Introduction to Number Theory - Art of Problem Solving
Excerpt from "Introduction to Number Theory" ©2013 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS
Contents
Number Theory
iii
How to Use This Book
v
Acknowledgements
ix
1
2
3
Integers: The Basics 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
1
Introduction . . . . . . . . . . . Making Integers Out of Integers Integer Multiples . . . . . . . . . Divisibility of Integers . . . . . . Divisors . . . . . . . . . . . . . . Using Divisors . . . . . . . . . . Mathematical Symbols . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . .
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Primes and Composites 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
Introduction . . . . . . Primes and Composites Identifying Primes I . . Identifying Primes II . . Summary . . . . . . . .
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Multiples and Divisors 3.1 3.2
1 3 7 11 14 18 20 21
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Common Divisors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25 25 28 31 36
39 39 39 xi
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4
5
6
7
Greatest Common Divisors (GCDs) Common Multiples . . . . . . . . . Remainders . . . . . . . . . . . . . . Multiples, Divisors, and Arithmetic The Euclidean Algorithm . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . .
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Prime Factorization 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . Factor Trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . Factorization and Multiples . . . . . . . . . Factorization and Divisors . . . . . . . . . Rational Numbers and Lowest Terms . . . Prime Factorization and Problem Solving . Relationships Between LCMs and GCDs . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Divisor Problems 5.1 5.2 5.3? 5.4? 5.5
Introduction . . . . . . . . Counting Divisors . . . . . Divisor Counting Problems Divisor Products . . . . . . Summary . . . . . . . . . .
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. 91 . 91 . 94 . 101 . 104
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . Some Special Primes . . . . . . . . . . . . . Factorials, Exponents and Divisibility . . . Perfect, Abundant, and Deficient Numbers Palindromes . . . . . . . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Algebra With Integers 7.1
63 64 68 72 75 78 80 84
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Special Numbers 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6
41 43 46 50 53 60
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
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Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Base Numbers 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6? 8.7
141
Introduction . . . . . . . . . . . . . Counting in Bundles . . . . . . . . . Base Numbers . . . . . . . . . . . . Base Number Digits . . . . . . . . . Converting Integers Between Bases Unusual Base Number Problems . . Summary . . . . . . . . . . . . . . .
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Base Number Arithmetic 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . Base Number Addition . . . . . . . . . Base Number Subtraction . . . . . . . . Base Number Multiplication . . . . . . Base Number Division and Divisibility Summary . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Units Digits
11
Decimals and Fractions
10.1 10.2 10.3 10.4 10.5
11.1 11.2 11.3 11.4 11.5? 11.6
141 141 145 148 150 155 161
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165 165 168 170 172 175
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Introduction . . . . . . . . Units Digits in Arithmetic . Base Number Units Digits Unit Digits Everywhere! . Summary . . . . . . . . . .
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . Terminating Decimals . . . . . . . . . . . Repeating Decimals . . . . . . . . . . . . Converting Decimals to Fractions . . . . Base Numbers and Decimal Equivalents Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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12
Introduction to Modular Arithmetic
13
Divisibility Rules
14
Linear Congruences
15
Number Sense
12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7
13.1 13.2 13.3? 13.4
14.1 14.2 14.3 14.4 14.5
15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6
Introduction . . . . . . . . . . . . . Congruence . . . . . . . . . . . . . . Residues . . . . . . . . . . . . . . . . Addition and Subtraction . . . . . . Multiplication and Exponentiation Patterns and Exploration . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . .
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247
Introduction . . . . . . . . . . . Divisibility Rules . . . . . . . . . Divisibility Rules With Algebra Summary . . . . . . . . . . . . .
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modular Inverses and Simple Linear Congruences Solving Linear Congruences . . . . . . . . . . . . . Systems of Linear Congruences . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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247 247 255 258
261 261 262 267 272 278
283
Introduction . . . . . . . . . . . . Familiar Factors and Divisibility . Algebraic Methods of Arithmetic Useful Forms of Numbers . . . . Simplicity . . . . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . .
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Hints to Selected Problems
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Integers: The Basics 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
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Introduction . . . . . . . . . . . Making Integers Out of Integers Integer Multiples . . . . . . . . . Divisibility of Integers . . . . . . Divisors . . . . . . . . . . . . . . Using Divisors . . . . . . . . . . Mathematical Symbols . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . .
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Primes and Composites 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
Introduction . . . . . . Primes and Composites Identifying Primes I . . Identifying Primes II . . Summary . . . . . . . .
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Multiples and Divisors 3.1 3.2
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Common Divisors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Greatest Common Divisors (GCDs) Common Multiples . . . . . . . . . Remainders . . . . . . . . . . . . . . Multiples, Divisors, and Arithmetic The Euclidean Algorithm . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . .
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Prime Factorization 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . Factor Trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . Factorization and Multiples . . . . . . . . . Factorization and Divisors . . . . . . . . . Rational Numbers and Lowest Terms . . . Prime Factorization and Problem Solving . Relationships Between LCMs and GCDs . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Divisor Problems 5.1 5.2 5.3? 5.4? 5.5
Introduction . . . . . . . . Counting Divisors . . . . . Divisor Counting Problems Divisor Products . . . . . . Summary . . . . . . . . . .
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . Some Special Primes . . . . . . . . . . . . . Factorials, Exponents and Divisibility . . . Perfect, Abundant, and Deficient Numbers Palindromes . . . . . . . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Special Numbers 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6
41 43 46 50 53 60
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
xii
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Excerpt from "Introduction to Number Theory" ©2013 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS 7.2 7.3
8
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Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Base Numbers 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6? 8.7
141
Introduction . . . . . . . . . . . . . Counting in Bundles . . . . . . . . . Base Numbers . . . . . . . . . . . . Base Number Digits . . . . . . . . . Converting Integers Between Bases Unusual Base Number Problems . . Summary . . . . . . . . . . . . . . .
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Base Number Arithmetic 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . Base Number Addition . . . . . . . . . Base Number Subtraction . . . . . . . . Base Number Multiplication . . . . . . Base Number Division and Divisibility Summary . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Units Digits
11
Decimals and Fractions
10.1 10.2 10.3 10.4 10.5
11.1 11.2 11.3 11.4 11.5? 11.6
141 141 145 148 150 155 161
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165 165 168 170 172 175
177
Introduction . . . . . . . . Units Digits in Arithmetic . Base Number Units Digits Unit Digits Everywhere! . Summary . . . . . . . . . .
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . Terminating Decimals . . . . . . . . . . . Repeating Decimals . . . . . . . . . . . . Converting Decimals to Fractions . . . . Base Numbers and Decimal Equivalents Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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195 195 201 205 209 212
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Excerpt from "Introduction to Number Theory" ©2013 AoPS Inc. www.artofproblemsolving.com CONTENTS
12
Introduction to Modular Arithmetic
13
Divisibility Rules
14
Linear Congruences
15
Number Sense
12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7
13.1 13.2 13.3? 13.4
14.1 14.2 14.3 14.4 14.5
15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6
Introduction . . . . . . . . . . . . . Congruence . . . . . . . . . . . . . . Residues . . . . . . . . . . . . . . . . Addition and Subtraction . . . . . . Multiplication and Exponentiation Patterns and Exploration . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . .
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217 218 224 227 232 238 242
247
Introduction . . . . . . . . . . . Divisibility Rules . . . . . . . . . Divisibility Rules With Algebra Summary . . . . . . . . . . . . .
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modular Inverses and Simple Linear Congruences Solving Linear Congruences . . . . . . . . . . . . . Systems of Linear Congruences . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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247 247 255 258
261 261 262 267 272 278
283
Introduction . . . . . . . . . . . . Familiar Factors and Divisibility . Algebraic Methods of Arithmetic Useful Forms of Numbers . . . . Simplicity . . . . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . .
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283 283 287 292 294 297
Hints to Selected Problems
303
Index
311
xiv
Copyrighted Material
