Introduction to Counting and Probability 2nd edition - Exodus Books
Excerpt from "Introduction to Counting & Probability" ©2013 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS
Contents
How to Use This Book
iii
Acknowledgements
vii
1
2
3
Counting Is Arithmetic 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . Counting Lists of Numbers . . . . . . . . Counting with Addition and Subtraction Counting Multiple Events . . . . . . . . Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. 1 . 2 . 6 . 13 . 19 . 21
Basic Counting Techniques 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
Introduction . . . . . . . . Casework . . . . . . . . . . Complementary Counting Constructive Counting . . Counting with Restrictions Summary . . . . . . . . . .
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Correcting for Overcounting 3.1 3.2 3.3
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Permutations with Repeated Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Counting Pairs of Items . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ix
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3.4 3.5
4
5
6 7
8
Counting with Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Committees and Combinations 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
Introduction . . . . . . . . . . . Committee Forming . . . . . . . How to Compute Combinations Our First Combinatorial Identity Summary . . . . . . . . . . . . .
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More With Combinations 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
Introduction . . . . . . . . . . . Paths on a Grid . . . . . . . . . . More Committee-type Problems Distinguishability . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . .
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Some Harder Counting Problems 6.1 6.2 6.3
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Basic Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . Equally Likely Outcomes . . . . . . . . . . . . Counting Techniques in Probability Problems Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Basic Probability Techniques 8.1 8.2 8.3
81 81 84 88 92
97
Introduction to Probability 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5
65 65 69 72 76
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123
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Probability and Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Complementary Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
x
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8.4 8.5 8.6? 8.7
9
Probability and Multiplication . . . Probability with Dependent Events Shooting Stars—a hard problem . . Summary . . . . . . . . . . . . . . .
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Think About It! 9.1 9.2 9.3
145
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10
Geometric Probability
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Expected Value
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Pascal’s Triangle
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The Hockey Stick Identity
10.1 10.2 10.3 10.4
11.1 11.2 11.3 11.4? 11.5
12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6
13.1
130 136 138 141
Introduction . . . . . . . . Probability Using Lengths Probability Using Areas . . Summary . . . . . . . . . .
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Introduction . . . . . . . . . Definition of Expected Value Expected Value Problems . . A Funky Game . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . .
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . Constructing Pascal’s Triangle . . . . . . . . Those Numbers Look Familiar! . . . . . . . An Interesting Combinatorial Identity . . . Another Interesting Combinatorial Identity Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 xi
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13.2 13.3 13.4 13.5 13.6
The Problem . . . . . . A Step-by-Step Solution A Clever Solution . . . The Identity . . . . . . . Summary . . . . . . . .
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14
The Binomial Theorem
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More Challenging Problems
14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6
15.1 15.2
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . A Little Algebra . . . . . . . . . . . . . . . The Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . Applications of the Binomial Theorem . . Using the Binomial Theorem in Identities . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Hints to Selected Problems
231
Index
241
xii
Copyrighted Material
Contents
How to Use This Book
iii
Acknowledgements
vii
1
2
3
Counting Is Arithmetic 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . Counting Lists of Numbers . . . . . . . . Counting with Addition and Subtraction Counting Multiple Events . . . . . . . . Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Basic Counting Techniques 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
Introduction . . . . . . . . Casework . . . . . . . . . . Complementary Counting Constructive Counting . . Counting with Restrictions Summary . . . . . . . . . .
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Correcting for Overcounting 3.1 3.2 3.3
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Permutations with Repeated Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Counting Pairs of Items . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ix
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3.4 3.5
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Counting with Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Committees and Combinations 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
Introduction . . . . . . . . . . . Committee Forming . . . . . . . How to Compute Combinations Our First Combinatorial Identity Summary . . . . . . . . . . . . .
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More With Combinations 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
Introduction . . . . . . . . . . . Paths on a Grid . . . . . . . . . . More Committee-type Problems Distinguishability . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . .
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Some Harder Counting Problems 6.1 6.2 6.3
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Basic Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . Equally Likely Outcomes . . . . . . . . . . . . Counting Techniques in Probability Problems Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Basic Probability Techniques 8.1 8.2 8.3
81 81 84 88 92
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Introduction to Probability 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5
65 65 69 72 76
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Probability and Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Complementary Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
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8.4 8.5 8.6? 8.7
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Probability and Multiplication . . . Probability with Dependent Events Shooting Stars—a hard problem . . Summary . . . . . . . . . . . . . . .
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
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Geometric Probability
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Expected Value
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Pascal’s Triangle
13
The Hockey Stick Identity
10.1 10.2 10.3 10.4
11.1 11.2 11.3 11.4? 11.5
12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6
13.1
130 136 138 141
Introduction . . . . . . . . Probability Using Lengths Probability Using Areas . . Summary . . . . . . . . . .
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175
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . Constructing Pascal’s Triangle . . . . . . . . Those Numbers Look Familiar! . . . . . . . An Interesting Combinatorial Identity . . . Another Interesting Combinatorial Identity Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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175 176 177 180 184 186
191
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 xi
Copyrighted Material
Excerpt from "Introduction to Counting & Probability" ©2013 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS
13.2 13.3 13.4 13.5 13.6
The Problem . . . . . . A Step-by-Step Solution A Clever Solution . . . The Identity . . . . . . . Summary . . . . . . . .
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14
The Binomial Theorem
15
More Challenging Problems
14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6
15.1 15.2
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . A Little Algebra . . . . . . . . . . . . . . . The Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . Applications of the Binomial Theorem . . Using the Binomial Theorem in Identities . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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209 209 211 213 214 216
219
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Hints to Selected Problems
231
Index
241
xii
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