eboek breuke vir graad5
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
Breuke behels die skryfwyse in wiskunde van gedeeltes van iets, byvoorbeeld die helfte van ‘n koppie koffie, of ‘n roomysbak wat driekwart vol is. Kom ons raak net eers gou vertroud met die konsep: As jou ma ‘n koekie tussen jou en jou boetie / sussie moet verdeel, watter een van die volgende sal die beste verdeling wees:
A
B
Watter deel van die koekie kry julle elkeen as sy die verdeling gemaak het soos in A? Is die koekie soos by A in gelyke dele verdeel? _____________ Hoeveel halwes is daar in ‘n hele? _______________________ Knip die volgende figure uit, of trek dit af op ‘n aparte stuk papier, en vou dan elkeen op die stippellyn. Beantwoord dan ook die volgende vrae oor hierdie figure. a) In hoeveel dele is elke figuur verdeel? _____________________ b)
Wat noem ons elkeen van hierdie dele? ____________________ Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
Vat ‘n stukkie tou en knip dit in twee halwes. Is die twee stukke tou ewe lank? ____________________________ As jy ‘n boksie Smarties oopmaak, en daar is presies 36 Smarties in, hoeveel kinders kan almal ewe veel kry? Doen dit, deur die Smarties in gelyke groepies te deel: As jy dit tussen 4 kinders verdeel het, watter gedeelte van die boksie het elkeen gekry?___________ As jy dit tussen 6 kinders verdeel het, watter gedeelte van die boksie het elkeen gekry?___________ Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
As jy dit tussen 9 kinders verdeel het, watter gedeelte van die boksie het elkeen gekry?___________ As jy dit tussen 3 kinders verdeel het, watter gedeelte van die boksie het elkeen gekry?___________ As jy dit tussen 12 kinders verdeel het, watter gedeelte van die boksie het elkeen gekry?___________ Vat ‘n gewone vel papier en vou dit in agt gelyke dele, en knip dan hierdie blokkies uit. Wat noem ons een van hierdie dele van die oorspronklike figuur? ______ Hoe sal ons twee van hierdie dele saam kan skryf? ___________ Hoeveel agtstes is daar in ‘n hele? __________________ Hoeveel kwarte het twee agtstes volgemaak (toets dit deur die blokkies wat jy uitgeknip het op ‘n ander vel papier, wat jy in vier gelyke dele gevou het, te pas)? ____________ Jy behoort nou redelik vertroud te wees met die feit dat, as ons ‘n hele soos ‘n appel of ‘n sjokolade of ‘n koek, in ‘n sekere gelyke aantal deel, dan is elkeen van hierdie dele gelyk aan een “aantalste” van die hele. Kom ons illustreer dit gou op ‘n wiskundige manier: 1 1) Deel 1 appel in 5: Elke deel is dan een vyfde van die hele, of . 5 2) Deel 1 sjokoladekoek in 10 dele: Elke deel is dan een tiende van 1 die hele, of 10 3) Deel ‘n bottel koeldrank in 3 gelyke dele: Elke deel is dan een 1 derde van die hele, of . 3 Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
4)
Deel ‘n melktert in 6 gelyke dele: Elke deel is dan een sesde van 1 die hele, of . 6
Maar wat gebeur nou as ons meer as 1 hele in ‘n aantal moet deel? Dink byvoorbeeld aan 12 albasters wat tussen 3 maats verdeel moet word. Ons beskou dan die getal 12 as ‘n hele, soos wat ons die hele sjokolade, met al sy blokkies / die boksie Smarties met al die Smarties binne-in, as ‘n hele gesien het. 1 1 Iets waarop jy net moet let, is dat die skryfwyse of byvoorbeeld, 4 3 beteken 1 4 of 1 3 , met ander woorde die hele gedeel deur die aantal verdelings, wat vir ons die breuk gee wat elkeen kry. Dus, as ons die 12 albasters as ‘n hele beskou, en ons moet dit tussen 3 maats verdeel, kry elke maat 12 3, dus 4. 1 Nou moet jy mooi oplet: Elke maat kry 4 albasters, maar dit is van die 3 1 hele, en daar is 3 ’s in ‘n hele. 3 Oefening 1) Hoeveel van die volgende breuke is in ‘n hele? 1 1 a) b) 4 16 1 1 c) d) 8 12 2)
Hoeveel van die volgende breuke is nog nodig om ‘n hele te maak? 1 1 a) b) 3 20 Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
3)
c)
1 12
d)
1 9
e)
3 5
f)
15 16
g)
9 14
h)
17 20
Hoeveel van die hele is in die volgende breuke: 2 3 a) b) 5 7 c)
4 9
d)
3 4
Ons gaan jou nou deur nog ‘n paar oefeninge vat, net on die begrip behoorlik was te lê: 1) As ‘n koek in 4 gelyke dele verdeel is, is dit in kwarte verdeel. 2)
As ‘n warmbrak in ____________ gelyke dele verdeel is, is dit in halwes verdeel.
3)
Daar is _____________ derdes in ‘n hele.
4)
Daar is 10 tiendes in ‘n hele.
5)
Daar is 12 _________________ in ‘n hele.
6)
As ‘n tou in 5 gelyke dele verdeel is, is dit in _________________ verdeel.
Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
7)
As ‘n reghoek in 8 __________________ dele verdeel is, is dit in ____________ verdeel.
8)
Daar is _____________ kwarte in ‘n hele.
9)
Daar is 9 _________________ in ‘n hele.
10) As een sesde van ‘n plank afgesaag word, bly daar nog vyf ________________ oor. Voltooi die volgende oefening deur net die regte woorde (bv. kwarte, vyfde, ensovoorts) in te vul: 1) Die _________________________ van 50c is 25c. 2)
‘n ________________________ van R20 is R5.
3)
Ses lekkers is ‘n _______________________ van 18 lekkers.
4)
Tien albasters is ‘n ______________________ van 80 albasters.
Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
Teller en Noemer Ons weet reeds dat breuke gekry word as ‘n voorwerp of ‘n groep 3 voorwerpe in gelyke dele verdeel word. In ‘n breuk soos word die syfer 8 onder die verdeellyn, d.w.s. die 8, die noemer van die breuk genoem, want dit noem die getal gelyke dele. Die syfer bokant die verdeellyn, d.w.s. die 3, word die teller genoem, omdat dit tel hoeveel van die gelyke dele geneem of ingekleur of mee gewerk word. Bv:
3 Teller 8 Noemer In die voorbeelde toon die noemer aan dat die reghoek in 8 gelyke dele verdeel is en dat daar 8 sirkels is. Die teller dui aan dat 3 van die gelyke dele en 3 van die sirkels ingekleur 3 is, d.w.s. van die sirkels is ingekleur. 8 Oefening 1) Gebruik die eerste getal as teller en die tweede getal as noemer en sê watter breuke gevorm word: a) 5 ; 8 b) 45 ; 100 c) 7 ; 10 d) 2 ; 3 e) 75 ; 100 2)
Sê wat die breuk is: a) 3 dele uit 10 c) 5 dele uit 8
b) d)
25 dele uit 100 3 dele uit 5
Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
Ekwivalente breuke (gelykwaardige breuke) ‘n Aantal voorwerpe of ‘n hele kan op meer as een manier in gelyke dele verdeel word. Dieselfde gedeelte van die versameling voorwerpe of van die hele kan aangedui word deur verskillende breuke wat dieselfde waarde het. Bv. 1 hele ½ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ 1 1 1 1 1 1 /6 /6 /6 /6 /6 /6 1 1 1 1 1 1 1 1 /8 /8 /8 /8 /8 /8 /8 /8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 /10 /10 /10 /10 /10 /10 /10 /10 /10 /10 Die diagram toon hoe ‘n hele in verskillende dele verdeel word. Uit die 1 2 3 4 5 diagram is dit duidelik dat: 2 4 6 8 10 1 2 3 4 5 word ekwivalente breuke genoem omdat 2 4 6 8 10 hulle gelyk is aan mekaar, m.a.w. hulle waardes is dieselfde.
Breuke soos
Om ekwivalente breuke van ‘n genoemde breuk te kry is dit nodig om beide die teller en noemer met dieselfde getal te vermenigvuldig of deel. Voorbeeld: 3 4 12 1. Bepaal waarmee het jy 4 vermenigvuldig om 12 te kry.
As die vraag vra “vul die getal in wat uitgelaat is” by
2. Vermenigvuldig nou die teller (3), ook met 3. Dis reg! 9 3. Die finale antwoord is dus
3 9 4 12
Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
5 20 6 1. Bepaal waarmee het jy die teller, 5, vermenigvuldig om 20 te kry.
Voorbeeld:
Vul die getal in wat weggelaat is by
2. Vermenigvuldig nou die noemer, 6, ook met 4. Dis reg, dis 24 3. Jou finale antwoord is dus
5 20 6 24
i.
4 8 2 Bepaal deur wat jy die noemer, 8, moet deel om 2 te kry.
ii.
Deel nou die teller, 4, ook met 4. Dis reg, dis 1
iii.
Jou finale antwoord is dus
Voorbeeld:
Vul die getal in wat weggelaat is by
4 1 8 2
2 3 Jy kan nou self besluit waarmee jy wil vermenigvuldig, onthou net jy moet die teller en noemer met dieselfde getal vermenigvuldig. 2 4 8 Kom ons kies 4: 3 4 12
Voorbeeld:
Skryf ‘n ekwivalente breuk neer vir
Oefening 1) Vul die getalle in wat weggelaat is en verduidelik hoe jy dit gekry het 1 1 a) b) 2 8 3 6 Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
2)
c)
2 6 3
d)
5 20 9
e)
4 5 25
f)
8 10 5
g)
1 2 8
h)
10 1 20
i)
3 18 4
j)
2 3 9
Skryf een ekwivalente breuk vir die volgende neer: 2 6 a) b) 7 8 c)
4 16
d)
3 5
e)
4 6
f)
2
3 10
Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
Vereenvoudiging van breuke Wanneer jy met breuke werk moet jy altyd jou antwoord in sy eenvoudigste vorm skryf. Dit beteken dat daar geen getal (behalwe 1) in beide die noemer en die teller meer kan indeel nie. Bv.
2 1 3 of of 3 2 4
Om ‘n breuke te vereenvoudig moet jy kyk wat is die grootste getal wat in beide die teller en noemer kan indeel. 10 moet vereenvoudig, sien jy dat 5 die grootste getal 15 10 5 2 is wat in 10 en 15 kan deel: 15 5 3
Bv. As jy die breuk
en daar is dit nou in eenvoudigste vorm, want daar is geen getal (behalwe 1) wat in 2 en 3 kan deel nie. Oefening 1) Dui aan watter van die volgende breuke in eenvoudigste vorm is: 3 6 5 5 4 7 12 ; ; ; ; ; ; ; 4 8 8 10 6 10 16 2)
Dui die eenvoudigste vorm aan van die breuke hierbo wat nie reeds in hul eenvoudigste vorm is nie.
Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
Hoe om breuke met mekaar te vergelyk Jou ma het 2 sjokoladekoeke gebak. Sy het een in 3 gelyke dele verdeel en die ander in 4 gelyke dele. Jy wil graag die grootste stuk koek hê, maar weet nou nie van watter koek jy ‘n stukkie moet vat nie. Kom ons werk dit uit met behulp van prentjies:
Koek 1
Koek 2
Watter koek se dele lyk vir jou die grootste? ____________________ Dis Reg! Die koek wat in 3 dele gesny is se dele is groter as die koek wat in 4 dele gesny is. 1 1 3 4 Ons het 9 ewe lang stukke tou. Ons sny dit op soos in die onderstaande sketse aangedui. Tou A Tou B Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
Tou C Tou D Tou E Tou F Tou G Tou H Tou I 1.
a) b) c) d)
In hoeveel stukkies het ons elke tou gesny? Werk uit watter breukdeel van elke tou een stukkie voorstel. Watter breuk lewer die langste stukkie tou? Watter breuk lewer die kortste stukkie tou?
2.
Gebruik weer die sketse om jou te help om die volgende vrae te beantwoord. By elke vraag sit ‘n (kleiner as) of (groter as) in 1 1 1 1 a) b) 2 4 3 2 1 1 3 2 c) d) 9 8 8 7
Jy sou nou opgelet het, veral by die laaste vraag, dat dinge nogal moeilik kan raak as jy breuke met behulp van só ‘n skets moet vergelyk, ten einde te bepaal watter breuk die grootste is. Daar moet tog ‘n makliker manier wees? Gelukkig is daar! Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
Ons maak die breuke ekwivalente breuke, en dan vergelyk ons slegs die tellers. So eenvoudig soos dit! Kom ons begin by die twee sjokolade koeke:
1 1 en 3 4
Om hierdie twee breuke ekwivalent te kry, moet ons ‘n KGV bepaal. Die kleinste getal waarin “3” en “4” kan indeel is 12, dus: 1 4 1 3 en 34 43
4 3 en 12 12
Dit gee dan:
En dan is dit nou duidelik dat “4” groter is as “3”, en dus is die oorspronklike breuk wat die “4” gelewer het ( 31 ) die grootste van die twee breuke, 1 1 en soos ons gesien het dit moet wees! 3 4 Kom ons vergelyk nou die breuke in netnou se oefening op dieselfde manier: 1 1 1 1 a) b) 3 2 2 4 c)
1 9
1 8
d)
3 8
2 7
Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
Optelling en aftrekking van breuke Die eerste ding waarna jy moet oplet voor jy breuke kan optel of aftrek is dat die breuke waarmee jy werk se noemers dieselfde moet wees. As die noemers dieselfde is, is dit baie maklik, want dan tel jy net die tellers bymekaar of trek die tellers van mekaar af, afhangende van die bewerking wat die som bevat. Bv:
2 3 7 7
=
Bv:
en 2 + 3 = 5
5 7
7 3 8 8
=
Die noemers is dieselfde so tel net jou tellers bymekaar
Jou noemers is dieselfde, so jy trek net jou tellers van mekaar af en 7 – 3 = 4.
4 8
ONTHOU: Jy moet altyd jou antwoord in sy eenvoudigste vorm skryf: Oefening Bereken en skryf die antwoord in sy eenvoudigste vorm 3 4 1 2 a) b) 7 7 5 5 c)
2 3 6 6
d)
5 6 12 12
Die aftrekking van breuke werk presies dieselfde!! Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
1 2
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
‘n Breuk van ‘n getal Ons praat baie keer van ‘n breuk van ‘n getal, soos wanneer ons verwys na die helfte van die wedstryd, of driekwart van ‘n bottel koeldrank. Dit is egter nodig dat jy moet weet hoe om die Wiskunde agter hierdie manier van praat te kan doen, en dit is waarna ons nou gaan kyk. Let op: Die tegniek om met ‘n breukdeel van ‘n getal te werk vereis eintlik dat jy moet weet hoe om breuke te kan vermenigvuldig, maar aangesien jy dit nog nie op hierdie stadium gedoen het nie, gaan ons vir eers net kyk na ‘n meer eenvoudige tegniek. As jy gevra word om die helfte van 20 te bereken, dan skryf jy dit soos 1 volg: van 20 . Nou moet jy net onthou om die 20 met die teller van die 2 breuk te maal (dit is die “1”), en dan te deel met die noemer (dis die “2”). Ons gaan dus kry dat 1 20 20 , en 20 2 10 . Die helfte van 20 is dus 10! Maar dit het jy mos geweet?
3 van 30 ? Jy gaan maar presies dieselfde 5 doen: 3 30 90 , en dan 90 5 18 . Die antwoord is dus 18. Wat egter van iets soos hierdie:
Kom ons doen gou nog een voorbeeld. 4 van 14 . Ons sê 4 14 56 , en 56 7 8 . Maklik né? 7 Doen dan gou die volgende oefening: Bepaal 2 3 1) 2) van 36 van 40 6 4
3)
Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
5 van 48 6
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
Gemengde getalle In die skets is die sirkel in 3 gelyke dele verdeel. Elk van die drie dele is ‘n deel of breuk van die sirkel. So ‘n deel is dus werklike ‘n stuk van die geheel en word ‘n egte breuk genoem. In ‘n egte breuk is die getal dele wat geneem word minder as die getal gelyke dele waarin die hele verdeel is, d.w.s. die teller is kleiner as die noemer. Hierlangsaan is ‘n hele sirkel en nog een derde van ‘n tweede sirkel. Ons het dus 4 altesaam 4 derdes, en ons skryf dit as 3 4 is meer as een hele. Dit is dus meer as ‘n gedeelte van 3 een hele en ons noem so ‘n breuk ‘n onegte breuk. In ‘n onegte breuk is die teller groter as die noemer.
‘n Breuk soos
4 sirkels het, kan ons ook sê dat ons in die 3 1 1 tekening hierbo 1 , d.w.s. 1 sirkels het. 3 3
In plaas van te sê dat ons
1 noem ons ‘n gemengde getal. ‘n Gemengde getal 3 bestaan dus uit ‘n natuurlike getal (heelgetal) en ‘n egte breuk.
‘n Getal soos 1
Daar gaan van jou verwag word om onegte breuke na gemengde getalle toe om te skakel en andersom. Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
Kom ons kyk eers na hoe om gemengde getalle om te skakel na onegte breuke. Voorbeeld: 1)
3 4 Vermenigvuldig die heelgetal met die noemer, in hierdie geval 2 x 4 = 8 2
2)
Tel nou die teller by die antwoord wat jy in (1) gekry het, in hierdie geval 8 + 3 = 11
3)
Maak nou jou antwoord van (2) die teller, en jou noemer is dieselfde as wat die gemengde getal waarmee jy gewerk het se noemer was.
4)
Jou finale antwoord is dus
Kom ons kyk na nog voorbeelde: 2 4 43 12 2 14 3
14 3
5 7 67 6
47 6
42 5 47
11 4
Kom ons kyk nou hoe jy ‘n onegte breuk na ‘n gemengde getal gaan omskakel. 11 Voorbeeld: 3
1)
Onthou dat die strepie tussen die teller en die noemer gedeel () deur beteken. Jy doen dus nou presies wat daar staan: 11 3 = 3 res 2 Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
2)
Die hoeveelheid keer wat die noemer in die teller kan ingaan word die heelgetal vooraan, in hierdie geval 3.
3)
Die res wat oorbly word die teller, en die noemer bly weereens 2 dieselfde as die onegte breuk se noemer, in hierdie geval dus 3
4)
Jou finale antwoord is dus 3
2 3
Kom ons kyk na nog ‘n paar voorbeelde: 23 2 23 7 3 res 2 3 7 7 29 29 5 5
5 res 4
5
4 5
Dit is baie belangrik hier dat jy jou tafels goed ken, anders gaan jy baie onnodige foute maak. Oefening 1) Verander die volgende onegte breuke na gemengde getalle 15 5 a) b) 4 3 c)
25 3
e)
75 6
d)
55 4
Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
2)
Watter gemengde getalle word deur die volgende figure voorgestel a)
b)
Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
1)
Hersieningsoefening Watter breukdeel is ingekleur?
A ______ 2)
4)
C ______
Kleur die dele soos volg in: a) twee derdes van A c) drie kwarte van C
A 3)
B ______
Bereken: 2 1 4 4 Omkring die teller: 5 9
D ______
b) een helfde van B d) een derde van D
B
C
2 3 6 6
D
3 2 8 8 5)
Omkring die noemer: 2 6
Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
6 4 12 12
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
6)
Gebruik die figure om die volgende breuke in te kleur
7)
Voltooi die ekwivalente breuke 4 30 6 30 20 4
4 16 5 8)
15 20 4
Vereenvoudig die volgende breuke 8 77 18 88 30 12
36 9 52
5 15 8
7 42 8 24 30
Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
9 15
3 7
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
9)
Elke figuur is ingedeel in tien gelyke dele. ‘n Sekere aantal van die gedeeltes is ingekleur of is nie ingekleur nie. Gebruik die figure om die tabel te voltooi. A
B
Figuur
Ingekleurde breuk
Nie ingekleurde breuk
A B 10) Los die volgende probleme met breuke op: a) Daar is 600 mense by ‘n konsert. Van die mense in die gehoor is 3 mans. 10 1) Watter breuk van die gehoor is vroulik? 2) Hoeveel mense in die gehoor is vrouens?
4 kilometer op pad winkel toe van haar huis af. Sy 5 3 moet nog kilometer ver stap voordat sy by die winkel sal wees. 5 Hoe ver is die winkel van haar huis af?
b)
Judy stap
c)
Thomas het 24 suigstokkies. Hy hou ‘n kwart vir homself, en gee die helfte van wat oorbly vir ‘n maat. Hoeveel hou hy vir homself, en hoeveel kry sy maat? Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
d)
Die heining wat om ‘n swembad opgerig word sal 20m lank wees. Die kontrakteurs werk verskillende kante toe om, sodat hulle mekaar sal ontmoet wanneer hulle klaar is. Die een span het 2 1 reeds van 20m gebou, en die ander span van 20m. Hoeveel 8 8 meter moet nog gebou word voordat hulle klaar sal wees?
11) Bepaal
2 van 1 000ml koeldrank 5
12) Wat sê die teller en noemer van die breuk vir ons? 13) Bereken die waarde van:
3 van 44 4
14) Vul die getal in wat uitgelaat is: 5 20 9 15) Vul in ; of =
1 ___ 1 4 2
16) Bereken die waarde van:
4 van 60 5
Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
Breuke behels die skryfwyse in wiskunde van gedeeltes van iets, byvoorbeeld die helfte van ‘n koppie koffie, of ‘n roomysbak wat driekwart vol is. Kom ons raak net eers gou vertroud met die konsep: As jou ma ‘n koekie tussen jou en jou boetie / sussie moet verdeel, watter een van die volgende sal die beste verdeling wees:
A
B
Watter deel van die koekie kry julle elkeen as sy die verdeling gemaak het soos in A? Is die koekie soos by A in gelyke dele verdeel? _____________ Hoeveel halwes is daar in ‘n hele? _______________________ Knip die volgende figure uit, of trek dit af op ‘n aparte stuk papier, en vou dan elkeen op die stippellyn. Beantwoord dan ook die volgende vrae oor hierdie figure. a) In hoeveel dele is elke figuur verdeel? _____________________ b)
Wat noem ons elkeen van hierdie dele? ____________________ Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
Vat ‘n stukkie tou en knip dit in twee halwes. Is die twee stukke tou ewe lank? ____________________________ As jy ‘n boksie Smarties oopmaak, en daar is presies 36 Smarties in, hoeveel kinders kan almal ewe veel kry? Doen dit, deur die Smarties in gelyke groepies te deel: As jy dit tussen 4 kinders verdeel het, watter gedeelte van die boksie het elkeen gekry?___________ As jy dit tussen 6 kinders verdeel het, watter gedeelte van die boksie het elkeen gekry?___________ Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
As jy dit tussen 9 kinders verdeel het, watter gedeelte van die boksie het elkeen gekry?___________ As jy dit tussen 3 kinders verdeel het, watter gedeelte van die boksie het elkeen gekry?___________ As jy dit tussen 12 kinders verdeel het, watter gedeelte van die boksie het elkeen gekry?___________ Vat ‘n gewone vel papier en vou dit in agt gelyke dele, en knip dan hierdie blokkies uit. Wat noem ons een van hierdie dele van die oorspronklike figuur? ______ Hoe sal ons twee van hierdie dele saam kan skryf? ___________ Hoeveel agtstes is daar in ‘n hele? __________________ Hoeveel kwarte het twee agtstes volgemaak (toets dit deur die blokkies wat jy uitgeknip het op ‘n ander vel papier, wat jy in vier gelyke dele gevou het, te pas)? ____________ Jy behoort nou redelik vertroud te wees met die feit dat, as ons ‘n hele soos ‘n appel of ‘n sjokolade of ‘n koek, in ‘n sekere gelyke aantal deel, dan is elkeen van hierdie dele gelyk aan een “aantalste” van die hele. Kom ons illustreer dit gou op ‘n wiskundige manier: 1 1) Deel 1 appel in 5: Elke deel is dan een vyfde van die hele, of . 5 2) Deel 1 sjokoladekoek in 10 dele: Elke deel is dan een tiende van 1 die hele, of 10 3) Deel ‘n bottel koeldrank in 3 gelyke dele: Elke deel is dan een 1 derde van die hele, of . 3 Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
4)
Deel ‘n melktert in 6 gelyke dele: Elke deel is dan een sesde van 1 die hele, of . 6
Maar wat gebeur nou as ons meer as 1 hele in ‘n aantal moet deel? Dink byvoorbeeld aan 12 albasters wat tussen 3 maats verdeel moet word. Ons beskou dan die getal 12 as ‘n hele, soos wat ons die hele sjokolade, met al sy blokkies / die boksie Smarties met al die Smarties binne-in, as ‘n hele gesien het. 1 1 Iets waarop jy net moet let, is dat die skryfwyse of byvoorbeeld, 4 3 beteken 1 4 of 1 3 , met ander woorde die hele gedeel deur die aantal verdelings, wat vir ons die breuk gee wat elkeen kry. Dus, as ons die 12 albasters as ‘n hele beskou, en ons moet dit tussen 3 maats verdeel, kry elke maat 12 3, dus 4. 1 Nou moet jy mooi oplet: Elke maat kry 4 albasters, maar dit is van die 3 1 hele, en daar is 3 ’s in ‘n hele. 3 Oefening 1) Hoeveel van die volgende breuke is in ‘n hele? 1 1 a) b) 4 16 1 1 c) d) 8 12 2)
Hoeveel van die volgende breuke is nog nodig om ‘n hele te maak? 1 1 a) b) 3 20 Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
3)
c)
1 12
d)
1 9
e)
3 5
f)
15 16
g)
9 14
h)
17 20
Hoeveel van die hele is in die volgende breuke: 2 3 a) b) 5 7 c)
4 9
d)
3 4
Ons gaan jou nou deur nog ‘n paar oefeninge vat, net on die begrip behoorlik was te lê: 1) As ‘n koek in 4 gelyke dele verdeel is, is dit in kwarte verdeel. 2)
As ‘n warmbrak in ____________ gelyke dele verdeel is, is dit in halwes verdeel.
3)
Daar is _____________ derdes in ‘n hele.
4)
Daar is 10 tiendes in ‘n hele.
5)
Daar is 12 _________________ in ‘n hele.
6)
As ‘n tou in 5 gelyke dele verdeel is, is dit in _________________ verdeel.
Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
7)
As ‘n reghoek in 8 __________________ dele verdeel is, is dit in ____________ verdeel.
8)
Daar is _____________ kwarte in ‘n hele.
9)
Daar is 9 _________________ in ‘n hele.
10) As een sesde van ‘n plank afgesaag word, bly daar nog vyf ________________ oor. Voltooi die volgende oefening deur net die regte woorde (bv. kwarte, vyfde, ensovoorts) in te vul: 1) Die _________________________ van 50c is 25c. 2)
‘n ________________________ van R20 is R5.
3)
Ses lekkers is ‘n _______________________ van 18 lekkers.
4)
Tien albasters is ‘n ______________________ van 80 albasters.
Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
Teller en Noemer Ons weet reeds dat breuke gekry word as ‘n voorwerp of ‘n groep 3 voorwerpe in gelyke dele verdeel word. In ‘n breuk soos word die syfer 8 onder die verdeellyn, d.w.s. die 8, die noemer van die breuk genoem, want dit noem die getal gelyke dele. Die syfer bokant die verdeellyn, d.w.s. die 3, word die teller genoem, omdat dit tel hoeveel van die gelyke dele geneem of ingekleur of mee gewerk word. Bv:
3 Teller 8 Noemer In die voorbeelde toon die noemer aan dat die reghoek in 8 gelyke dele verdeel is en dat daar 8 sirkels is. Die teller dui aan dat 3 van die gelyke dele en 3 van die sirkels ingekleur 3 is, d.w.s. van die sirkels is ingekleur. 8 Oefening 1) Gebruik die eerste getal as teller en die tweede getal as noemer en sê watter breuke gevorm word: a) 5 ; 8 b) 45 ; 100 c) 7 ; 10 d) 2 ; 3 e) 75 ; 100 2)
Sê wat die breuk is: a) 3 dele uit 10 c) 5 dele uit 8
b) d)
25 dele uit 100 3 dele uit 5
Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
Ekwivalente breuke (gelykwaardige breuke) ‘n Aantal voorwerpe of ‘n hele kan op meer as een manier in gelyke dele verdeel word. Dieselfde gedeelte van die versameling voorwerpe of van die hele kan aangedui word deur verskillende breuke wat dieselfde waarde het. Bv. 1 hele ½ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ 1 1 1 1 1 1 /6 /6 /6 /6 /6 /6 1 1 1 1 1 1 1 1 /8 /8 /8 /8 /8 /8 /8 /8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 /10 /10 /10 /10 /10 /10 /10 /10 /10 /10 Die diagram toon hoe ‘n hele in verskillende dele verdeel word. Uit die 1 2 3 4 5 diagram is dit duidelik dat: 2 4 6 8 10 1 2 3 4 5 word ekwivalente breuke genoem omdat 2 4 6 8 10 hulle gelyk is aan mekaar, m.a.w. hulle waardes is dieselfde.
Breuke soos
Om ekwivalente breuke van ‘n genoemde breuk te kry is dit nodig om beide die teller en noemer met dieselfde getal te vermenigvuldig of deel. Voorbeeld: 3 4 12 1. Bepaal waarmee het jy 4 vermenigvuldig om 12 te kry.
As die vraag vra “vul die getal in wat uitgelaat is” by
2. Vermenigvuldig nou die teller (3), ook met 3. Dis reg! 9 3. Die finale antwoord is dus
3 9 4 12
Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
5 20 6 1. Bepaal waarmee het jy die teller, 5, vermenigvuldig om 20 te kry.
Voorbeeld:
Vul die getal in wat weggelaat is by
2. Vermenigvuldig nou die noemer, 6, ook met 4. Dis reg, dis 24 3. Jou finale antwoord is dus
5 20 6 24
i.
4 8 2 Bepaal deur wat jy die noemer, 8, moet deel om 2 te kry.
ii.
Deel nou die teller, 4, ook met 4. Dis reg, dis 1
iii.
Jou finale antwoord is dus
Voorbeeld:
Vul die getal in wat weggelaat is by
4 1 8 2
2 3 Jy kan nou self besluit waarmee jy wil vermenigvuldig, onthou net jy moet die teller en noemer met dieselfde getal vermenigvuldig. 2 4 8 Kom ons kies 4: 3 4 12
Voorbeeld:
Skryf ‘n ekwivalente breuk neer vir
Oefening 1) Vul die getalle in wat weggelaat is en verduidelik hoe jy dit gekry het 1 1 a) b) 2 8 3 6 Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
2)
c)
2 6 3
d)
5 20 9
e)
4 5 25
f)
8 10 5
g)
1 2 8
h)
10 1 20
i)
3 18 4
j)
2 3 9
Skryf een ekwivalente breuk vir die volgende neer: 2 6 a) b) 7 8 c)
4 16
d)
3 5
e)
4 6
f)
2
3 10
Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
Vereenvoudiging van breuke Wanneer jy met breuke werk moet jy altyd jou antwoord in sy eenvoudigste vorm skryf. Dit beteken dat daar geen getal (behalwe 1) in beide die noemer en die teller meer kan indeel nie. Bv.
2 1 3 of of 3 2 4
Om ‘n breuke te vereenvoudig moet jy kyk wat is die grootste getal wat in beide die teller en noemer kan indeel. 10 moet vereenvoudig, sien jy dat 5 die grootste getal 15 10 5 2 is wat in 10 en 15 kan deel: 15 5 3
Bv. As jy die breuk
en daar is dit nou in eenvoudigste vorm, want daar is geen getal (behalwe 1) wat in 2 en 3 kan deel nie. Oefening 1) Dui aan watter van die volgende breuke in eenvoudigste vorm is: 3 6 5 5 4 7 12 ; ; ; ; ; ; ; 4 8 8 10 6 10 16 2)
Dui die eenvoudigste vorm aan van die breuke hierbo wat nie reeds in hul eenvoudigste vorm is nie.
Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
Hoe om breuke met mekaar te vergelyk Jou ma het 2 sjokoladekoeke gebak. Sy het een in 3 gelyke dele verdeel en die ander in 4 gelyke dele. Jy wil graag die grootste stuk koek hê, maar weet nou nie van watter koek jy ‘n stukkie moet vat nie. Kom ons werk dit uit met behulp van prentjies:
Koek 1
Koek 2
Watter koek se dele lyk vir jou die grootste? ____________________ Dis Reg! Die koek wat in 3 dele gesny is se dele is groter as die koek wat in 4 dele gesny is. 1 1 3 4 Ons het 9 ewe lang stukke tou. Ons sny dit op soos in die onderstaande sketse aangedui. Tou A Tou B Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
Tou C Tou D Tou E Tou F Tou G Tou H Tou I 1.
a) b) c) d)
In hoeveel stukkies het ons elke tou gesny? Werk uit watter breukdeel van elke tou een stukkie voorstel. Watter breuk lewer die langste stukkie tou? Watter breuk lewer die kortste stukkie tou?
2.
Gebruik weer die sketse om jou te help om die volgende vrae te beantwoord. By elke vraag sit ‘n (kleiner as) of (groter as) in 1 1 1 1 a) b) 2 4 3 2 1 1 3 2 c) d) 9 8 8 7
Jy sou nou opgelet het, veral by die laaste vraag, dat dinge nogal moeilik kan raak as jy breuke met behulp van só ‘n skets moet vergelyk, ten einde te bepaal watter breuk die grootste is. Daar moet tog ‘n makliker manier wees? Gelukkig is daar! Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
Ons maak die breuke ekwivalente breuke, en dan vergelyk ons slegs die tellers. So eenvoudig soos dit! Kom ons begin by die twee sjokolade koeke:
1 1 en 3 4
Om hierdie twee breuke ekwivalent te kry, moet ons ‘n KGV bepaal. Die kleinste getal waarin “3” en “4” kan indeel is 12, dus: 1 4 1 3 en 34 43
4 3 en 12 12
Dit gee dan:
En dan is dit nou duidelik dat “4” groter is as “3”, en dus is die oorspronklike breuk wat die “4” gelewer het ( 31 ) die grootste van die twee breuke, 1 1 en soos ons gesien het dit moet wees! 3 4 Kom ons vergelyk nou die breuke in netnou se oefening op dieselfde manier: 1 1 1 1 a) b) 3 2 2 4 c)
1 9
1 8
d)
3 8
2 7
Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
Optelling en aftrekking van breuke Die eerste ding waarna jy moet oplet voor jy breuke kan optel of aftrek is dat die breuke waarmee jy werk se noemers dieselfde moet wees. As die noemers dieselfde is, is dit baie maklik, want dan tel jy net die tellers bymekaar of trek die tellers van mekaar af, afhangende van die bewerking wat die som bevat. Bv:
2 3 7 7
=
Bv:
en 2 + 3 = 5
5 7
7 3 8 8
=
Die noemers is dieselfde so tel net jou tellers bymekaar
Jou noemers is dieselfde, so jy trek net jou tellers van mekaar af en 7 – 3 = 4.
4 8
ONTHOU: Jy moet altyd jou antwoord in sy eenvoudigste vorm skryf: Oefening Bereken en skryf die antwoord in sy eenvoudigste vorm 3 4 1 2 a) b) 7 7 5 5 c)
2 3 6 6
d)
5 6 12 12
Die aftrekking van breuke werk presies dieselfde!! Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
1 2
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
‘n Breuk van ‘n getal Ons praat baie keer van ‘n breuk van ‘n getal, soos wanneer ons verwys na die helfte van die wedstryd, of driekwart van ‘n bottel koeldrank. Dit is egter nodig dat jy moet weet hoe om die Wiskunde agter hierdie manier van praat te kan doen, en dit is waarna ons nou gaan kyk. Let op: Die tegniek om met ‘n breukdeel van ‘n getal te werk vereis eintlik dat jy moet weet hoe om breuke te kan vermenigvuldig, maar aangesien jy dit nog nie op hierdie stadium gedoen het nie, gaan ons vir eers net kyk na ‘n meer eenvoudige tegniek. As jy gevra word om die helfte van 20 te bereken, dan skryf jy dit soos 1 volg: van 20 . Nou moet jy net onthou om die 20 met die teller van die 2 breuk te maal (dit is die “1”), en dan te deel met die noemer (dis die “2”). Ons gaan dus kry dat 1 20 20 , en 20 2 10 . Die helfte van 20 is dus 10! Maar dit het jy mos geweet?
3 van 30 ? Jy gaan maar presies dieselfde 5 doen: 3 30 90 , en dan 90 5 18 . Die antwoord is dus 18. Wat egter van iets soos hierdie:
Kom ons doen gou nog een voorbeeld. 4 van 14 . Ons sê 4 14 56 , en 56 7 8 . Maklik né? 7 Doen dan gou die volgende oefening: Bepaal 2 3 1) 2) van 36 van 40 6 4
3)
Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
5 van 48 6
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
Gemengde getalle In die skets is die sirkel in 3 gelyke dele verdeel. Elk van die drie dele is ‘n deel of breuk van die sirkel. So ‘n deel is dus werklike ‘n stuk van die geheel en word ‘n egte breuk genoem. In ‘n egte breuk is die getal dele wat geneem word minder as die getal gelyke dele waarin die hele verdeel is, d.w.s. die teller is kleiner as die noemer. Hierlangsaan is ‘n hele sirkel en nog een derde van ‘n tweede sirkel. Ons het dus 4 altesaam 4 derdes, en ons skryf dit as 3 4 is meer as een hele. Dit is dus meer as ‘n gedeelte van 3 een hele en ons noem so ‘n breuk ‘n onegte breuk. In ‘n onegte breuk is die teller groter as die noemer.
‘n Breuk soos
4 sirkels het, kan ons ook sê dat ons in die 3 1 1 tekening hierbo 1 , d.w.s. 1 sirkels het. 3 3
In plaas van te sê dat ons
1 noem ons ‘n gemengde getal. ‘n Gemengde getal 3 bestaan dus uit ‘n natuurlike getal (heelgetal) en ‘n egte breuk.
‘n Getal soos 1
Daar gaan van jou verwag word om onegte breuke na gemengde getalle toe om te skakel en andersom. Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
Kom ons kyk eers na hoe om gemengde getalle om te skakel na onegte breuke. Voorbeeld: 1)
3 4 Vermenigvuldig die heelgetal met die noemer, in hierdie geval 2 x 4 = 8 2
2)
Tel nou die teller by die antwoord wat jy in (1) gekry het, in hierdie geval 8 + 3 = 11
3)
Maak nou jou antwoord van (2) die teller, en jou noemer is dieselfde as wat die gemengde getal waarmee jy gewerk het se noemer was.
4)
Jou finale antwoord is dus
Kom ons kyk na nog voorbeelde: 2 4 43 12 2 14 3
14 3
5 7 67 6
47 6
42 5 47
11 4
Kom ons kyk nou hoe jy ‘n onegte breuk na ‘n gemengde getal gaan omskakel. 11 Voorbeeld: 3
1)
Onthou dat die strepie tussen die teller en die noemer gedeel () deur beteken. Jy doen dus nou presies wat daar staan: 11 3 = 3 res 2 Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
2)
Die hoeveelheid keer wat die noemer in die teller kan ingaan word die heelgetal vooraan, in hierdie geval 3.
3)
Die res wat oorbly word die teller, en die noemer bly weereens 2 dieselfde as die onegte breuk se noemer, in hierdie geval dus 3
4)
Jou finale antwoord is dus 3
2 3
Kom ons kyk na nog ‘n paar voorbeelde: 23 2 23 7 3 res 2 3 7 7 29 29 5 5
5 res 4
5
4 5
Dit is baie belangrik hier dat jy jou tafels goed ken, anders gaan jy baie onnodige foute maak. Oefening 1) Verander die volgende onegte breuke na gemengde getalle 15 5 a) b) 4 3 c)
25 3
e)
75 6
d)
55 4
Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
2)
Watter gemengde getalle word deur die volgende figure voorgestel a)
b)
Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
1)
Hersieningsoefening Watter breukdeel is ingekleur?
A ______ 2)
4)
C ______
Kleur die dele soos volg in: a) twee derdes van A c) drie kwarte van C
A 3)
B ______
Bereken: 2 1 4 4 Omkring die teller: 5 9
D ______
b) een helfde van B d) een derde van D
B
C
2 3 6 6
D
3 2 8 8 5)
Omkring die noemer: 2 6
Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
6 4 12 12
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
6)
Gebruik die figure om die volgende breuke in te kleur
7)
Voltooi die ekwivalente breuke 4 30 6 30 20 4
4 16 5 8)
15 20 4
Vereenvoudig die volgende breuke 8 77 18 88 30 12
36 9 52
5 15 8
7 42 8 24 30
Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
9 15
3 7
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
9)
Elke figuur is ingedeel in tien gelyke dele. ‘n Sekere aantal van die gedeeltes is ingekleur of is nie ingekleur nie. Gebruik die figure om die tabel te voltooi. A
B
Figuur
Ingekleurde breuk
Nie ingekleurde breuk
A B 10) Los die volgende probleme met breuke op: a) Daar is 600 mense by ‘n konsert. Van die mense in die gehoor is 3 mans. 10 1) Watter breuk van die gehoor is vroulik? 2) Hoeveel mense in die gehoor is vrouens?
4 kilometer op pad winkel toe van haar huis af. Sy 5 3 moet nog kilometer ver stap voordat sy by die winkel sal wees. 5 Hoe ver is die winkel van haar huis af?
b)
Judy stap
c)
Thomas het 24 suigstokkies. Hy hou ‘n kwart vir homself, en gee die helfte van wat oorbly vir ‘n maat. Hoeveel hou hy vir homself, en hoeveel kry sy maat? Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die
d)
Die heining wat om ‘n swembad opgerig word sal 20m lank wees. Die kontrakteurs werk verskillende kante toe om, sodat hulle mekaar sal ontmoet wanneer hulle klaar is. Die een span het 2 1 reeds van 20m gebou, en die ander span van 20m. Hoeveel 8 8 meter moet nog gebou word voordat hulle klaar sal wees?
11) Bepaal
2 van 1 000ml koeldrank 5
12) Wat sê die teller en noemer van die breuk vir ons? 13) Bereken die waarde van:
3 van 44 4
14) Vul die getal in wat uitgelaat is: 5 20 9 15) Vul in ; of =
1 ___ 1 4 2
16) Bereken die waarde van:
4 van 60 5
Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic
