R¾,D¿JÇ=&T¾,QR¿ M=À ¿50Ï !¾ vÁ s5''G¾,f ¿ ¾ r s's!u=f2
9 3 3 1T 'D×;fpJ&'3 BG ) $DHfgG(2B1,Df %0) 2-97>1,2B&' 4N1, &5I ) Mo1,0) 3 ) N6.4? &5O~1TB ~ ) 'A (3 f2N î À Ä ¾,À Â ¿ Ã' ¾,¿UÍS¾,Á À "n ¿ Å,H['tG< R@9',,4NGsT. È'( s5''GfH-/ 3 ) M.) 21T 6QR! ) &') Â Å "#Æ "#Æ LM Í î21,' P['[54WRGs'D) 3 O~1,(É :R ¾ 'iÈ )¿ $ Ç=&'¾ Ï ) DH[,TÚ4 [' ×J$! &'0!s5'Rf r sT[5u Ñ f2
9 4g 1, &'D-Lfv1T 21GfgG(2B1,DfP3 ' 0 1,) $ 79&' 1,) %g 1T ) +n1,$! ) &'8-/ &'03 M.~49gG( QR!6fGN 21T1T ) &'Df r s5Tu=f2
93 (Mf2CD(06k1,2Bf P(0) +# 3 BHf gG 3 + 4NEF ) ] /'79&, $! ) oOA) P3 ) $51T ) &'~ &J(M.! ) $51,3 -/ &'03 M. f Í îîW S&'3nftJ& f2G221,' JTR&,+9pJ !1,3DN2B 2B Óv) ) 0( ) &' FîLyï 21,' s5T4 s5GFs5'R[f r sT5Su Þf2 ) 5B 3nfgG(2BEÍ 1,D f2é gG&'M.vNM. &TQR M. S &.CD&5O Óv , ;EF f Ú Â ?È À Ç Â Ã! Ç Î Á Dù ¾,¿ ïFÆ ¾ ÂÎkà ¿È ÍS¾,Á À "n ¿ Å.îÎ Ç "N Á=Ç s5'Rf
8.
r s5Tu=×;fpJ&'3 BG ) $DgfpJ&'3 BGO~1, !5H1,2BkÓ=fP&'Df-/ &'! N6 ) .1,2B) A$ &' $! ) &' &3 51T ) .1,2B 1, &5I ) Mo1T ) &'Df 'Ä 21,' JR,JR[54NR,Gf r s5TÍSu;¾,-LÁ fvÀ 1T 2¾,1G¿ fÍSgG¾,(2Á B1,Df2gGMo1,3 3F-97>-?~OA) 3 &5OK(! 6 $ &'M.3 !I ) N6fGN ÍS¾,Á À "WÃ,"n ¾,¿ Ã' ÍS¾,Á ,#"nÎ, < T4W@ sT't54[,Gs'F[,''Gf r s5T,u È'&'21,k1,á 1'BHfgG&'M.×J ) Mo1,3HN21, &5I ) Mo1,0) 3 ) N6 P (3 f ¾,À  ¿ Ã' ¾Ï "#ÆvÄ lÍ 21,' Jt,' 21TJA ) +#&, MÜ) A ) M.! ) $ -/ &', ) &' ÍS¾,Á.Ê ¿ Ã," ¾ Â Ç Ì/É Â ¾RÊ Ã Ê n #"nÎkà ¿ÈÍS¾,Á À "n ¿ Å [ s5T4s5G/s5''Gf r ,,u=fgG) !5Ó=fgG ) 3 Mo1, Ñ I 21,2B !J79&GB f2N À ï à ÃR!"n  Ã,"n ïFÆ ÂÎ,Fs5''GW S&'3H[J&G DfH¿sTÇ ts5T4 sT¾,t'¿['Ç;[¾,f $¿ À ¿5Ï ¾ Á ¾,¿ ¾ r R5u=fgG(2B1,D2gG$! ) 05B06 ;fpJ( (O~1,M.)nf2-/ &'021,0) 3 ) ) $51,3 3 6 79 $:'1,03 -/ &&,+# fHCD $! ( v&, HpP1'B (21T ;gG(M.M.! gG$&&'3D&'879&'M.( 1T ) &'21,3L79&'M.3 !I ) N6f R'SR,'G]¡ ,%¥ ? ª¢R£F+ «T? N¡'§'¨ $ 2¤,§'R¨ T¢5 ¢ T¨¥ £,¡/ j 2ª