meting hersiening van veelhoeke
Voordat ons gaan kyk na veelhoeke, en eienskappe van veelhoeke, waaroor hierdie les gaan, moet ons net eers ondersoek instel na die verskil tussen tweedimensionele en driedimensionele figure: Tweedimensioneel: ‘n Maklike manier om te dink aan wanneer iets tweedimensioneel is, is om te dink aan iets wat jy kan teken. Of dit nou ‘n figuur of vorm op papier, of in die sand by die see – as jy dit kan teken op ‘n plat oppervlak, is dit tweedimensioneel. Driedimensioneel: Enige iets wat ‘n skaduwee gee as daar lig, soos die son, daarop skyn, is ‘n driedimensionele figuur. ‘n Tweedimensionele figuur KAN NIE ooit ‘n skaduwee gee nie, maar ‘n driedimensionele figuur KAN WEL. As ons onsself dus nou beperk tot tweedimensionele figure, en dan ook figure wat geen krom lyne het nie, maar slegs reguitlyne wat die figuur opmaak, dan verwys ons na hierdie figure as “veelhoeke”. Veelhoeke het baie definisies waarvan jy moet kennis neem, want daar is heelparty maniere om veelhoeke in verskillende kategorieë te plaas, en dit is waarna ons gaan kyk:
Definisie 1 ‘n Veelhoek het ewe veel sye as hoeke. Kyk of jy saamstem deur die hoeke en sye van elkeen van die volgende figure te tel, Kan jy ook uit hierdie definisie agterkom hoekom is ‘n figuur met krom lyne nie ‘n veelhoek nie?
Definisie 2 ‘n Hoekpunt is waar twee van hierdie reguit lyne bymekaarkom. Tel hoeveel hoekpunte elkeen van die volgende figure het:
Definisie 3 ‘n Diagonaal of hoeklyn is ‘n reguit lyn, wat nie ‘n sy is van die figuur nie, wat enige twee hoekpunte verbind.
Definisie 4 Ons benoem veelhoeke volgens die aantal sye of hoeke wat hulle het. Byvoorbeeld: Naam
Aantal hoeke / sye
Driehoek
3
Vierhoek
4
Vyfhoek
5
Seshoek
6
Voorbeeld
Definisie 5 Wanneer ons veelhoeke in Wiskunde gebruik, gee ons gewoonlik vir elke hoekpunt ‘n naam, wat sommer net ‘n enkel hoofletter is. Wanneer ons dan na die veelhoek verwys, gebruik ons hierdie letters kloksgewys of antikloksgewys om, nooit deurmekaar nie
Hierdie is veelhoek ABCDEF of veelhoek AFEDCB Definisie 6 Wanneer ‘n veelhoek se sye almal ewe lank is, en die binnehoeke almal ewe groot is, dan verwys ons daarna as ‘n reëlmatige veelhoek.
Die volgende is nie reëlmatige veelhoeke nie
Definisie 7 As ‘n lyn buite die figuur getrek kan word van enige hoekpunt na ‘n ander, sonder om ‘n sy van die veelhoek te wees, dan verwys ons na die veelhoek as “konkaaf”. ‘n Ander manier om daarvoor uit te kyk, is dat een van die hoekpunte na binne ‘n Inspringende hoek sal vorm. As al die lyne wat tussen die hoekpunte getrek kan word, binne die figuur sal lê, dan verwys ons daarna as ‘n “konvekse” veelhoek. Identifiseer die volgende veelhoeke as konveks of konkaaf na aanleiding van die lyne wat tussen die hoekpunte getrek is. ONTHOU: maak seker dat daar nie dalk ‘n ander hoeklyn getrek kan word nie....
Wanneer ons praat van “veelhoeke”, dan vergeet ons partymaal dat driehoeke ook veelhoeke is. Inteendeel, hulle is die eerste tipe veelhoeke – kan jy dink aan ‘n tipe veelhoek wat minder as drie hoeke het? Daar is egter verskillende tipes driehoeke, en ons spandeer ‘n hele afdeling nét om driehoeke te bekyk, en te klassifiseer. Ons tref ook ‘n onderskeid tussen die hoeke, of die sye, wanneer ons driehoeke in kategorieë opdeel. Onthou dit!!
Kom ons kyk dan nou eerste na die Klassifisering van driehoeke volgens hulle hoeke: ‘n Skerphoekige driehoek
Soos die naam voorskryf, is dit ‘n driehoek met al drie hoeke kleiner as 90° elk, of dan skerphoeke. Kyk mooi na die regterkantste twee driehoeke, want hulle kan ook volgens hulle sye geklassifiseer word. ‘n Stomphoekige driehoek
‘n Driehoek kan nie meer as een stomphoek hê nie, maar wanneer een van die hoeke wel groter as 90° is, dan verwys ons daarna as ‘n stomphoekige driehoek. ‘n Reghoekige driehoek
Wanneer een van die hoeke presies 90° is, het ons ‘n vreemde naam vir hierdie tipe driehoek: “reghoekige” driehoek. Kyk mooi in die sketse hierbo hoe ons die 90°-hoek aandui. Dan kan ons ook die driehoeke klassifiseer volgens hulle sye: Ongelyksydige driehoek
Wanneer al drie die sye verskillende lengtes het, kan ons ook daarvan praat as ‘n “Ongelyksydige” driehoek, maar let op dat dit net só maklik enige van die driehoeke kan wees wat ons vroeër met hulle hoeke geklassifiseer het. Let mooi op hoe ons die sye se onderskeie lengtes aandui. Gelykbenige driehoek ‘n Gelykbenige driehoek kan ‘n Skerphoekige, of Stomphoekige driehoek wees, maar dit het die spesifieke eienskap dat twee van die sye presies ewe lank is, en dan is die hoeke teenoor hierdie sye ook ALTYD gelyk.
Gelyksydige driehoek ‘n Gelyksydige driehoek het al drie sye presies gelyk, en daar is die addisionele eienskap dat al die hoeke ook presies 60° sal wees. Dis die enigste driehoek waar jy presies kan weet wat die hoeke is as jy iets van die sye weet. Hier sien jy ook ‘n ander eienskap van ALLE driehoeke: Die binnehoeke tel altyd saam op tot by 180° Tipiese vrae Klassifiseer die volgende driehoeke volgens hulle sye
Klassifiseer die volgende driehoeke volgens hulle hoeke
Ons moet ook kyk na die verskillende tipes vierhoeke wat daar is, omdat hulle nie net onder een sambreel van “veelhoeke” geklassifiseer kan word nie – daar is net te veel tipes en variasies. Daar is sekere eienskappe van vierhoeke wat jy gaan moet ken, en onthou, sodat jy vierhoeke kan benoem as jy ‘n aantal sketse gegee word. Die meeste van hierdie eienskappe sentreer rondom die hoeke wat gevorm word deur die sye van die vierhoek met mekaar, die lengtes van die sye en ook watter sye, indien enige, ewewydig is.
Jy gaan ook baie die konsep van “teenoorstaande” sye teëkom, dus moet ons net gou daar stilstaan en kyk wat dit beteken.
Ons het hier ‘n vierhoek ABCD. Sylengte 1 (AB) en sylengte 3 (CD) is teenoorstaande sye
en sylengte 2 (BC) en sylengte 4 (AD) is ook teenoorstaande sye
Kom ons kyk dan nou gou na die spesifieke name, asook eienskappe, van vierhoeke waarmee jy gaan werk:
‘n Parallelogram:
Eienskappe:
‘n Vierhoek met beide pare teenoorstaande sye ewewydig, en beide pare teenoorstaande sye is gelyk aan mekaar
‘n Reghoek:
Eienskappe:
Dit is dieselfde as ‘n parallelogram, behalwe dat die binnehoeke 90° is
‘n Ruit:
Eienskappe:
Dit is dieselfde as ‘n parallelogram, behalwe dat die sye almal ewe lank is
‘n Vierkant:
Ons kan ‘n vierkant op een van twee maniere definieër Eienskappe: Dit is ‘n ruit met binnehoeke 90°, of Dit is ‘n reghoek met al vier sye gelyk
‘n Trapesium:
Eienskappe:
Een paar teenoorstaande sye is ewewydig
‘n Vlieër:
Eienskappe:
Twee pare sye wat aangrensend is (by ‘n punt bymekaarkom), is gelyk
Definisie 1 ‘n Veelhoek het ewe veel sye as hoeke. Kyk of jy saamstem deur die hoeke en sye van elkeen van die volgende figure te tel, Kan jy ook uit hierdie definisie agterkom hoekom is ‘n figuur met krom lyne nie ‘n veelhoek nie?
Definisie 2 ‘n Hoekpunt is waar twee van hierdie reguit lyne bymekaarkom. Tel hoeveel hoekpunte elkeen van die volgende figure het:
Definisie 3 ‘n Diagonaal of hoeklyn is ‘n reguit lyn, wat nie ‘n sy is van die figuur nie, wat enige twee hoekpunte verbind.
Definisie 4 Ons benoem veelhoeke volgens die aantal sye of hoeke wat hulle het. Byvoorbeeld: Naam
Aantal hoeke / sye
Driehoek
3
Vierhoek
4
Vyfhoek
5
Seshoek
6
Voorbeeld
Definisie 5 Wanneer ons veelhoeke in Wiskunde gebruik, gee ons gewoonlik vir elke hoekpunt ‘n naam, wat sommer net ‘n enkel hoofletter is. Wanneer ons dan na die veelhoek verwys, gebruik ons hierdie letters kloksgewys of antikloksgewys om, nooit deurmekaar nie
Hierdie is veelhoek ABCDEF of veelhoek AFEDCB Definisie 6 Wanneer ‘n veelhoek se sye almal ewe lank is, en die binnehoeke almal ewe groot is, dan verwys ons daarna as ‘n reëlmatige veelhoek.
Die volgende is nie reëlmatige veelhoeke nie
Definisie 7 As ‘n lyn buite die figuur getrek kan word van enige hoekpunt na ‘n ander, sonder om ‘n sy van die veelhoek te wees, dan verwys ons na die veelhoek as “konkaaf”. ‘n Ander manier om daarvoor uit te kyk, is dat een van die hoekpunte na binne ‘n Inspringende hoek sal vorm. As al die lyne wat tussen die hoekpunte getrek kan word, binne die figuur sal lê, dan verwys ons daarna as ‘n “konvekse” veelhoek. Identifiseer die volgende veelhoeke as konveks of konkaaf na aanleiding van die lyne wat tussen die hoekpunte getrek is. ONTHOU: maak seker dat daar nie dalk ‘n ander hoeklyn getrek kan word nie....
Wanneer ons praat van “veelhoeke”, dan vergeet ons partymaal dat driehoeke ook veelhoeke is. Inteendeel, hulle is die eerste tipe veelhoeke – kan jy dink aan ‘n tipe veelhoek wat minder as drie hoeke het? Daar is egter verskillende tipes driehoeke, en ons spandeer ‘n hele afdeling nét om driehoeke te bekyk, en te klassifiseer. Ons tref ook ‘n onderskeid tussen die hoeke, of die sye, wanneer ons driehoeke in kategorieë opdeel. Onthou dit!!
Kom ons kyk dan nou eerste na die Klassifisering van driehoeke volgens hulle hoeke: ‘n Skerphoekige driehoek
Soos die naam voorskryf, is dit ‘n driehoek met al drie hoeke kleiner as 90° elk, of dan skerphoeke. Kyk mooi na die regterkantste twee driehoeke, want hulle kan ook volgens hulle sye geklassifiseer word. ‘n Stomphoekige driehoek
‘n Driehoek kan nie meer as een stomphoek hê nie, maar wanneer een van die hoeke wel groter as 90° is, dan verwys ons daarna as ‘n stomphoekige driehoek. ‘n Reghoekige driehoek
Wanneer een van die hoeke presies 90° is, het ons ‘n vreemde naam vir hierdie tipe driehoek: “reghoekige” driehoek. Kyk mooi in die sketse hierbo hoe ons die 90°-hoek aandui. Dan kan ons ook die driehoeke klassifiseer volgens hulle sye: Ongelyksydige driehoek
Wanneer al drie die sye verskillende lengtes het, kan ons ook daarvan praat as ‘n “Ongelyksydige” driehoek, maar let op dat dit net só maklik enige van die driehoeke kan wees wat ons vroeër met hulle hoeke geklassifiseer het. Let mooi op hoe ons die sye se onderskeie lengtes aandui. Gelykbenige driehoek ‘n Gelykbenige driehoek kan ‘n Skerphoekige, of Stomphoekige driehoek wees, maar dit het die spesifieke eienskap dat twee van die sye presies ewe lank is, en dan is die hoeke teenoor hierdie sye ook ALTYD gelyk.
Gelyksydige driehoek ‘n Gelyksydige driehoek het al drie sye presies gelyk, en daar is die addisionele eienskap dat al die hoeke ook presies 60° sal wees. Dis die enigste driehoek waar jy presies kan weet wat die hoeke is as jy iets van die sye weet. Hier sien jy ook ‘n ander eienskap van ALLE driehoeke: Die binnehoeke tel altyd saam op tot by 180° Tipiese vrae Klassifiseer die volgende driehoeke volgens hulle sye
Klassifiseer die volgende driehoeke volgens hulle hoeke
Ons moet ook kyk na die verskillende tipes vierhoeke wat daar is, omdat hulle nie net onder een sambreel van “veelhoeke” geklassifiseer kan word nie – daar is net te veel tipes en variasies. Daar is sekere eienskappe van vierhoeke wat jy gaan moet ken, en onthou, sodat jy vierhoeke kan benoem as jy ‘n aantal sketse gegee word. Die meeste van hierdie eienskappe sentreer rondom die hoeke wat gevorm word deur die sye van die vierhoek met mekaar, die lengtes van die sye en ook watter sye, indien enige, ewewydig is.
Jy gaan ook baie die konsep van “teenoorstaande” sye teëkom, dus moet ons net gou daar stilstaan en kyk wat dit beteken.
Ons het hier ‘n vierhoek ABCD. Sylengte 1 (AB) en sylengte 3 (CD) is teenoorstaande sye
en sylengte 2 (BC) en sylengte 4 (AD) is ook teenoorstaande sye
Kom ons kyk dan nou gou na die spesifieke name, asook eienskappe, van vierhoeke waarmee jy gaan werk:
‘n Parallelogram:
Eienskappe:
‘n Vierhoek met beide pare teenoorstaande sye ewewydig, en beide pare teenoorstaande sye is gelyk aan mekaar
‘n Reghoek:
Eienskappe:
Dit is dieselfde as ‘n parallelogram, behalwe dat die binnehoeke 90° is
‘n Ruit:
Eienskappe:
Dit is dieselfde as ‘n parallelogram, behalwe dat die sye almal ewe lank is
‘n Vierkant:
Ons kan ‘n vierkant op een van twee maniere definieër Eienskappe: Dit is ‘n ruit met binnehoeke 90°, of Dit is ‘n reghoek met al vier sye gelyk
‘n Trapesium:
Eienskappe:
Een paar teenoorstaande sye is ewewydig
‘n Vlieër:
Eienskappe:
Twee pare sye wat aangrensend is (by ‘n punt bymekaarkom), is gelyk
