eBoek res en faktorstelling
Beskou die volgende bewerking: Ons weet dat 67 ÷ 12 = 5 res 7 Dus, ons kan 67 skryf as Ons noem die 12 die 5 die 7 die
67 ÷ 12
12 X 5 + 7 Deler Kwosiënt (antwoord) Res
Kom ons kyk na ‘n praktiese voorbeeld. As f(x) = 2x3 + x2 – 3x + 1 gedeel word deur ( x – 1 ), dan sal daar ‘n res wees van 1, en die antwoord is (2x2 + 3x ). Kyk of jy f(x) kry deur die volgende uitdrukking te vereenvoudig: ( 2x2 + 3x ) ( x – 1 ) + 1 = ____________________________________ = ____________________________________ = ____________________________________ Dus:
f(x) = ( 2x2 + 3x ) ( x – 1 ) + 1
Vir sekere toepassings is dit egter nie wenslik om deur die hele proses te gaan van deling net om die res te kan kry nie.
Kyk dus nou na die volgende patroon: f(x) = 2x3 + x2 – 3x + 1 = ( 2x2 + 3x ) ( x – 1 ) + 1 Die deler is ( x – 1 ). Stel nou die deler gelyk aan 0: en los op vir x
x–1=0 x=1
Vervang nou al die x’e in f(x) met hierdie getal: f(x) = [2(1)2 + 3(1) ] (1 – 1) + 1 = (2 + 3)(0) + 1 = 1 En dit is die res wat ons net-nou gekry het. Kom ons kyk wat gebeur in die uitgebreide vorm (oorspronklike vorm) van f(x): f(x) = 2x3 + x2 – 3x + 1 f(1) = 2 (1)3 + (1)2 – 3 (1) + 1 = 2+1–3+1 = 1 weereens dieselfde!
Oefening Bepaal die res as f(x) deur g(x) gedeel word: a) f (x) = 3x4 + 2x3 – 6x – 4 g(x) = x – 2 b)
f (x) = 5x3 + 7x2 – 2x – 4
g(x) = x
c)
f (x) = x6 – 4x4 + 7x3 – 10x2 – x – 14
g(x) = x – 2
Tipiese algemene vrae in verband met die resstelling Kom ons kyk nou na variasies op die tema. Onthou net altyd: Die antwoord wat jy kry is die RES. Niks meer nie en niks minder nie. As x3 + ax2 – x + 5 deur x – 2 gedeel word is die res 23. Bepaal a se waarde. Dus:
x–2=0 x = 2 Nou: f (2) = 23 + a (2)2 – 2 + 5 = 8 + 4a – 2 + 5 = 4a + 11 Onthou: 4a + 11 is die res. Maar die vraag het vir ons gesê wat die waarde van die res is, nl. 23, dus: 4a + 11 = 23 en los nou op vir a: 4a = 12 a = 3 Daar is die vraag beantwoord!
As x + 2 ‘n gemeenskaplike faktor van x2 + ax + a2 en x2 + bx + b2 is, en a ≠ b, toon aan dat a + b = 2 Dus:
x+2=0 x = -2 Nou, in die eerste uitdrukking is die res: ( -2 )2 + a( -2 ) + a2 = 4 – 2a + a2 Onthou, hierdie is die RES. In die tweede uitdrukking is die res: ( -2 )2 + b( -2 ) + b2 = 4 – 2b + b2 Dus: 4 – 2b + b2 = 0 en 4 – 2a + a2 = 0
Ons kan dus altwee hierdie uitdrukkings gelyk stel aan mekaar: 4 – 2b + b2 = 4 – 2a + a2 en vereenvoudig: b2 – a2 – 2b + 2a = 0 (b – a)(b + a) – 2(b – a) = 0 (b – a)[(b + a) – 2] = 0 Dus:
b–a = 0
Of: Dus:
b+a–2 = 0 a+b = 2
en b = a, wat die vraag verbied het,
En weereens is die vraag beantwoord!
Oefening 1) f(x) = x5 – 2x4 – x3 + 3x2 + px + 6 As f(x) deur x + 1 gedeel word, is die res 2. Bereken die waarde van p. 2)
f(x) = x3 + ax2 + 5x + 3 As f(x) deur x + 2 gedeel word, is die res b. Bepaal a in terme van b.
3)
Bewys dat, as f(x) deur ax + b gedeel word, is die res f(-b/a ).
4)
f(x) = 16x3 – px + 12x + 3 As f(x) deur 2x + 1 gedeel word, is die res –7. Bereken die waarde van p.
5)
As 2x2 + bx – 5 deur 2x – 1 gedeel word, en ‘n res van –4 laat, bereken b se waarde.
6)
f(x) = 7x6 + 6x5 + ax4 + 4x3 + 3x2 + 2x + 1. As f(x) gedeel word deur x + 1, laat dit ‘n res van 4. Bereken die waarde van a.
7)
As x – 2 ‘n faktor is van x3 + px + 6 , bereken die waarde van p.
8)
Bepaal a as x – 1 ‘n faktor is van ax3 – 7x + 3.
9)
As x – 1 en x + 1 faktore is van ax3 + bx2 + 5x – 5 , bereken a en b se waardes
10) Bepaal a in terme van b as x + 2 ‘n faktor is van x5 + x4 + ax3 – 2x2 + bx + 14.
67 ÷ 12
12 X 5 + 7 Deler Kwosiënt (antwoord) Res
Kom ons kyk na ‘n praktiese voorbeeld. As f(x) = 2x3 + x2 – 3x + 1 gedeel word deur ( x – 1 ), dan sal daar ‘n res wees van 1, en die antwoord is (2x2 + 3x ). Kyk of jy f(x) kry deur die volgende uitdrukking te vereenvoudig: ( 2x2 + 3x ) ( x – 1 ) + 1 = ____________________________________ = ____________________________________ = ____________________________________ Dus:
f(x) = ( 2x2 + 3x ) ( x – 1 ) + 1
Vir sekere toepassings is dit egter nie wenslik om deur die hele proses te gaan van deling net om die res te kan kry nie.
Kyk dus nou na die volgende patroon: f(x) = 2x3 + x2 – 3x + 1 = ( 2x2 + 3x ) ( x – 1 ) + 1 Die deler is ( x – 1 ). Stel nou die deler gelyk aan 0: en los op vir x
x–1=0 x=1
Vervang nou al die x’e in f(x) met hierdie getal: f(x) = [2(1)2 + 3(1) ] (1 – 1) + 1 = (2 + 3)(0) + 1 = 1 En dit is die res wat ons net-nou gekry het. Kom ons kyk wat gebeur in die uitgebreide vorm (oorspronklike vorm) van f(x): f(x) = 2x3 + x2 – 3x + 1 f(1) = 2 (1)3 + (1)2 – 3 (1) + 1 = 2+1–3+1 = 1 weereens dieselfde!
Oefening Bepaal die res as f(x) deur g(x) gedeel word: a) f (x) = 3x4 + 2x3 – 6x – 4 g(x) = x – 2 b)
f (x) = 5x3 + 7x2 – 2x – 4
g(x) = x
c)
f (x) = x6 – 4x4 + 7x3 – 10x2 – x – 14
g(x) = x – 2
Tipiese algemene vrae in verband met die resstelling Kom ons kyk nou na variasies op die tema. Onthou net altyd: Die antwoord wat jy kry is die RES. Niks meer nie en niks minder nie. As x3 + ax2 – x + 5 deur x – 2 gedeel word is die res 23. Bepaal a se waarde. Dus:
x–2=0 x = 2 Nou: f (2) = 23 + a (2)2 – 2 + 5 = 8 + 4a – 2 + 5 = 4a + 11 Onthou: 4a + 11 is die res. Maar die vraag het vir ons gesê wat die waarde van die res is, nl. 23, dus: 4a + 11 = 23 en los nou op vir a: 4a = 12 a = 3 Daar is die vraag beantwoord!
As x + 2 ‘n gemeenskaplike faktor van x2 + ax + a2 en x2 + bx + b2 is, en a ≠ b, toon aan dat a + b = 2 Dus:
x+2=0 x = -2 Nou, in die eerste uitdrukking is die res: ( -2 )2 + a( -2 ) + a2 = 4 – 2a + a2 Onthou, hierdie is die RES. In die tweede uitdrukking is die res: ( -2 )2 + b( -2 ) + b2 = 4 – 2b + b2 Dus: 4 – 2b + b2 = 0 en 4 – 2a + a2 = 0
Ons kan dus altwee hierdie uitdrukkings gelyk stel aan mekaar: 4 – 2b + b2 = 4 – 2a + a2 en vereenvoudig: b2 – a2 – 2b + 2a = 0 (b – a)(b + a) – 2(b – a) = 0 (b – a)[(b + a) – 2] = 0 Dus:
b–a = 0
Of: Dus:
b+a–2 = 0 a+b = 2
en b = a, wat die vraag verbied het,
En weereens is die vraag beantwoord!
Oefening 1) f(x) = x5 – 2x4 – x3 + 3x2 + px + 6 As f(x) deur x + 1 gedeel word, is die res 2. Bereken die waarde van p. 2)
f(x) = x3 + ax2 + 5x + 3 As f(x) deur x + 2 gedeel word, is die res b. Bepaal a in terme van b.
3)
Bewys dat, as f(x) deur ax + b gedeel word, is die res f(-b/a ).
4)
f(x) = 16x3 – px + 12x + 3 As f(x) deur 2x + 1 gedeel word, is die res –7. Bereken die waarde van p.
5)
As 2x2 + bx – 5 deur 2x – 1 gedeel word, en ‘n res van –4 laat, bereken b se waarde.
6)
f(x) = 7x6 + 6x5 + ax4 + 4x3 + 3x2 + 2x + 1. As f(x) gedeel word deur x + 1, laat dit ‘n res van 4. Bereken die waarde van a.
7)
As x – 2 ‘n faktor is van x3 + px + 6 , bereken die waarde van p.
8)
Bepaal a as x – 1 ‘n faktor is van ax3 – 7x + 3.
9)
As x – 1 en x + 1 faktore is van ax3 + bx2 + 5x – 5 , bereken a en b se waardes
10) Bepaal a in terme van b as x + 2 ‘n faktor is van x5 + x4 + ax3 – 2x2 + bx + 14.
