Intermediate Counting and Probability - Exodus Books
Excerpt from "Intermediate Counting & Probability" ©2012 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS
Contents
How to Use This Book
iii
Acknowledgements
vii
1
2
Review of Counting & Probability Basics 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . Basic Counting Techniques . . . . . . . . . . Basic Probability Techniques . . . . . . . . . Expected Value . . . . . . . . . . . . . . . . . Pascal’s Triangle and the Binomial Theorem Summation Notation . . . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Sets and Logic 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
Introduction . . . Sets . . . . . . . . Operations on Sets Truth and Logic . Quantifiers . . . . Summary . . . . .
1 2 11 18 20 25 26
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ix
Copyrighted Material
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3
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A Piece of PIE 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PIE With 2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . PIE With 3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . Counting Problems With PIE . . . . . . . . . . . . PIE With Many Properties . . . . . . . . . . . . . Counting Items With More Than 1 of Something Some Harder PIE Problems . . . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Constructive Counting and 1-1 Correspondences 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . Some Basic Problems . . . . . . . . . . . Harder Constructive Counting Problems 1-1 Correspondence Basics . . . . . . . . More Complicated 1-1 Correspondences Clever 1-1 Correspondences . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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The Pigeonhole Principle 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . It’s Just Common Sense! . . . . . . . . . Basic Pigeonhole Problems . . . . . . . More Advanced Pigeonhole Problems Summary . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Constructive Expectation 6.1 6.2 6.3 6.4? 6.5
49 49 54 58 65 68 73 79
118 118 119 122 127
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . Basic Examples . . . . . . . . . . . . . . Summing Expectations Constructively A Coat With Many Patches (Reprise) . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Distributions 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . Basic Distributions . . . . . . . . . . . . . . Distributions With Extra Conditions . . . . More Complicated Distribution Problems Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Mathematical Induction
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Fibonacci Numbers
172
9.1 9.2 9.3 9.4 9.5
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . A Motivating Problem . . . . . . . . . . Some Fibonacci Problems . . . . . . . . A Formula for the Fibonacci Numbers Summary . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Recursion
11
Conditional Probability
10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7
11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6
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172 172 175 183 189
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . Examples of Recursions . . . . . . . . . Linear Recurrences . . . . . . . . . . . . A Hard Recursion Problem . . . . . . . Problems Involving Catalan Numbers Formulas for the Catalan Numbers . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . Basic Examples of Conditional Probability Some Definitions and Notation . . . . . . . Harder Examples . . . . . . . . . . . . . . . Let’s Make a Deal! . . . . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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12
Combinatorial Identities
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Events With States
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Generating Functions
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Graph Theory
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Challenge Problems
12.1 12.2 12.3 12.4
13.1 13.2 13.3 13.4 13.5
14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6? 14.7
15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7
Introduction . Basic Identities More Identities Summary . . .
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243 243 254 261
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Introduction . . . . . . . . . . . . . State Diagrams and Random Walks Events With Infinite States . . . . . Two-player Strategy Games . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . .
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265 266 277 284 294
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Basic examples of Generating Functions . . . . . . . The Binomial Theorem (as a Generating Function) . Distributions (as Generating Functions) . . . . . . . . The Generating Function for Partitions . . . . . . . . The Generating Function for the Fibonacci Numbers Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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298 299 305 307 314 325 327
331
Introduction . . . . . . . . . . . Definitions . . . . . . . . . . . . Basic Properties of Graphs . . . Cycles and Paths . . . . . . . . . Planar Graphs . . . . . . . . . . Eulerian and Hamiltonian Paths Summary . . . . . . . . . . . . .
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References
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Hints to Selected Problems
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Index
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Contents
How to Use This Book
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Acknowledgements
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Review of Counting & Probability Basics 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . Basic Counting Techniques . . . . . . . . . . Basic Probability Techniques . . . . . . . . . Expected Value . . . . . . . . . . . . . . . . . Pascal’s Triangle and the Binomial Theorem Summation Notation . . . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Sets and Logic 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
Introduction . . . Sets . . . . . . . . Operations on Sets Truth and Logic . Quantifiers . . . . Summary . . . . .
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A Piece of PIE 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PIE With 2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . PIE With 3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . Counting Problems With PIE . . . . . . . . . . . . PIE With Many Properties . . . . . . . . . . . . . Counting Items With More Than 1 of Something Some Harder PIE Problems . . . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Constructive Counting and 1-1 Correspondences 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . Some Basic Problems . . . . . . . . . . . Harder Constructive Counting Problems 1-1 Correspondence Basics . . . . . . . . More Complicated 1-1 Correspondences Clever 1-1 Correspondences . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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The Pigeonhole Principle 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . It’s Just Common Sense! . . . . . . . . . Basic Pigeonhole Problems . . . . . . . More Advanced Pigeonhole Problems Summary . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Constructive Expectation 6.1 6.2 6.3 6.4? 6.5
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . Basic Examples . . . . . . . . . . . . . . Summing Expectations Constructively A Coat With Many Patches (Reprise) . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Distributions 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . Basic Distributions . . . . . . . . . . . . . . Distributions With Extra Conditions . . . . More Complicated Distribution Problems Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Fibonacci Numbers
172
9.1 9.2 9.3 9.4 9.5
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . A Motivating Problem . . . . . . . . . . Some Fibonacci Problems . . . . . . . . A Formula for the Fibonacci Numbers Summary . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Recursion
11
Conditional Probability
10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7
11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6
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172 172 175 183 189
192
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . Examples of Recursions . . . . . . . . . Linear Recurrences . . . . . . . . . . . . A Hard Recursion Problem . . . . . . . Problems Involving Catalan Numbers Formulas for the Catalan Numbers . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . Basic Examples of Conditional Probability Some Definitions and Notation . . . . . . . Harder Examples . . . . . . . . . . . . . . . Let’s Make a Deal! . . . . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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192 193 200 204 206 216 222
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227 227 230 232 238 241
xi
Copyrighted Material
Excerpt from "Intermediate Counting & Probability" ©2012 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS
12
Combinatorial Identities
13
Events With States
14
Generating Functions
15
Graph Theory
16
Challenge Problems
12.1 12.2 12.3 12.4
13.1 13.2 13.3 13.4 13.5
14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6? 14.7
15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7
Introduction . Basic Identities More Identities Summary . . .
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243 243 254 261
265
Introduction . . . . . . . . . . . . . State Diagrams and Random Walks Events With Infinite States . . . . . Two-player Strategy Games . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . .
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265 266 277 284 294
298
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Basic examples of Generating Functions . . . . . . . The Binomial Theorem (as a Generating Function) . Distributions (as Generating Functions) . . . . . . . . The Generating Function for Partitions . . . . . . . . The Generating Function for the Fibonacci Numbers Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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298 299 305 307 314 325 327
331
Introduction . . . . . . . . . . . Definitions . . . . . . . . . . . . Basic Properties of Graphs . . . Cycles and Paths . . . . . . . . . Planar Graphs . . . . . . . . . . Eulerian and Hamiltonian Paths Summary . . . . . . . . . . . . .
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331 332 334 342 349 354 360
363
xii
Copyrighted Material
Excerpt from "Intermediate Counting & Probability" ©2012 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS
References
366
Hints to Selected Problems
367
Index
383
xiii
Copyrighted Material
