eboek differensiasiereels gr12
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
Differensiasie-reëls
As ons ‘n funksie het wat byvoorbeeld ‘n mag van groter as 2 het, soos in f(x) = x3 + 2x, dan weet ons dat dit redelik moeilik sal gaan om al die hakies uit te vermenigvuldig om met eerste beginsels die eerste afgeleide te kry. As ons terme kry soos y = x + 3x 2 dan grens dit aan die onmoontlike. Daar moet dus ‘n ander manier wees waarop ons nie net die moeiliker funksies kan differensieer nie, maar ook sommer die eenvoudiger funksies makliker kan hanteer. Die goeie nuus is dat daar wel sulke tegnieke bestaan, en ons noem dit die Differensiasiereëls. Ons gaan nou eers na elkeen van hulle kyk, voordat jy gevra gaan word om dit self toe te pas: 1)
As die funksie ’n konstante is, met ander woorde f (x) = k (waar k ‘n reële getal is, en daar geen x’e is nie) dan is f ‘ (x) = 0 met ander woorde die eerste afgeleide is nul Ons sal later terugkom na die redes vir hoekom die eerste afgeleide van ‘n konstante altyd nul sal wees Oorspronklike outeur: Me. E. Mans (Hoërskool Randburg)
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
Voorbeelde a) f(x) = 5
2)
dan is f ‘(x) = 0
b)
f(x) = 1½
dan is f ‘(x) = 0
c)
f(x) = - 3,4
dan is f ‘(x) = 0
As die funksie ‘n veranderlike bevat met ‘n rasionale eksponent, dan geld die volgende: f (x) = axn (waar n ‘n rasionale getal en a ‘n reële getal is) dan is f ‘(x) = anxn – 1 met ander woorde ons vermenigvuldig die eksponent met die koëffisiënt en trek een van die eksponent af
Voorbeelde a) f (x) = 3x²
1 3 x 2
dan is
f ‘(x) = 6x
dan is
f ‘(x) =
3 2 x 2
b)
f (x) =
c)
f (x) = – 4 x – 5
dan is
f ‘(x) = 20x – 6
d)
f (x) = –
3 –4 x 4
dan is
f ‘(x) = 3x – 5
Oorspronklike outeur: Me. E. Mans (Hoërskool Randburg)
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
3)
Die afgeleide van die som en/of verskil van funksies is gelyk aan die som en/of verskil van die individuele afgeleides, met ander woorde Dx[f(x) + g(x)] = f ‘(x) + g‘(x) of
Dx[f(x) – g(x)] = f ‘(x) – g‘(x) Met ander woorde as die funksie bestaan uit ‘n aantal terme wat geskei word deur “+” of “ –“ dan hanteer ons elkeen van hierdie terme individueel
Voorbeelde a) f ( y ) = 3 y 4 + 2 y 2 − 5 y + 7
dan is
b)
1 g ( x) = 4 x − 6 x − π 2
dan is
c)
h(a ) = (a − 3)(2a + 1)
dan is
f ' ( y ) = 12 y 3 + 4 y − 5 y 0 + 7(0) y −1
1 1 41 2 g ( x) = × x − 6 × x − π 2 −1 1 − 34 g ' ( x) = x − 3 x 2 8 1 3 = − x 8 4 x3
h ( a ) = 2a 2 − 5 a − 3 h ' (a ) = 4a − 5
Oorspronklike outeur: Me. E. Mans (Hoërskool Randburg)
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
Oefening Maak gebruik van differensiasiereëls om die volgende afgeleides te bepaal: Differensieer die volgende met betrekking tot x
a)
3
b)
-4
c)
3 4
d)
0
e)
x2
f)
x7
g)
x −1
h)
x −4
i)
j)
3x 4
k)
2x 22
l)
n)
x + x −1
o) 3 x − 2 x + 5
q)
x100 − 3 x 50 + 4 − 2 x −50 + 3 x −100
3
2
m) x + 2 x − x + 4 p)
− x3 + 4x2 +
1 3 x− 2 4
1 x
4
− 3x 3 2
Differensieer die volgende met betrekking tot die relevante veranderlikes 13 2 a) t − 15t + 3 b) z 4 − z −4
c)
1 1 1 − 2+ 3 p p p
d)
3 y 2 − 2 + 5 y −2
Oorspronklike outeur: Me. E. Mans (Hoërskool Randburg)
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
3
2
e)
(b + 2)(b − 4)
f)
c − c +1 c
g)
( 4 q − 3) 2
h)
(2t − 1) 3
i)
t 3 + 3 3 t
j)
1 6 3 8 1 −2 2 a − a + a − 4. 3 3 4 2
l)
a 0,2
3
k)
t
1 2
m) d
π
n)
3 4
x + 2x
1 2
Oorspronklike outeur: Me. E. Mans (Hoërskool Randburg)
Differensiasie-reëls
As ons ‘n funksie het wat byvoorbeeld ‘n mag van groter as 2 het, soos in f(x) = x3 + 2x, dan weet ons dat dit redelik moeilik sal gaan om al die hakies uit te vermenigvuldig om met eerste beginsels die eerste afgeleide te kry. As ons terme kry soos y = x + 3x 2 dan grens dit aan die onmoontlike. Daar moet dus ‘n ander manier wees waarop ons nie net die moeiliker funksies kan differensieer nie, maar ook sommer die eenvoudiger funksies makliker kan hanteer. Die goeie nuus is dat daar wel sulke tegnieke bestaan, en ons noem dit die Differensiasiereëls. Ons gaan nou eers na elkeen van hulle kyk, voordat jy gevra gaan word om dit self toe te pas: 1)
As die funksie ’n konstante is, met ander woorde f (x) = k (waar k ‘n reële getal is, en daar geen x’e is nie) dan is f ‘ (x) = 0 met ander woorde die eerste afgeleide is nul Ons sal later terugkom na die redes vir hoekom die eerste afgeleide van ‘n konstante altyd nul sal wees Oorspronklike outeur: Me. E. Mans (Hoërskool Randburg)
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
Voorbeelde a) f(x) = 5
2)
dan is f ‘(x) = 0
b)
f(x) = 1½
dan is f ‘(x) = 0
c)
f(x) = - 3,4
dan is f ‘(x) = 0
As die funksie ‘n veranderlike bevat met ‘n rasionale eksponent, dan geld die volgende: f (x) = axn (waar n ‘n rasionale getal en a ‘n reële getal is) dan is f ‘(x) = anxn – 1 met ander woorde ons vermenigvuldig die eksponent met die koëffisiënt en trek een van die eksponent af
Voorbeelde a) f (x) = 3x²
1 3 x 2
dan is
f ‘(x) = 6x
dan is
f ‘(x) =
3 2 x 2
b)
f (x) =
c)
f (x) = – 4 x – 5
dan is
f ‘(x) = 20x – 6
d)
f (x) = –
3 –4 x 4
dan is
f ‘(x) = 3x – 5
Oorspronklike outeur: Me. E. Mans (Hoërskool Randburg)
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
3)
Die afgeleide van die som en/of verskil van funksies is gelyk aan die som en/of verskil van die individuele afgeleides, met ander woorde Dx[f(x) + g(x)] = f ‘(x) + g‘(x) of
Dx[f(x) – g(x)] = f ‘(x) – g‘(x) Met ander woorde as die funksie bestaan uit ‘n aantal terme wat geskei word deur “+” of “ –“ dan hanteer ons elkeen van hierdie terme individueel
Voorbeelde a) f ( y ) = 3 y 4 + 2 y 2 − 5 y + 7
dan is
b)
1 g ( x) = 4 x − 6 x − π 2
dan is
c)
h(a ) = (a − 3)(2a + 1)
dan is
f ' ( y ) = 12 y 3 + 4 y − 5 y 0 + 7(0) y −1
1 1 41 2 g ( x) = × x − 6 × x − π 2 −1 1 − 34 g ' ( x) = x − 3 x 2 8 1 3 = − x 8 4 x3
h ( a ) = 2a 2 − 5 a − 3 h ' (a ) = 4a − 5
Oorspronklike outeur: Me. E. Mans (Hoërskool Randburg)
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
Oefening Maak gebruik van differensiasiereëls om die volgende afgeleides te bepaal: Differensieer die volgende met betrekking tot x
a)
3
b)
-4
c)
3 4
d)
0
e)
x2
f)
x7
g)
x −1
h)
x −4
i)
j)
3x 4
k)
2x 22
l)
n)
x + x −1
o) 3 x − 2 x + 5
q)
x100 − 3 x 50 + 4 − 2 x −50 + 3 x −100
3
2
m) x + 2 x − x + 4 p)
− x3 + 4x2 +
1 3 x− 2 4
1 x
4
− 3x 3 2
Differensieer die volgende met betrekking tot die relevante veranderlikes 13 2 a) t − 15t + 3 b) z 4 − z −4
c)
1 1 1 − 2+ 3 p p p
d)
3 y 2 − 2 + 5 y −2
Oorspronklike outeur: Me. E. Mans (Hoërskool Randburg)
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
3
2
e)
(b + 2)(b − 4)
f)
c − c +1 c
g)
( 4 q − 3) 2
h)
(2t − 1) 3
i)
t 3 + 3 3 t
j)
1 6 3 8 1 −2 2 a − a + a − 4. 3 3 4 2
l)
a 0,2
3
k)
t
1 2
m) d
π
n)
3 4
x + 2x
1 2
Oorspronklike outeur: Me. E. Mans (Hoërskool Randburg)
