eksponente inleiding eBoek
DIE EKSPONENT WETTE Wanneer jy met eksponente werk, is daar sekere teorie-kennis wat jy moet weet, maar wat nie altyd presies in soveel woorde gevra word nie. Een van hierdie konsepte is die “mag”. Kyk na die volgende: 3ax2 • Ons praat van die 3 as die koëffisiënt van x2 • Die a is ‘n veranderlike, maar ook ‘n koëffisiënt van x2 • Die x is die grondtal. • Die 2 is die eksponent. Hierdie hele uitdrukking staan bekend as ‘n mag Voorbeelde Identifiseer en skryf neer: 1) Die grondtal in x25
⇒
x
2)
Die eksponent in b7
⇒
7
3)
Skryf as magte van die grondtal a) b . b . b . b . b .
⇒
b5
b)
x . x . x . x . x . x . x . x . x . x .x . x . x
⇒
x13
c)
t.t.t.s.s.s.s.s
⇒
t3s5
d)
k.k.k.k.d.d.d
⇒
k4d3
e)
a.a.b.b.b.c.c.f
⇒
a2b3c2f
f)
5.b.b.b.b.b.b
⇒
5b6
4)
Skryf die volgende uitdrukkings sonder eksponente, d.w.s. in uitgebreide notasie-vorm: a) v3 ⇒ v.v.v b)
a3 b5
⇒
a.a.a.b.b.b.b.b
c)
5d 4
⇒
5.d.d.d.d
d)
xy3
⇒
x.y.y.y
e)
p7 q3 t 2
⇒
p.p.p.p.p.p.p.q.q.q.t.t
In hierdie afdeling is dit baie belangrik dat jy die eksponent-wette verstaan. Ons gaan eers vir jou ‘n basiese verduideliking gee van hoe die wet werk, en dan die wet vir jou in Algebraïese taal ook deurgee. Dit is belangrik dat jy die wette in Algebra kan verstaan. Kom ons kyk eers na die eerste Eksponentwet. Die wet bepaal dat, as die grondtalle dieselfde is, dan kan ons die eksponente bymekaar tel om in die antwoord neer te skryf. Op dieselfde manier gaan : y X y² X y3 se antwoord op die volgende manier bepaal kan word: yXyXyXyXyXy Let op hoe ons die y² en die y3 geskryf het, om dit vir ons makliker te maak om te verstaan. Nou gaan ons weereens al die y’s tel, en die antwoord is ______6___ Dus is die finale antwoord
y6
Die Eerste Eksponent Wet in Algebra Taal am x an = a m + n met ander woorde, as die grondtalle dieselfde is kan ons al die eksponente bymekaar tel vir die finale antwoord. Oefening Vereenvoudig die volgende 1) a2 X a3 3)
2)
a X a²
23 . 24
Kom ons kyk nou wat gebeur as jy getalle (of terme) met mekaar vermenigvuldig as jy verskillende grondtalle het. (Onthou: jy kan net die eksponente bymekaar tel as die grondtalle dieselfde is). Voorbeeld: a2b3c x ab2c3 As ons nou eers weer al die terme uitskryf, dan kry ons: axaxbxbxbxcxaxbxbxcxcxc Nou kan ons sien dat dit logies is om net eers al die soortgelyke terme bymekaar te tel. Daar is dus 3 a’s; 5 b’s; 4 c’s. Die antwoord is dus a3b5c4. Onthou: As jy vashaak met eksponente, dan kan jy net die terme uitskryf, soos ons hierbo gedoen het, en dan net tel hoeveel van elk daar is aan die einde, en hierdie getal word dan jou eksponent. Kom ons kyk na nog ‘n voorbeeld:
Voorbeeld: a2bc . a3b2c =axaxbxcxaxaxaxbxbxc = a5b3c2 Oefening 1) ab2 x a3b4
2) x3y2 x x2y3
3) 5p3q . 2pq2
4) kb2q . 2k3bq
Kom ons kyk nou ook na die Tweede Eksponent wet a2 ? a3 Skryf nou eers bo die lyn (Teller) en onder die lyn (Noemer) uit soos in die vorige afdeling. axa axaxa Nou kanselleer jy een-vir-een die a’s uit aXa a X a X a en kyk wat bly oor. Voorbeeld:
Weet jy wat is
Dit is reg! Net een a onder die lyn. Die antwoord is dus 1 a Jy sal sien dat ons eintlik die eksponente van mekaar afgetrek het: Ons het ‘n 2 bo die lyn gehad, en ‘n 3 onder die lyn, en 3 – 2 = 1 Onthou: Jy trek altyd die kleinste eksponent van die grootste een af, en moenie vergeet dat jy ‘n 1 bo die lyn moet skryf as die grootste eksponent onder die lyn is nie. Kom ons kyk na nog ‘n paar voorbeelde:
3
1)
2 2× 2× 2 = = 2 2 2×2 2 of, volgens die Algebra wet: 3 – 2 = 1 Dus 2! 4
2)
a 6 a
=
a×a×a×a a×a×a×a×a×a
=
1 2 a
of volgens die Algebra wet; 6 – 4 = 2, Dus
1 2 a
Die Tweede Eksponent Wet in Algebra – Taal m a m−n = a ; m≥n n a m.a.w as die grondtalle dieselfde is, trek ons die kleinste eksponent van die grootste een af
Oefening 2 b 1) 5 b
4
2)
2 3 2
4)
2 3 2
6
3)
a 2 a
3
Wat het in Nommer 4 gebeur? Ons het gehad 23 – 3 = 20 , en die antwoord was 1. As jy dieselfde doen met enige moontlike getal of Algebraïese simbool, sal jy altyd ‘n eksponent van 0 kry, en jou antwoord sal altyd 1 wees. Dit gee dus aanleiding tot die volgende definisie: Enige getal met ‘n eksponent 0 is gelyk aan 1, of in Algebraïese Taal: a0 = 1 ; a ε R
Wat gebeur nou as ons verskillende getalle of simbole met mekaar kombineer?
Voorbeelde: 3 x y 1) = xy
x× x× x× y x× y
en wat dus oorbly is 2 x’e bo die lyn, en niks onder die lyn nie. Die antwoord is dus: x2 Met behulp van die eksponentwet kon ons geskryf het: x3 – 1 x y1 – 1 = x2 x y0 = x2 x 1 = x2 2
3
a b 4 a b
a×a×b×b×b 2) = a×a×a×a×b 3 −1 b of volgens die eksponent wet: 4 − 2 = a
2 b' s 2 a' s
=
2
=
b 2 a
2
b 2 a
Kom ons kyk nou na die Derde Eksponentwet. Wat beteken (22 )3 vir jou? Ons kan sien dat, binne-in die hakies is daar twee 2’s, dus ( 2 X 2 )3, maar daar is ook drie hakies, dus (2X2)X(2X2)x(2X2) Tel nou al die 2’s op, en ons sien dat daar 6 is, dus is die antwoord 26. Ons kan ook die eksponente met mekaar vermenigvuldig het, met ander woorde 22 x 3 = 26 Kom ons kyk na nog ‘n voorbeeld:
Voorbeeld:
(32) 4
= = =
(3X3)X(3X3)x(3X3)X(3X3) Agt 3’s 38
Die Derde Eksponent Wet in Algebra Taal: ( am ) n = amn m.a.w ons vermenigvuldig die eksponente met mekaar as die hakie waarbinne ‘n uitdrukking is, ook verhef word tot ‘n mag Oefening 1) (2 3 ) 4
2) (x 3 ) 2
3) ( b 4 ) 6
4) ( a 2 ) 5
Wat gebeur nou as ons die getalle of simbole kombineer?
Voorbeeld: ( ab2 ) 3 Weereens kan ons dit uitskryf: (axbxb)x(axbxb)x(axbxb) Tel nou al die a’s op: 3 a’s Tel nou al die b’s op: 6 b’s Dus is die antwoord: a3 b6 Ons sien dus dat ons die simbole binne die hakies een-vir-een kon gevat het, en hulle eksponente met die eksponent van die hakie vermenigvuldig het. Dit wil sê: a1 x 3 = a3 b2 x 3 = b6
Voorbeeld: ( 2x2y3 ) 2 = 21 x 2 x x2 x 2 x y3 x 2 = 4x4y6
Hierdie weergawe van die Derde Eksponentwet, staan bekend as die Vierde Eksponentwet. Die Vierde Eksponentwet in Algebra Taal. ( ab )n = anbn Dus, ons vermenigvuldig die eksponente van elke term binne die hakie met die eksponent van die hakie.
Oefening 1) ( ab2 ) 3
2) ( 23 ) 4
3) ( x7 y2 ) 3
4) ( a100 b 200 ) 200
5) ( 23 x2 ) 0
Negatiewe eksponente 6 x Kyk na die volgende: 4 x Ons kan dit skryf as:
x× x× x× x× x× x Daar bly dus x2 bo die lyn oor. x× x× x× x
Wat nou van:
x 4 x
3
Dit gee:
x× x× x x× x× x× x
of te wel
1 x
Maar: As ons die tweede Eksponentwet gebruik het deur die onderste eksponent van die boonste af te trek, sou ons gekry het: x3 – 4 = x-1
WAT BETEKEN HIERDIE
x -1 dan nou?
Wel , net dit wat ons in die antwoord hierbo gekry het: 4
x Kyk bv. na: 8 x
=
x 4 −8 =
x −4 =
1 x
1 4 x
Dus: As daar ‘n negatiewe eksponent is, dan sit jy ‘n 1 bo die lyn (teller) en die hele uitdrukking gaan onder toe (noemer) en die eksponent word positief Hier is ‘n paar voorbeelde om dit te illustreer 1 1 −3 −4 a) x = 3 b) a = 4 x a c)
3b
−4
=
3 4 b
d)
4 k −1 =
4 k
Daar is egter ook ‘n geval van ‘n negatiewe eksponent onder die lyn, 4 bv: −3 x Al wat nou gebeur, is dat die x-3 ‘n x+3 word bo die lyn: 4x3 Nog ‘n paar voorbeelde: 3 3 a) = 3x −3 x c)
4x 3 = 4 xy −3 y
b)
1 6 = p −6 p
d)
6p 2p = −2 6 3p p
−6
2
=
2p
−4
=
2 4 p
Oefening 1) Vereenvoudig a) 33 . 32
b)
25 . 2-3
c)
44 . 46
d)
92 . 83
e)
82 . 82
f)
x-7 . x3
g)
y 8 y
h)
p 4 p
i)
a 5 a
j)
b −2 b
6
4
4
2)
3
Vereenvoudig en skryf met positiewe eksponente waar nodig −5 x 3 -4 a) a . a b) 3 x 3
−3
c)
x 5 x
e)
y .y .y −2 y
2
−3
d)
m 2 m
f)
2 6 2
h)
x y 6 8 x y
j)
p q × 5 7 p q
4
4
5
4
3
2
-2
4
g)
a b c x a b c
i)
y 4 z −9 5 −7 x y
-6
4
9
6
⇒
x
2)
Die eksponent in b7
⇒
7
3)
Skryf as magte van die grondtal a) b . b . b . b . b .
⇒
b5
b)
x . x . x . x . x . x . x . x . x . x .x . x . x
⇒
x13
c)
t.t.t.s.s.s.s.s
⇒
t3s5
d)
k.k.k.k.d.d.d
⇒
k4d3
e)
a.a.b.b.b.c.c.f
⇒
a2b3c2f
f)
5.b.b.b.b.b.b
⇒
5b6
4)
Skryf die volgende uitdrukkings sonder eksponente, d.w.s. in uitgebreide notasie-vorm: a) v3 ⇒ v.v.v b)
a3 b5
⇒
a.a.a.b.b.b.b.b
c)
5d 4
⇒
5.d.d.d.d
d)
xy3
⇒
x.y.y.y
e)
p7 q3 t 2
⇒
p.p.p.p.p.p.p.q.q.q.t.t
In hierdie afdeling is dit baie belangrik dat jy die eksponent-wette verstaan. Ons gaan eers vir jou ‘n basiese verduideliking gee van hoe die wet werk, en dan die wet vir jou in Algebraïese taal ook deurgee. Dit is belangrik dat jy die wette in Algebra kan verstaan. Kom ons kyk eers na die eerste Eksponentwet. Die wet bepaal dat, as die grondtalle dieselfde is, dan kan ons die eksponente bymekaar tel om in die antwoord neer te skryf. Op dieselfde manier gaan : y X y² X y3 se antwoord op die volgende manier bepaal kan word: yXyXyXyXyXy Let op hoe ons die y² en die y3 geskryf het, om dit vir ons makliker te maak om te verstaan. Nou gaan ons weereens al die y’s tel, en die antwoord is ______6___ Dus is die finale antwoord
y6
Die Eerste Eksponent Wet in Algebra Taal am x an = a m + n met ander woorde, as die grondtalle dieselfde is kan ons al die eksponente bymekaar tel vir die finale antwoord. Oefening Vereenvoudig die volgende 1) a2 X a3 3)
2)
a X a²
23 . 24
Kom ons kyk nou wat gebeur as jy getalle (of terme) met mekaar vermenigvuldig as jy verskillende grondtalle het. (Onthou: jy kan net die eksponente bymekaar tel as die grondtalle dieselfde is). Voorbeeld: a2b3c x ab2c3 As ons nou eers weer al die terme uitskryf, dan kry ons: axaxbxbxbxcxaxbxbxcxcxc Nou kan ons sien dat dit logies is om net eers al die soortgelyke terme bymekaar te tel. Daar is dus 3 a’s; 5 b’s; 4 c’s. Die antwoord is dus a3b5c4. Onthou: As jy vashaak met eksponente, dan kan jy net die terme uitskryf, soos ons hierbo gedoen het, en dan net tel hoeveel van elk daar is aan die einde, en hierdie getal word dan jou eksponent. Kom ons kyk na nog ‘n voorbeeld:
Voorbeeld: a2bc . a3b2c =axaxbxcxaxaxaxbxbxc = a5b3c2 Oefening 1) ab2 x a3b4
2) x3y2 x x2y3
3) 5p3q . 2pq2
4) kb2q . 2k3bq
Kom ons kyk nou ook na die Tweede Eksponent wet a2 ? a3 Skryf nou eers bo die lyn (Teller) en onder die lyn (Noemer) uit soos in die vorige afdeling. axa axaxa Nou kanselleer jy een-vir-een die a’s uit aXa a X a X a en kyk wat bly oor. Voorbeeld:
Weet jy wat is
Dit is reg! Net een a onder die lyn. Die antwoord is dus 1 a Jy sal sien dat ons eintlik die eksponente van mekaar afgetrek het: Ons het ‘n 2 bo die lyn gehad, en ‘n 3 onder die lyn, en 3 – 2 = 1 Onthou: Jy trek altyd die kleinste eksponent van die grootste een af, en moenie vergeet dat jy ‘n 1 bo die lyn moet skryf as die grootste eksponent onder die lyn is nie. Kom ons kyk na nog ‘n paar voorbeelde:
3
1)
2 2× 2× 2 = = 2 2 2×2 2 of, volgens die Algebra wet: 3 – 2 = 1 Dus 2! 4
2)
a 6 a
=
a×a×a×a a×a×a×a×a×a
=
1 2 a
of volgens die Algebra wet; 6 – 4 = 2, Dus
1 2 a
Die Tweede Eksponent Wet in Algebra – Taal m a m−n = a ; m≥n n a m.a.w as die grondtalle dieselfde is, trek ons die kleinste eksponent van die grootste een af
Oefening 2 b 1) 5 b
4
2)
2 3 2
4)
2 3 2
6
3)
a 2 a
3
Wat het in Nommer 4 gebeur? Ons het gehad 23 – 3 = 20 , en die antwoord was 1. As jy dieselfde doen met enige moontlike getal of Algebraïese simbool, sal jy altyd ‘n eksponent van 0 kry, en jou antwoord sal altyd 1 wees. Dit gee dus aanleiding tot die volgende definisie: Enige getal met ‘n eksponent 0 is gelyk aan 1, of in Algebraïese Taal: a0 = 1 ; a ε R
Wat gebeur nou as ons verskillende getalle of simbole met mekaar kombineer?
Voorbeelde: 3 x y 1) = xy
x× x× x× y x× y
en wat dus oorbly is 2 x’e bo die lyn, en niks onder die lyn nie. Die antwoord is dus: x2 Met behulp van die eksponentwet kon ons geskryf het: x3 – 1 x y1 – 1 = x2 x y0 = x2 x 1 = x2 2
3
a b 4 a b
a×a×b×b×b 2) = a×a×a×a×b 3 −1 b of volgens die eksponent wet: 4 − 2 = a
2 b' s 2 a' s
=
2
=
b 2 a
2
b 2 a
Kom ons kyk nou na die Derde Eksponentwet. Wat beteken (22 )3 vir jou? Ons kan sien dat, binne-in die hakies is daar twee 2’s, dus ( 2 X 2 )3, maar daar is ook drie hakies, dus (2X2)X(2X2)x(2X2) Tel nou al die 2’s op, en ons sien dat daar 6 is, dus is die antwoord 26. Ons kan ook die eksponente met mekaar vermenigvuldig het, met ander woorde 22 x 3 = 26 Kom ons kyk na nog ‘n voorbeeld:
Voorbeeld:
(32) 4
= = =
(3X3)X(3X3)x(3X3)X(3X3) Agt 3’s 38
Die Derde Eksponent Wet in Algebra Taal: ( am ) n = amn m.a.w ons vermenigvuldig die eksponente met mekaar as die hakie waarbinne ‘n uitdrukking is, ook verhef word tot ‘n mag Oefening 1) (2 3 ) 4
2) (x 3 ) 2
3) ( b 4 ) 6
4) ( a 2 ) 5
Wat gebeur nou as ons die getalle of simbole kombineer?
Voorbeeld: ( ab2 ) 3 Weereens kan ons dit uitskryf: (axbxb)x(axbxb)x(axbxb) Tel nou al die a’s op: 3 a’s Tel nou al die b’s op: 6 b’s Dus is die antwoord: a3 b6 Ons sien dus dat ons die simbole binne die hakies een-vir-een kon gevat het, en hulle eksponente met die eksponent van die hakie vermenigvuldig het. Dit wil sê: a1 x 3 = a3 b2 x 3 = b6
Voorbeeld: ( 2x2y3 ) 2 = 21 x 2 x x2 x 2 x y3 x 2 = 4x4y6
Hierdie weergawe van die Derde Eksponentwet, staan bekend as die Vierde Eksponentwet. Die Vierde Eksponentwet in Algebra Taal. ( ab )n = anbn Dus, ons vermenigvuldig die eksponente van elke term binne die hakie met die eksponent van die hakie.
Oefening 1) ( ab2 ) 3
2) ( 23 ) 4
3) ( x7 y2 ) 3
4) ( a100 b 200 ) 200
5) ( 23 x2 ) 0
Negatiewe eksponente 6 x Kyk na die volgende: 4 x Ons kan dit skryf as:
x× x× x× x× x× x Daar bly dus x2 bo die lyn oor. x× x× x× x
Wat nou van:
x 4 x
3
Dit gee:
x× x× x x× x× x× x
of te wel
1 x
Maar: As ons die tweede Eksponentwet gebruik het deur die onderste eksponent van die boonste af te trek, sou ons gekry het: x3 – 4 = x-1
WAT BETEKEN HIERDIE
x -1 dan nou?
Wel , net dit wat ons in die antwoord hierbo gekry het: 4
x Kyk bv. na: 8 x
=
x 4 −8 =
x −4 =
1 x
1 4 x
Dus: As daar ‘n negatiewe eksponent is, dan sit jy ‘n 1 bo die lyn (teller) en die hele uitdrukking gaan onder toe (noemer) en die eksponent word positief Hier is ‘n paar voorbeelde om dit te illustreer 1 1 −3 −4 a) x = 3 b) a = 4 x a c)
3b
−4
=
3 4 b
d)
4 k −1 =
4 k
Daar is egter ook ‘n geval van ‘n negatiewe eksponent onder die lyn, 4 bv: −3 x Al wat nou gebeur, is dat die x-3 ‘n x+3 word bo die lyn: 4x3 Nog ‘n paar voorbeelde: 3 3 a) = 3x −3 x c)
4x 3 = 4 xy −3 y
b)
1 6 = p −6 p
d)
6p 2p = −2 6 3p p
−6
2
=
2p
−4
=
2 4 p
Oefening 1) Vereenvoudig a) 33 . 32
b)
25 . 2-3
c)
44 . 46
d)
92 . 83
e)
82 . 82
f)
x-7 . x3
g)
y 8 y
h)
p 4 p
i)
a 5 a
j)
b −2 b
6
4
4
2)
3
Vereenvoudig en skryf met positiewe eksponente waar nodig −5 x 3 -4 a) a . a b) 3 x 3
−3
c)
x 5 x
e)
y .y .y −2 y
2
−3
d)
m 2 m
f)
2 6 2
h)
x y 6 8 x y
j)
p q × 5 7 p q
4
4
5
4
3
2
-2
4
g)
a b c x a b c
i)
y 4 z −9 5 −7 x y
-6
4
9
6
